結(jié)合相角重構(gòu)法的軌道不平順隨機(jī)過程的數(shù)值模擬

徐 寧， 任尊松, 李 響

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京 100044)

車輛運(yùn)用過程中,由于軌道和車輛不斷地相互作用,會(huì)使軌面逐漸產(chǎn)生不均勻磨耗, 輪對(duì)踏面出現(xiàn)擦傷、不圓等不良損壞，這些破壞又極易形成反作用于車輛-軌道系統(tǒng)的扁疤、表面不圓和波紋形激勵(lì)。與此同時(shí)，由于鋼軌扣件、軌枕、道床和路基等部件彈性不均,各部件之間存在間隙以及長時(shí)間使用的破壞損耗使軌道系統(tǒng)的幾何狀態(tài)逐漸發(fā)生改變，產(chǎn)生軌道不平順。研究發(fā)現(xiàn)軌道不平順是一個(gè)隨機(jī)過程[1], 是引起車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的主要外界激勵(lì)，直接關(guān)系到行車安全和車輛運(yùn)行的舒適性。

為便于在車輛動(dòng)態(tài)模擬與仿真以及進(jìn)行軌道系統(tǒng)病害診斷等領(lǐng)域應(yīng)用，德國、美國等通過對(duì)軌道不平順進(jìn)行實(shí)測和分析，構(gòu)造了形式較為統(tǒng)一的譜密度函數(shù)[2]。中國鐵道科學(xué)研究院以及長沙鐵道學(xué)院等研究單位也曾對(duì)國內(nèi)一些個(gè)別線路的軌道不平順進(jìn)行了測量和研究，相應(yīng)地建立起一定標(biāo)準(zhǔn)的譜密度函數(shù)的表達(dá)式[3]。這些研究得到的譜密度函數(shù)均在頻域范圍內(nèi)給出，但在車輛運(yùn)行穩(wěn)定性、平穩(wěn)性和安全性分析等方面都直接需要軌道不平順的時(shí)間-歷程作為輸入激勵(lì)。因此，通過數(shù)值模擬獲得軌道譜的時(shí)域序列，是車輛和軌道動(dòng)力學(xué)研究中不可回避的問題。很多研究人員也對(duì)此開展了研究工作，總結(jié)了軌道不平順數(shù)值模擬的幾種主要方法，包括白噪聲濾波法[6]、三角級(jí)數(shù)法[5]、二次濾波法[4]、小波變換法[7]和逆傅里葉變換法[8]。這些方法較為常用，但同時(shí)也存在一定的不足，二次濾波法需依據(jù)軌道不平順譜密度函數(shù)的不同，設(shè)計(jì)出合理的濾波器；小波變換法獲得隨機(jī)時(shí)域序列與小波基的選取有關(guān)；白噪聲濾波法以及三角級(jí)數(shù)法需將模擬的不平順隨機(jī)序列看作是平穩(wěn)高斯過程。且通過這幾種方法獲得時(shí)域序列經(jīng)FFT的變換譜與原軌道譜存在一定的差距。逆傅里葉變換法[8]計(jì)算速度快，且模擬得到的時(shí)域序列經(jīng)FFT的變換譜與原不平順譜較為一致。但該方法得到的時(shí)域隨機(jī)序列的正態(tài)性與否不確定，樣本數(shù)字特征也不確定，這與文獻(xiàn)[9-10]中實(shí)測得到的線路不平順為具有一定偏度和峭度范圍的非正態(tài)隨機(jī)過程并不能完全相符。與此同時(shí)，當(dāng)車輛在處于勻速狀態(tài)下，不平順激勵(lì)在時(shí)間域還是在空間域都是平穩(wěn)過程。但變速條件下運(yùn)行時(shí)，不平順在時(shí)間域上已是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程[14]，作為激勵(lì)輸入到車輛和軌道系統(tǒng)之中，獲得的各部件響應(yīng)也較勻速條件下有所差別。為在不同運(yùn)行工況下，獲得更為準(zhǔn)確的車輛系統(tǒng)響應(yīng)特征，進(jìn)而分析系統(tǒng)頻域傳遞等特征，獲取變速條件下的不平順隨機(jī)序列十分必要。

