楊輝三角的若干性質(zhì)研究

楊 明 順

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

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楊輝三角的若干性質(zhì)研究

楊 明 順

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

摘要：楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,通過初等方法及同余運(yùn)算對楊輝三角中數(shù)的奇偶性進(jìn)行進(jìn)一步研究，得出楊輝三角中第a行的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)，第0行至第a行構(gòu)成的三角中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)，以及每一斜列上的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)。

關(guān)鍵詞：楊輝三角；素?cái)?shù)；二項(xiàng)式系數(shù)；同余式

楊輝三角[1]是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。王先東老師對楊輝三角中數(shù)的奇偶性做出了研究，即楊輝三角中的數(shù)是否可被素?cái)?shù)2整除[2]。本文通過初等方法、同余運(yùn)算對此問題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，得出楊輝三角中第a行的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)，第0行至第a行構(gòu)成的三角中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)，以及每一斜列上的二項(xiàng)式系數(shù)中可被素?cái)?shù)p整除的個數(shù)。這些結(jié)論對于中國剩余定理[3]及相關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步研究，具有一定的應(yīng)用價值。

1引理及證明

引理2[5]設(shè)p為素?cái)?shù)，k,r,t,s∈N，則?r∈N+，0≤s，r≤p-1，

(1)

證明對r用數(shù)學(xué)歸納法。注意

引理3[6]設(shè)m是大于1的正整數(shù)，(a,m)=1，則aφ(m)≡1(modp)。

證明設(shè)r1,r2,…，rφ(m)是模m的簡化剩余系，則ar1,ar2,…，arφ(m)也是模m的簡化剩余系，于是(ar1)…(arφ(m))≡r1r2…rφ(m)(modm)，但(r1,m)=(r2,m)=…=(rφ(m)，m)=1，因此(r1r2…rφ(m),m)=1,從而aφ(m)≡1(modm)。

2定理及證明

2.1楊輝三角行的情形

(2)

證明當(dāng)s≤t時，反復(fù)利用引理1，有

(3)

2.2楊輝三角斜列的情形

定理4設(shè)p為素?cái)?shù)，k,r,t,s∈N，0≤s,r≤p-1，則

(4)

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)s=0時，由引理2，有

即(4)式成立。

假定0≤s-1≤p-2時，(4)式對?r,0≤r≤p-1都成立，那么對s的情形，有

Cr+kps+tp+r+kp=Cs+kps+tp+r+kp=∑ri=0Ctp+s-1s+tp-1+kp+i+Cs+kptp+s+kp

即(4)式對s也成立，由數(shù)學(xué)歸納法原理知定理4成立。

(5)

證明如果s≥t，反復(fù)應(yīng)用定理4，有

如果s

(6)

(7)

參考文獻(xiàn)：

[1] 王先東.楊輝三角中的奇數(shù)與偶數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報，2009，(5)：15-19.

[2] 張文鵬.初等數(shù)論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2007.

[3] 吳振奎.世界數(shù)學(xué)名題欣賞——斐波那契數(shù)列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987.199-220.

[4] 沈虎躍,金國林.楊輝三角中的奇偶分布[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2008，(3):28-29.

[5] 潘承洞,潘承彪.簡明數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1997.

[6] 趙繼源.初等數(shù)論[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,2001.9.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

Some Properties of Yang Hui’s Triangle

YANG Ming-shun

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Abstract:Yang Hui’s triangle is a kind of geometric arrangement of binomial coefficients in a triangle. Further research on this issue was studied by elementary methods and congruence arithmetic in this paper, and came to the conclusions that the numbers of binomial coefficients of Yang Hui’s triangle in row a which was divisible by prime number p, the numbers of triangles from line 0 to line a which was divisible by prime number p, and the number of binomial coefficients on each seleme which was divisible by prime number p.

Key words:Yang Hui’s triangle; prime number; binomial coefficient; congruence expression

作者簡介：楊明順(1964—)，男，陜西渭南人，渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授，主要從事數(shù)論研究。

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目：關(guān)于F.Smarandache數(shù)論問題的計(jì)算機(jī)輔助研究(2013JK1165)；陜西省扶持學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金資助項(xiàng)目(14SXZD007)；渭南師范學(xué)院科研計(jì)劃項(xiàng)目：數(shù)論函數(shù)及其在大數(shù)據(jù)處理方面的應(yīng)用研究(15YKF005)；渭南師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：《復(fù)變函數(shù)》課程建設(shè)的研究與實(shí)踐(JG201531)；渭南師范學(xué)院教育科學(xué)研究項(xiàng)目：協(xié)同創(chuàng)新下師范生職業(yè)技能的培養(yǎng)(2015JYKX016)

收稿日期：2015-12-24

中圖分類號：O156.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-5128(2016)04-0009-04

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】