指數(shù)函數(shù)不等式的教學(xué)注記

姜 雄，叢 靜

(遼寧科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，遼寧 本溪 117004)

1 問(wèn)題的提出

對(duì)于自然科學(xué)和工程技術(shù)來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)是其理論研究的重要工具，它在工程技術(shù)、信息科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)的基礎(chǔ)，該課程所教授的基本概念、基本理論和基本方法是構(gòu)成學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，所以熟悉高等數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，更有助于提高學(xué)生用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)各專業(yè)課程打下基礎(chǔ)。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，常常用到許多教學(xué)方法，諸如聯(lián)想法、比較法、構(gòu)造法等，在指數(shù)函數(shù)不等式的講解過(guò)程當(dāng)中，靈活性教學(xué)方法顯得尤為重要。下面以指數(shù)函數(shù)不等式為例，來(lái)展示高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的教學(xué)方法。

指數(shù)函數(shù)不等式，在學(xué)生的專業(yè)課程和生產(chǎn)實(shí)踐中有非常廣泛的應(yīng)用，通過(guò)研究它的產(chǎn)生過(guò)程，探究它的證明過(guò)程和應(yīng)用條件，從高等數(shù)學(xué)教學(xué)角度來(lái)揭示它們的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探索精神，有著十分重要的意義。

xε<1+ε(x-1)〔1〕

(1)

式(1)中：x為任意正數(shù)，0<ε<1為任意真分?jǐn)?shù)。

化成：

(2)

化成：

(3)

(4)

2 指數(shù)函數(shù)不等式的來(lái)源

3 指數(shù)函數(shù)不等式的應(yīng)用

通過(guò)上述對(duì)指數(shù)不等式的了解，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，可以對(duì)指數(shù)不等式進(jìn)行進(jìn)一步地運(yùn)用。

3.1 指數(shù)函數(shù)的極限形式

3.2 將ex展開成x的冪級(jí)數(shù)

關(guān)于ex的展開，高等數(shù)學(xué)教材一般采用泰勒展開，這里不妨變換另一種形式，運(yùn)用指數(shù)不等式進(jìn)行展開。

定理：f(x),g(x)在(0,x)上恒正，且M=max(g(x))，則有：

對(duì)于ex<1+xex，兩邊同時(shí)求均值，并且運(yùn)用定理得：

對(duì)上式兩邊繼續(xù)按上面方法求值，得：

因此，當(dāng)x>0時(shí)，有：

當(dāng)x<0時(shí)，可以得到：

如果寫成：

(5)

當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，式子(5)引起的誤差因此消失，所以對(duì)于任意x：

3.3 在復(fù)變函數(shù)下的展開與應(yīng)用

指數(shù)不等式不僅運(yùn)用在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，也可以直接應(yīng)用在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中。

3.3.1ez的展開

由z代替x：

∴En+m(z)-En(z)=Rm(z)。

令|z|=ξ，則：

3.3.2eα·eβ=eα+β的證明

令α與β是兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，且|α|+|β|=γ。

所以，En(α)En(β)=En(α+β)+εδ(|ε|<1)。

當(dāng)n→∞時(shí)，δ→0，則有：

eα·eβ=eα+β。

3.3.3 歐拉公式的證明

令z=x+iy(x,y為實(shí)數(shù))，因?yàn)閑α+β=eα·eβ,有：

=ex(cosy+isiny)，這就是歐拉公式。

高等數(shù)學(xué)課程是工科各專業(yè)的基礎(chǔ)課程，為了培養(yǎng)高素質(zhì)、創(chuàng)新性的工科人才，需要教師不斷地深化教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生更好地思考和探索數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使之成為符合新時(shí)代要求的高素質(zhì)人才。