讓思考成為常態(tài)

在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異較低年級時(shí)更為顯著。有的孩子在解決問題時(shí)沉著冷靜，不急不躁，即使遇到從未見過的題目，也能抽絲剝繭逐步將題目破解。與之相反，有些孩子卻連會做的題目也常常做錯。除去其中智力因素外，學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差別主要是其思考問題方式和習(xí)慣的差異。記得數(shù)學(xué)特級教師孫維剛老師對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有這樣一種見解：“老師教給你的東西，就是過了幾年，你把數(shù)學(xué)知識全部忘掉后，還剩在你腦子里的東西。”那么，剩下的是什么呢？就是思維，而這種思維與孩子后續(xù)解決問題的能力是緊密相關(guān)的。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不能只是簡單化地傳授知識，更重要的是教會學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光和思維去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，直到最后能夠順利地解決問題。下面以教學(xué)實(shí)例為載體，對小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考談幾點(diǎn)體會。

一、關(guān)注對數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)設(shè)，喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生源于人類實(shí)際生活的需要，這類問題可稱為現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題。但是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是引入新課時(shí)使用的大量問題情境，實(shí)際是由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要而編派出來的，這類問題可稱為學(xué)校數(shù)學(xué)問題。創(chuàng)設(shè)什么樣的數(shù)學(xué)問題，才有助于喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，并點(diǎn)燃學(xué)生思考的熱情之火，就顯得尤為關(guān)鍵。

如，教學(xué)《用方向和距離描述物體的位置》一課時(shí)，教師設(shè)計(jì)了如下問題情境。

師：有一艘護(hù)航艦巡航到貨輪附近，（見圖1）你能試著說一說這艘護(hù)航艦在貨輪的什么方向？

生：在貨輪的東北方向。

師：我們在描述物體位置時(shí)，通常以南、北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，再看偏東還是偏西。東北方向也就是北偏東方向，所以這艘護(hù)航艦在貨輪的……

生：北偏東方向。

師：這時(shí)，一艘海盜船逐漸接近，怎么辦？（見圖2）

生：讓護(hù)航艦打他們。

師：好，現(xiàn)在任命你們?yōu)樽o(hù)航艦艦長，下令射擊吧！

（護(hù)航艦開始向海盜船射擊，結(jié)果兩次開火都沒打中，一次在海盜船的西側(cè)，一次在海盜船的東側(cè)。）

師：剛才兩次都沒打中，那怎樣才能打中呢？

請艦長們討論一下，說說你的想法和理由。

討論交流時(shí)引導(dǎo)學(xué)生概括：1.要以護(hù)航艦為觀測點(diǎn)來觀察海盜船的位置；2.需要知道海盜船所在位置的角度和距離，才能精確地打擊海盜船。

師追問為什么，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解：知道角度才能明確打擊目標(biāo)在南偏西40°的這條射線上，進(jìn)一步知道了距離就能將打擊目標(biāo)點(diǎn)鎖定。（見圖3）

在上面的案例中，教師精心設(shè)計(jì)了“護(hù)航艦打擊海盜船”這一情境，讓學(xué)生始終興趣盎然，置身其中，并在教師恰當(dāng)引導(dǎo)下自主發(fā)現(xiàn)，要解決“瞄準(zhǔn)海盜船并射擊成功”這個(gè)問題，就是要解決“如何準(zhǔn)確描述海盜船的位置”這一數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而通過小組討論明確要達(dá)到更加精確描述物體的位置，就必須要知道角度和距離才行。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生充分體會到生活中的一些現(xiàn)實(shí)問題，在解決時(shí)都需要借助于數(shù)學(xué)知識來思考，而迫切希望通過數(shù)學(xué)思考來解決問題的態(tài)度是學(xué)生自主產(chǎn)生的，絕不是教師強(qiáng)加。其實(shí)很多數(shù)學(xué)知識都是人類在生產(chǎn)、生活中遇到急需解決的問題后，通過自己的智慧研究得來的。教學(xué)時(shí)教師如果能將生活問題與數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系起來，學(xué)生數(shù)學(xué)思考的熱情就很容易被喚醒。

