例說“轉(zhuǎn)化思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

所謂“轉(zhuǎn)化思想”，就是在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，變?yōu)橐活愐呀?jīng)解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。轉(zhuǎn)化思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何正確引導(dǎo)及指導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、拓展學(xué)生的思維空間、培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散能力起著十分重要的作用。下面通過舉例說明轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中的運用。

一、化舊知為新知

“溫故而知新”，新知識的獲得，離不開原有的認知基礎(chǔ)。很多新知識都是學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。因此，對于學(xué)生來講，學(xué)會怎樣在已有知識的基礎(chǔ)上掌握新知識的方法是非常必要的。

例如，在學(xué)習(xí)二次根式時，可向?qū)W生提出：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根，那么你能根據(jù)已學(xué)的知識完成今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容“二次根式”嗎？這樣簡單、明了的一句話就溝通了新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系。問題的提出，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使了學(xué)生思維的展開，提供了回答問題的機會，創(chuàng)造了活躍的教學(xué)氣氛，學(xué)生會迅速而準確地回答出二次根式的定義。

二、化不規(guī)則為規(guī)則，化零散為整體

初中幾何教學(xué)，經(jīng)常涉及到求幾何圖形的面積，尤其是求不規(guī)則圖形的面積或求幾個不規(guī)則圖形的面積之和時，難度往往較大。這時，就要進行圖形變換。把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，或把幾個不規(guī)則圖形拼接成規(guī)則圖形。圖形變換的目的就是化繁為簡，化難為易，化笨為巧，尋找解題捷徑，通過轉(zhuǎn)化思想來開拓學(xué)生的解題思路。

例：如圖，菱形ABCD的邊長是2cm，∠A=60°，以點A為圓心，AB長為半徑，畫弧BD，以點B為圓心，BC長為半徑，畫弧CD。則陰影部分的面積為 cm2

分析：所求陰影部分面積為不規(guī)則圖形，連接BD，由菱形的性質(zhì)知AB=BC=CD=AD，又∠A=60°，所以△ABD和△BCD都是等邊三角形，故陰影部分的面積等于△BCD的面積。

例：如圖，在一塊長為35米，寬26米的矩形綠地上有寬度相同的兩條小路，小路開口處均為1米，則綠地面積（圖中陰影部分）為 平方米。

分析：綠地由四塊不規(guī)則的四邊形組成，如果逐一求出每個四邊形的面積，再相加，是不可能的；若把四個不規(guī)則的四邊形通過平移，重新拼成一個新矩形，則新矩形的面積等于所求綠地的面積。新矩形的長和寬容易求得。

三、化抽象為直觀

初中數(shù)學(xué)是以“數(shù)”與“形”這兩個基本概念為基礎(chǔ)而展開的。“數(shù)”是抽象的，“形”是直觀的；教學(xué)中，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，數(shù)形結(jié)合，可使學(xué)生更好地理解復(fù)雜的知識，可使解題過程變得更簡單。如運用平面直角坐標(biāo)系來解決有關(guān)函數(shù)方面的問題，可以通過圖象將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來，探索出一條合理而巧妙的解題途徑，從而達到解決學(xué)生心中存在的困惑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的目的。

例：把一次函數(shù)y=-x+3的圖象向上平移m個單位長度后，與一次函數(shù)y=2x+4的圖象的交點在第一象限，求m的取值范圍。

分析：如果按一般的方法，先寫出直線y=-x+3平移后的解析式為y=-x+3+m，然后與y=2x+4組成方程組，求出交點坐標(biāo)；再根據(jù)x>0，y>0組成不等式組，解不等式組，得到m的取值范圍。這樣做，步驟多，過程繁瑣。如果我們在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象，通過觀察圖象的平移，就能直接得出結(jié)果。解題過程簡單明了。

四、化實際問題為數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)來源于生活，也服務(wù)于生活，用貼近學(xué)生生活的實際問題為背景，構(gòu)建函數(shù)類的試題，利用函數(shù)模型解決實際問題的考法是歷年中考的熱點之一，也是十分常見的解決實際問題的思考方法。

例：（1）某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè).小明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500。①設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？②如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？③根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價銷×售量）

分析：（1）要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？”問題，也就是把實際問題轉(zhuǎn)化求二次函數(shù)的最大值（或最小值）問題：即每月利潤=每件產(chǎn)品利潤×銷售產(chǎn)品件數(shù)，得：w = （x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），通過整理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)w =-10x2+700x-10000，再由x= ，解得：x=35，即當(dāng)銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

（2）要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？”問題，即轉(zhuǎn)化為列一元二次方程解應(yīng)用題問題，由題意得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解這個方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內(nèi)的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉(zhuǎn)化一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)來完成。∵二次函數(shù)w =-10x2+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當(dāng)30≤x≤40時，w≥2000；又∵銷售單價不得高于32元，∴當(dāng)30≤x≤32時，w≥2000；設(shè)成本為P（元），由題意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函數(shù)性質(zhì)k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∵30≤x≤32，∴x = 32時，P最小=3600， ∴ 要實現(xiàn)銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

五、化動態(tài)為靜態(tài)

動態(tài)問題在初中數(shù)學(xué)中占有重要的位置，滲透運動變化的觀點，集多個知識點于一體，集多種解題思路于一題。這類題靈活性強，能力要求高，它能全面地考查學(xué)生的實際操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來求解。

例：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，BC=10，AD與BC之間的距離為4，動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，設(shè)運動時間為t（秒）。①當(dāng)MN∥AB時，求t的值；②試探究，t為何值時，△MNC是等腰三角形。

分析：本題中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學(xué)可能會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M、N是在動，意味著BM、MC以及DN、NC都是變化的。但我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)條件密切相關(guān)的條件DC、BC的長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的，所以但題中設(shè)定的MN∥AB時，就變成了一個靜止問題了。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。

以上只是從有限的幾個方面，闡述了轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運用。轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，它具有靈活性和多樣性的特點，沒有固定的模式可遵循；需要依據(jù)問題提供的信息，利用動態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法。所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化思想，有意識地運用數(shù)學(xué)的變換方法，去靈活解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，將利于提高學(xué)生解題的應(yīng)變能力和技巧。