鑒于此，本文在逆傅里葉變換方法基礎(chǔ)之上，依據(jù)實(shí)測線路不平順峭度和峰度等數(shù)字特征的變化范圍，采用相角重構(gòu)方法獲取了具有一定峭度值和峰度值的平穩(wěn)隨機(jī)序列。由于變速過程中軌道不平順譜為慢變的時(shí)變功率譜，將變速過程看作多個(gè)短時(shí)段內(nèi)的勻速過程，使時(shí)變功率譜轉(zhuǎn)化為各時(shí)段上的平穩(wěn)功率譜，并通過逆傅里葉變換法分別得到各時(shí)段對(duì)應(yīng)的隨機(jī)時(shí)域序列，利用相角重構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)各序列的連接，得到加速和變加速過程的非平穩(wěn)軌道不平順時(shí)域序列。

1 具有一定偏度值和峭度值的隨機(jī)時(shí)域序列獲取

1.1 由逆傅里葉變換法生成隨機(jī)時(shí)域序列

根據(jù)逆傅里葉變換方法[8]進(jìn)行軌道譜的數(shù)值模擬，其實(shí)現(xiàn)步驟如下:

Step1首先將不平順單邊功率譜密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙邊譜密度函數(shù)。進(jìn)而將得到的空間雙邊不平順功率譜S(Ω)轉(zhuǎn)化為時(shí)間功率譜S(f)。設(shè)車輛運(yùn)行的速度為v，軌道不平順的最大波長為λmax，最小波長為λmin，則模擬的頻率范圍最大值為fmax=v/λmin，最小值為fmin=v/λmax。根據(jù)采樣定理，時(shí)域采樣間隔應(yīng)滿足Δt≤0.5fmax。假定總的模擬時(shí)間為T，那么時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)為T/Δt，一般需保證其個(gè)數(shù)Nr為2的整數(shù)次冪，頻率采樣間隔為Δf=1/(NrΔt)，有效頻段內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)為Nf=(fmax-fmin)/Δf，由周期圖法估計(jì)出的功率譜為偶對(duì)稱序列，在Nr/2-Nf～Nr/2+Nf頻率區(qū)間內(nèi)的采樣點(diǎn)記為零，得到在1～Nr/2上功率譜的Nf個(gè)離散采樣點(diǎn)值S(f=kΔf)，k=0，1，…，Nr/2及在Nr/2+1～Nr-1上離散采樣點(diǎn)值S(f=kΔf)，k=Nr/2+1，…，Nr。

Step2根據(jù)周期圖法，可獲得各頻率采樣點(diǎn)的頻譜模值為

X(k)=DFT[x(n)]=

( 1 )

Step3所求時(shí)域序列x(n)為一隨機(jī)過程，要求其FFT得到的復(fù)序列X(k)的相位需具有隨機(jī)性。設(shè)ψn是均值為零的獨(dú)立相位序列，那么ψn應(yīng)為復(fù)數(shù)，且滿足|ψn|=1,即

ψn=cosβn+i sinβn=exp(iβn)

( 2 )

式中：βn為在[0,2π]上服從均勻分布的隨機(jī)相角。且X(k)的虛部關(guān)于Nr/2奇對(duì)稱，實(shí)部關(guān)于Nr/2偶對(duì)稱，因此只需求出k在0～Nr/2間各頻率采樣點(diǎn)處的頻譜值X(k)，其表達(dá)式為

( 3 )

Step4將式( 3 )中得到的序列X(k)進(jìn)行傅里葉逆變換，可獲得相應(yīng)的不平順時(shí)域序列。

( 4 )

1.2 通過重構(gòu)相角生成具有一定統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)時(shí)域序列