二、關(guān)注對解決過程的表達(dá)，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

在平時(shí)的教學(xué)中我們會發(fā)現(xiàn)有些孩子會解決問題，可是不能用語言簡潔清晰地表達(dá)自己的思維過程?？墒钦Z言是思維的載體，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體。新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，學(xué)生在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，要能夠發(fā)展合情推理和演繹推理能力，并能清晰地表達(dá)自己的想法。而“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流”等行為及思維形式都得由語言作為手段來進(jìn)行，要依靠語言來顯示。所以教師必須要培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言的能力，才能讓學(xué)生“清晰地表達(dá)自己的想法”，才能進(jìn)一步提高學(xué)生分析與解決問題的能力。

如，教學(xué)《解決問題的策略——倒推》有如下片段。

出示：兩杯果汁原來一共有400毫升，如果從甲杯倒入乙杯40毫升，這時(shí)兩杯果汁就同樣多。兩杯果汁原來各有多少毫升？

師：從題目中你知道哪些信息？

生1：兩杯果汁共有400毫升，不管怎么倒總量都是400毫升，沒有變化。

生2：從甲杯中倒入乙杯40毫升，這時(shí)兩杯果汁同樣多，說明現(xiàn)在每杯都有200毫升的果汁。

師：你準(zhǔn)備怎樣解決這個(gè)問題？

生：我想先求出兩個(gè)杯子現(xiàn)在的果汁，再將它們倒回去算出原有的果汁。

師：再倒回去是什么意思，你能具體說一說嗎？

生：現(xiàn)在兩杯果汁都是200毫升，從乙杯倒出40毫升，就是乙杯原有的果汁量，再在甲杯中倒入40毫升，就是甲杯原來有的果汁量。

師：你說得很清楚，讓我們看看你的想法是否可行。（課件演示：動態(tài)呈現(xiàn)倒果汁的過程）看來你的方法可以解決這個(gè)問題。

師：同桌互相說說倒果汁的過程，再試著自己解決這個(gè)問題。（學(xué)生自做，然后匯報(bào)）

師：誰來給大家展示一下自己的方法？

生1：我列的算式是400÷2=200（毫升），先求出現(xiàn)在每杯的果汁量，再用200-40=160（毫升），就是原來乙杯的果汁，200+40=240（毫升）就是原來甲杯的果汁量。

師：這個(gè)“先……，再……”用得好，讓你把自己思考的過程說得很清楚。

生2：我是用列表加畫圖的方法來解決這個(gè)問題的。（展示下表）

師：他是用表格的方式來呈現(xiàn)的，你覺得怎樣？

生3：我覺得用表格的方法也很好，讓人一看就明白。

案例中學(xué)生所說的“再倒回去”其實(shí)就是倒推的策略，但如何將自己的思路說得明白，就需要教師的引導(dǎo)和訓(xùn)練，如用好“先……，再……”這樣的語言，就是一個(gè)途徑。作為教師，我們知道運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來陳述觀點(diǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方面，學(xué)好數(shù)學(xué)語言是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。因而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，首先必須要訓(xùn)練其數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力。在平時(shí)的課堂上，教師首先要鼓勵學(xué)生“敢說”，每節(jié)課上堅(jiān)持讓學(xué)生說想法，說思路，說理由；然后再教學(xué)生“能說”，也就是盡可能將思路說得清楚，說得完整，說得有條理；最后讓學(xué)生達(dá)到“會說”，即能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)語言邏輯清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷“敢說”——“能說”——“會說”這一過程后，在數(shù)學(xué)課堂上就會表現(xiàn)得更加勤于思考，并且勇于表達(dá)，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。endprint

三、關(guān)注對過程和結(jié)果的反思，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

對于反思自己的解題過程和結(jié)果，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在他的《怎樣解題》一書中對此進(jìn)行了精彩論述：“你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？”這些設(shè)問就是在逐步引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去思考、體會自己探尋問題解法的途徑，促使學(xué)生在不斷反思中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識和技能的相互溝通，提升數(shù)學(xué)思考的價(jià)值。

