不等式恒成立問題的求解策略

【摘要】 不等式恒成立問題是高考數(shù)學(xué)試題中的重要題型，近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，這種題型要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和準(zhǔn)確的計算能力，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法.從實際教學(xué)來看，這部分知識能力要求高、難度大，是學(xué)生掌握最為薄弱，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和規(guī)律方法，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就結(jié)合實例談?wù)勱P(guān)于這類問題的求解策略。

【關(guān)鍵詞】 恒成立問題 不等式 分離參數(shù) 參數(shù)取值范圍

一. 利用一次函數(shù)——單調(diào)性法求解

點評：改變問題的角度，構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)，靈活運用函數(shù)的單調(diào)性，降低問題的難度，從而求解。

二、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型問題求解

結(jié)合二次函數(shù)拋物線的形狀考慮對稱軸、頂點、區(qū)間端點等，列出相關(guān)的不等式，求出參數(shù)的解，下面是兩種基本類型：

思路分析：由不等式對任意實數(shù)恒成立，知或

由此能求出的取值范圍.

三.利用函數(shù)的最值解決

函數(shù)是不等式恒成立問題的主要載體，對不等式恒成立問題可利用等價轉(zhuǎn)化思想、將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題.

∴實數(shù)k的取值范圍是[141，+∞）.

點評： 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理，若所給函數(shù)能直接求出最值，簡單記作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質(zhì)上是求函數(shù)的最值問題。

四，分離參數(shù)法求解

某些含參不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)的最值難以求出時，可考慮變換思維角度“反客為主”， 分離參數(shù)即把習(xí)慣上的主元與參數(shù)變量的“地位”交換一下，通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，，變個視角重新審查恒成立問題，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍，則有（下面的a為參數(shù)）：

點評：分離參數(shù)后，思路清晰，方向明確，從而能使問題得到順利解決。

五，使用數(shù)形結(jié)合求解

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣有著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：

點評：若不等式變形后，能容易畫出兩邊函數(shù)的圖像，運用變化的觀點，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為圖像間的關(guān)系問題，就能順利求解。

上述例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題常見的題型及解法，不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”，抓住了這點，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)。