對(duì)均值為零的隨機(jī)時(shí)域序列，根據(jù)偏度和峭度的定義，其表達(dá)式為

( 5 )

( 6 )

對(duì)于隨機(jī)位移-時(shí)間歷程x(t)，其各階原點(diǎn)矩均可以通過積分逼近，即

( 7 )

將式( 7 )代入到式( 5 )和式( 6 )之中，按照文獻(xiàn)[11]方法，經(jīng)過化簡，序列的偏度和峭度可表達(dá)為關(guān)于功率譜幅值和隨機(jī)相角的形式

( 8 )

( 9 )

式中：Ak、Aj、Am、An為功率譜中各頻率點(diǎn)的幅值；φk、φj、φm、φn是[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)相角，經(jīng)證明[11]，為不影響對(duì)功率譜的精確模擬，可使得式( 8 )和式( 9 )中Ak和Aj等各幅值不變，通過調(diào)整隨機(jī)相位角中一部分進(jìn)而改變生成隨機(jī)時(shí)域序列的峭度和偏度值，也使得相位角的整體隨機(jī)性得以保證，進(jìn)而確保重構(gòu)相角后得到的時(shí)域序列仍為隨機(jī)序列。

例如對(duì)式( 8 )，取下標(biāo)為j=2k的各組相位角φk和φj(如{φ1，φ2}，{φ2，φ4}，…)符合關(guān)系φj=2φk，那么cos(φj-2φk)的值恒為1，偏度值S逐漸增大；或符合關(guān)系φj=2φk+π，使cos(φj-2φk)的值恒為-1，偏度值S逐漸減小。

1.3 改進(jìn)相角重構(gòu)方式獲取隨機(jī)不平順序列

逆傅里葉變換方法應(yīng)用過程中，生成的隨機(jī)相角是偽隨機(jī)數(shù)，以至于得到的隨機(jī)序列雖然均值接近于零，但往往并不是高斯序列，峰度值和峭度值大小也不確定。且軌道譜本身為頻變譜甚至為折線譜，而非文獻(xiàn)[11]中所采用的平直功率譜，所以僅采用文獻(xiàn)中絕對(duì)正向和絕對(duì)反向這樣兩種相角重構(gòu)方式重構(gòu)相角，往往會(huì)造成找尋效果比較差；甚至某些情形下，無法獲得目標(biāo)參數(shù)下的隨機(jī)時(shí)域序列，鑒于此，以文獻(xiàn)[11]中方法為基礎(chǔ)，并改進(jìn)原有方法，可獲得兼具目標(biāo)偏度值S*和峭度值K*的隨機(jī)序列，具體實(shí)現(xiàn)過程步驟:

Step1根據(jù)偏度S和峭度K表達(dá)式中第一個(gè)三角函數(shù)項(xiàng)，在已有的Nr/2個(gè)[0,2π]上均勻分布的隨機(jī)相位角中找出所有下標(biāo)滿足關(guān)系j=2k和m=3n(0≤j,k,m,n≤Nr/2-1)的各組相角組合{φj,φk}和{φm,φn}。數(shù)據(jù)長度較大時(shí)，滿足上述條件的相角很多，其集合可記作{φj1,φk1;φj2,φk2;…}和{φm1,φn1;φm2,φn2;…}。

Step3繼續(xù)按照Step2中的方式，選取后續(xù)的多對(duì)相角。例如第x次重構(gòu)的兩組相角分別為{φjx,φkx}和{φmx,φnx}，為減小重構(gòu)過程中偏度和峭度間的相互影響，當(dāng)φjx為6的公倍數(shù)的情形，跳過該組相角，選取下一組對(duì)應(yīng)相角{φj(x+1),φk(x+1)}。再次計(jì)算新生成序列的偏度和峭度值Sxil和Kxil，并按照步驟Step2中的方式進(jìn)行檢驗(yàn)，如e(Sxil)和e(Kxil)處于規(guī)定的范圍之內(nèi)，停止重構(gòu)，獲得滿足要求的隨機(jī)序列。如果仍超出規(guī)定的范圍，可按照Step2中的方式，確定該次重構(gòu)的最優(yōu)方式。并對(duì)后一組相角進(jìn)行類似的重構(gòu)，直到e(Sxil)和e(Kxil)小于規(guī)定限值ξS和ξK為止。