如，教學(xué)“圓柱的體積”后的一個(gè)練習(xí)片段：

師：圓柱的體積等于底面積乘高，要知道哪些條件，你就能求出圓柱的體積？

生1：知道圓柱的底面積和高。

生2：知道圓柱的底面半徑和高。

生3：知道圓柱的底面直徑或周長和高。

師：知道圓柱的側(cè)面積和底面半徑，你能求出圓柱體積嗎？

出示：一個(gè)圓柱的側(cè)面積是314平方厘米，底面半徑5厘米，它的體積是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考，根據(jù)前面已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過側(cè)面積求出圓柱的高，314÷（5×2×3.14）=10（厘米），再計(jì)算出體積，52×3.14×10=785（立方厘米）。

師：如果把圓柱的側(cè)面積改為“200平方厘米”，你還能計(jì)算出它的體積嗎？

生（很自信地回答）：可以

可當(dāng)學(xué)生繼續(xù)沿用之前的方法時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)200÷（5×2×3.14）不好計(jì)算，這時(shí)不少學(xué)生感到了困難。

師：有些同學(xué)感到困難，放棄了對這個(gè)問題的思考，真的沒有辦法解決嗎？

引導(dǎo)學(xué)生觀察圓柱轉(zhuǎn)化成長方體的實(shí)物模型，改變其擺放的位置，有些學(xué)生在這一觀察中好像有了發(fā)現(xiàn)，皺起的眉頭慢慢舒展開來。

生：可以用側(cè)面積的一半乘半徑。

師：為什么？你能具體給大家介紹一下嗎？

生：（結(jié)合教具見圖5）將圓柱轉(zhuǎn)化成長方體后，我們可以這樣擺，將側(cè)面積的一半作為長方體的底面積，這時(shí)長方體的高就是圓柱的半徑，根據(jù)長方體的體積等于底面積乘高，就可以得出用側(cè)面積的一半乘半徑也是圓柱的體積。

在這位同學(xué)配合教具的演示下，臺下學(xué)生的思路豁然開朗，臉上一個(gè)個(gè)出現(xiàn)了恍然大悟的神情。

師：這個(gè)方法真巧妙，你們聽懂了嗎？那知道圓柱的側(cè)面積和半徑，怎樣算出體積？

生：我會算，用200÷2×5=500（立方厘米）就是這個(gè)圓柱的體積。

教學(xué)中，我們應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生在解決問題之后，回顧自己完整的解題過程，甚至是心理上的變化；分析其中遇到了哪些問題，是否走了彎路，以及為什么會走這些彎路，有沒有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)可以總結(jié)；我的解題思路與老師或其他同學(xué)的思路有什么不同，其中的差異是什么，其原因又是什么；自己在遇到問題時(shí)有沒有進(jìn)行調(diào)整。這些細(xì)致且個(gè)性化的反思，就是對學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的培養(yǎng)。在上面這個(gè)練習(xí)片段中，教師巧妙設(shè)置問題條件，讓第一次提供的數(shù)據(jù)方便計(jì)算，而第二次提供的數(shù)據(jù)計(jì)算起來卻很麻煩，這就促使學(xué)生主動反思自己解題的過程，重新調(diào)整思路，換個(gè)角度來思考。在這一過程中，學(xué)生的思維因?yàn)榕鲎伯a(chǎn)生出智慧的火花，因?yàn)榉此级|及數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)，讓數(shù)學(xué)思考走向更深的層次。

總之，教給學(xué)生思考問題的方法，培養(yǎng)他們思考問題的能力，讓每一孩子都愛思考、會思考，將思考成為一種習(xí)慣和常態(tài)，學(xué)生必將受益終身。

（段薇薇，南京市瑯琊路小學(xué)，210024）

責(zé)任編輯：趙赟endprint