無(wú)中生有長(zhǎng)方體 巧解一類立體題

趙志攀

摘 要：長(zhǎng)方體內(nèi)蘊(yùn)涵著豐富的點(diǎn)、線、面的相等、平行、垂直等關(guān)系，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，是研究線面關(guān)系、特殊幾何體的一個(gè)重要載體，亦是展開空間想象的重要依托。本文將通過(guò)近年來(lái)部分高考試題中外接球的問(wèn)題談一談巧建長(zhǎng)方體的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：長(zhǎng)方體；正方體；外接球

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）09-219-01

眾所周知，長(zhǎng)方體因其結(jié)構(gòu)對(duì)稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系，內(nèi)涵豐富，位居立體幾何中的基本幾何體首位，是研究線面關(guān)系、特殊幾何體的一個(gè)重要載體，亦是展開空間想象的重要依托。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；……?！庇嘘P(guān)外接球的立體幾何問(wèn)題是近年各省高考試題的重難點(diǎn)之一，本文將通過(guò)近年來(lái)部分高考試題中外接球的問(wèn)題談一談巧建長(zhǎng)方體的應(yīng)用。

例1：（2012年遼寧卷）已知正三棱錐P- ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________。

解析：遇到“正棱錐中 PA，PB，PC兩兩互相垂直”的環(huán)境，易可構(gòu)造正方體如圖1，因正三棱錐P- ABC的外接球與該正方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，所以線段PD為球直徑，球心為線段PD中點(diǎn)O，由正方體的性質(zhì)可得P到平面ABC的距離為線段PD的 ，O到平面ABC的距離為線段PD的 。此空應(yīng)填：

長(zhǎng)方體的一個(gè)角即是PA，PB，PC兩兩互相垂直的環(huán)境，不僅如此正方體模型還可“包容”正四面體環(huán)境，如下圖2：其中正四面體 鑲嵌于正方體之中，其外接球?yàn)橥粋€(gè)，正四面體棱長(zhǎng) ，則對(duì)應(yīng)正方體的棱長(zhǎng)為 ，正方體的體對(duì)角線為 ，所以球半徑 。 依此辦法可以輕松解決有關(guān)球內(nèi)接正四面體的問(wèn)題。

例2：（2006年山東高考題）在等腰梯形 中， ， ， 為 的中點(diǎn)，將 與 分布沿 、 向上折起，使 、 重合于點(diǎn) ，則三棱錐 的外接球的體積為（ ）.

解析：不難發(fā)現(xiàn)題目中的“垂直”條件很是豐富，將題目中的三棱錐復(fù)原于長(zhǎng)方體（正方體）中如下圖：

由題意知，此正方體的棱長(zhǎng)為1，球的半徑為： 體積為： ，選A

例4：（2010全國(guó)卷1理數(shù)）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）

（A） ；（B） ；（C） ；（D）

解析：仔細(xì)分析題意，線面的垂直、平行關(guān)系雖早已不見蹤影，但條件“AB=CD=2”仍可以幫我們將此四面體ABCD復(fù)原于長(zhǎng)方體內(nèi)，如下圖六：

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為： ，則由題意得： ，又因?yàn)榍虬霃綖?，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為4，即有 ，可得 ，所以 ，

而四面體ABCD相當(dāng)于長(zhǎng)方體切掉四個(gè)等大的“角”，所以四面體ABCD體積為長(zhǎng)方體體積的 ，所以四面體ABCD的體積 ，而 ，由不等式得 ，體積的最大值為 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。

無(wú)中生有長(zhǎng)（正）方體，巧解以上四個(gè)題皆是歸功于最大限度地開發(fā)了存在于長(zhǎng)方體中的豐富的線面的垂直、平行關(guān)系以及長(zhǎng)方體特有的數(shù)量關(guān)系，巧妙地將“體形各異”的三棱錐復(fù)原于對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體或正方體中，而三棱錐的外接球與對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)（正）方體的外接球是同一個(gè)，所以球心的位置以及球半徑與椎體棱長(zhǎng)的關(guān)系則顯而易見。