2 變速過程的非平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)域序列的獲取

勻速運(yùn)行時(shí)，軌道不平順激勵(lì)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。當(dāng)車輛處于加速啟動(dòng)和減速制動(dòng)等運(yùn)行工況下，軌道不平順在空間域上是平穩(wěn)的，但在時(shí)域上是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。此時(shí)，不平順譜轉(zhuǎn)變?yōu)槁兊臅r(shí)變功率譜。首先，將模擬序列總的時(shí)長拆分為多個(gè)較短的時(shí)間段，在這些較短的時(shí)間段上，時(shí)變功率譜可近似看做非時(shí)變，可求得各時(shí)間段上的功率譜密度函數(shù)表達(dá)式，通過逆傅里葉變換方法可獲得各時(shí)段的隨機(jī)序列?；诖耍孟嘟侵貥?gòu)的方法將各段隨機(jī)序列首尾相連接，即可獲得變速過程的非平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)域序列，其具體實(shí)現(xiàn)過程如下。

2.1 軌道譜轉(zhuǎn)化為各短時(shí)間段上平穩(wěn)功率譜

根據(jù)時(shí)域和空間域的轉(zhuǎn)化關(guān)系式

ft=Ωs

(10)

式中：Ω為空間頻率;s為走行距離。瞬時(shí)頻率表達(dá)式為

fs=Ωds/dt

(11)

車輛在勻加速情況下

(12)

車輛在變加速度情況下

(13)

式中：v0、a0分別為速度和加速度的初始值；a、u分別為加速度和加速度的變化率。

可得到軌道不平順在勻加速和變加速工況下的時(shí)變功率譜，即

(14)

(15)

子段劃分?jǐn)?shù)M的選取，應(yīng)使得各子段任意頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)變功率譜S(f,t)滿足式(16)，且M的取值一般為2的整數(shù)次冪。

(16)

式中：fj為功率譜頻域范圍內(nèi)任一頻率點(diǎn);timin和timax為第i個(gè)子時(shí)間段的上、下時(shí)刻點(diǎn);δ為一很小的正數(shù)。

設(shè)模擬的總時(shí)間為T，已劃分時(shí)間段數(shù)為M，那么各子段的時(shí)長Ts0可暫定為T/M，根據(jù)時(shí)域采樣間隔為Δt，子段時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)為Ts0/Δt，若滿足2j-1

根據(jù)得到各子段時(shí)長Ts，計(jì)算出各子段中心時(shí)刻Ti mid(i=1～M)，依據(jù)式(14)和式(15)，將時(shí)變功率譜S(f,t)轉(zhuǎn)化為各子段的中值時(shí)刻功率譜S(f,timid)?；诘玫降母髦兄禃r(shí)刻功率譜S(f,timid)，并利用1.1中逆傅里葉變換法，即可獲得各子段的隨機(jī)時(shí)域序列。

2.2 基于相角重構(gòu)實(shí)現(xiàn)各段隨機(jī)序列連接

通過2.1節(jié)的過程得到了各子段的隨機(jī)時(shí)域序列，但這些序列在每一段的末尾時(shí)刻以及下一段的初始時(shí)刻的函數(shù)值并不連續(xù)，顯然與真實(shí)情況不相符。參照相角重構(gòu)的方法，實(shí)現(xiàn)各子段隨機(jī)序列的連接按照以下具體步驟:

Step2利用逆傅里葉變換法重新生成隨機(jī)序列，經(jīng)過第j個(gè)相角重構(gòu)后，獲得的該子段序列的初始時(shí)刻位移值x(i_j)start_k，按式(17)計(jì)算出各x(i_j)start_k與x(i-1)last的絕對(duì)誤差。

δi_j_k=|xi_jstart_k-x(i-1)last|

(17)

式中：i為當(dāng)前子段數(shù);j為該段第j個(gè)重構(gòu)相角;k為該相角第k個(gè)重構(gòu)方向。

Step3將已得到的各δi_j_k與規(guī)定限值ξ進(jìn)行比較，若某一δi_j_k小于規(guī)定限值，那么對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列即為所求，如果k=0～2r的任一重構(gòu)方式均不能小于規(guī)定限制ξ，那么比較各δi_j_k(k=0～2r)，求出其中最小值min(δi_j_k)，并將其對(duì)應(yīng)重構(gòu)方式作為本次重構(gòu)的最優(yōu)方式。選取下一重構(gòu)相角φj+1，按照Step1的方法進(jìn)行重構(gòu)，直到得到δi_j_k小于規(guī)定限值ξ為止。

Step4以步驟Step3得到序列的末尾時(shí)刻位移值xilast為基準(zhǔn)，多次重復(fù)Step1～ Step3，實(shí)現(xiàn)后續(xù)多段隨機(jī)序列的連接，直到最后一段為止。

3 數(shù)值算例及結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性和實(shí)用性，結(jié)合兩個(gè)不同算例，利用重構(gòu)相角方法對(duì)高速鐵路無砟軌道譜進(jìn)行時(shí)域轉(zhuǎn)化。

3.1 算例1

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的建議，模擬的軌道長度為1 024 m，而文獻(xiàn)[10]中通過正線實(shí)測高低不平順數(shù)據(jù)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到不平順序列的偏度值范圍為-1～1之間，峰度值位于零值附近。為不失一般性，本文選取生成隨機(jī)序列的目標(biāo)峭度為0，目標(biāo)偏度取值分別為0、-0.5和0.5，模擬的運(yùn)行速度為v為80 m/s(288 km/h)，時(shí)域采樣間隔Δt為10-4，軌道不平順波長范圍為3～100 m，規(guī)定限值ξS和ξK分別為0.01和0.02。

取高速無砟軌道高低不平順譜為轉(zhuǎn)化對(duì)象，其表達(dá)式為分段冪函數(shù)，具體可見式(18)，各分段對(duì)應(yīng)的相關(guān)參數(shù)見表1。

SΩ=A/Ωk

(18)

式中：Ω為空間頻率;A、k為擬合公式系數(shù)，1/m。

表1 無砟軌道不平順中位譜擬合公式系數(shù) 1/m

高速鐵路無砟軌道譜為分段線性譜,各段間分段點(diǎn)對(duì)應(yīng)空間波長和頻率可見表2。

表2 高速鐵路無砟軌道不平順譜分段點(diǎn)空間頻率及對(duì)應(yīng)波長

圖1、圖2分別為逆傅里葉變換法得到的隨機(jī)序列以及不同目標(biāo)峭度和目標(biāo)偏度下的隨機(jī)時(shí)域序列。

從圖1、圖2可以看出，經(jīng)過本文方法調(diào)整得到的具有一定偏度和峭度值的隨機(jī)序列在數(shù)值范圍上與逆傅里葉變換法直接獲得的隨機(jī)序列相近，說明了該方法的可用性。不同偏度和峭度值對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列的整體走勢有很大的不同，說明了偏度和峭度對(duì)于隨機(jī)序列確實(shí)有一定的影響。

表3為各隨機(jī)序列的均值、方差的統(tǒng)計(jì)特性。表中顯示重構(gòu)相角后得到的新隨機(jī)序列的均值和方差與原序列幾乎沒有差別，并能保證序列的偏度和峭度較高的精度地接近目標(biāo)值。隨著偏度值從-0.5～0，再由0逐漸增大到0.5，各隨機(jī)序列的中位數(shù)也對(duì)應(yīng)地出現(xiàn)了逐漸增大的過程，偏度為0.5序列與偏度為-0.5序列的中位數(shù)相差達(dá)到1.25，峭度值由基本序列的-0.103左右到達(dá)0附近，數(shù)值處于均值±2周圍的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多了近8 000。統(tǒng)計(jì)特征的對(duì)比結(jié)果說明偏度和峭度對(duì)隨機(jī)序列整體特點(diǎn)確有一定的影響。

表3 勻速條件下各序列統(tǒng)計(jì)特征及其對(duì)比

由圖3可知，重構(gòu)相角后得到的新隨機(jī)序列及逆傅里葉變換法得到初始序列，經(jīng)FFT的幅頻譜與轉(zhuǎn)化譜都非常接近，說明本文方法的模擬結(jié)果精確性。

3.2 算例2

仍以算例1中的高速鐵路高低不平順為轉(zhuǎn)化對(duì)象，模擬的軌道長度約為2 048 m，以v0=77 m/s(277 km/h)作為車輛在加速過程中的初始速度，將之后的加速過程分別看做是加速度為a=0.2 m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng)與加速度為a=0.2 m/s2、加速度變化率為u=0.01 m/s3變加速運(yùn)動(dòng)兩種情形，并假設(shè)二者各子段的初始隨機(jī)相位角相同，獲得勻加速過程和變加速過程對(duì)應(yīng)的不平順位移-時(shí)間序列見圖4。

由圖4可以看出，勻加速過程和變加速過程隨機(jī)不平順序列整體趨勢和數(shù)值范圍上比較一致，但各局部極值的大小及最大值和最小值出現(xiàn)的位置均存在差異，且隨著時(shí)間的增長，二者在局部上差異更為明顯，說明加速度變化率的對(duì)隨機(jī)序列的走勢有一定影響。

表4給出勻加速和變加速過程下兩隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特征及其平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果。

表4 隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特征及平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

由表4見，重構(gòu)相角方式獲得的勻加速和變加速過程的軌道隨機(jī)序列是非平穩(wěn)的，而系統(tǒng)的均值仍然在零值附近，方差與勻速過程軌道隨機(jī)序列相近。

由圖5可以看出，由重構(gòu)相角方法獲得的勻加速過程和變加速過程的隨機(jī)序列，經(jīng)FFT變換得到的功率譜，二者數(shù)值上略有差別，且都與原不平順功率譜較為接近，說明本文方法獲得的模擬序列的可用性和準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

(1) 本文通過二次重構(gòu)隨機(jī)相角的方法可以比較準(zhǔn)確的將由逆傅里葉變換法得到的不平順隨機(jī)序列轉(zhuǎn)化具有一定偏度和峭度值的隨機(jī)序列，能夠保證序列的均值和方差等統(tǒng)計(jì)特征不發(fā)生較大改變。偏度和峭度對(duì)時(shí)域序列的整體走勢，中位值以及均值附近±2周圍的樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)均有不小的影響。

(2) 將加速過程和變加速過程下時(shí)變功率譜轉(zhuǎn)化為一些較短時(shí)間段上平穩(wěn)功率譜，利用逆傅里葉變換法獲得各時(shí)間段的隨機(jī)時(shí)域序列，通過重構(gòu)相角方法實(shí)現(xiàn)各段序列的連接，最終獲得了變速過程下的軌道隨機(jī)不平順序列。發(fā)現(xiàn)變速過程下不平順序列具有非平穩(wěn)的特點(diǎn)，其均值和方差等統(tǒng)計(jì)特性與勻速過程下較為接近。且變速過程的隨機(jī)不平順序列經(jīng)FFT變換得到的功率譜與原不平順功率譜數(shù)值上較為一致。勻加速過程和變加速過程下隨機(jī)不平順序列的整體趨勢和數(shù)值范圍上比較一致，但各局部極值的大小及最大值和最小值出現(xiàn)的位置均存在差異，且隨著時(shí)間的增長，局部上差異越明顯。

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