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    借助化歸思想高效處理初中數(shù)學試題

    2024-12-21 00:00:00錢建明
    數(shù)理天地(初中版) 2024年24期

    【摘要】與小學數(shù)學知識相比較來說,初中數(shù)學教學內(nèi)容顯得更為抽象和復雜,學生要學習很多數(shù)學定義、定理和公式等內(nèi)容.很多初中生在數(shù)學學習過程中都會遇到不少障礙,特別是在解題環(huán)節(jié),他們往往會遇到一些難題,以至于陷入到困境之中.這時初中數(shù)學教師可指導學生借助化歸思想分析和解答這些試題,幫助他們順利突破解題障礙,增強數(shù)學學習自信.本文針對如何借助化歸思想高效處理初中數(shù)學試題進行探討,并羅列部分解題案例.

    【關(guān)鍵詞】化歸思想;初中數(shù)學;解題

    通俗來講,化歸思想即為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的統(tǒng)稱,本質(zhì)上是實現(xiàn)把問題從、從難到易、從繁到簡的轉(zhuǎn)變,既屬于常用解題思想之一,還是一個有效的思維策略,更是數(shù)學思維的一種.針對初中數(shù)學教學而言,隨著所學內(nèi)容難度與深度的增加,相應的試題難度也有所增大,在平常的解題訓練中,當使用常規(guī)方法難以解題時,教師便可以引領(lǐng)學生結(jié)合具體題目靈活使用化歸思想,使其找到更為簡潔的解題思路,助推他們高效地處理數(shù)學試題.

    1 借助化歸思想實現(xiàn)未知往已知的轉(zhuǎn)變

    例1 在圖1中,有一個等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=CD,AC和BD兩條對角線的交點是O,且AC⊥BD,AD=3,BC=5,那么AC是多長?

    分析 解答這一題目時,可以該等腰梯形的對角線是垂直關(guān)系為切入點,采用平移對角線AC的方式把未知的等腰梯形往已知的平行四邊形和直角三角形進轉(zhuǎn)變,結(jié)合化歸思想輕松求出AC的長度[1].

    詳解 根據(jù)題意可經(jīng)過D點畫出輔助線,即DE∥AC,且與BC的延長線在E點相交,

    則AD=CE=3,AC=DE,

    BE=BC+CE=5+3=8,

    因為AC⊥BD,

    所以BD⊥DE.

    又因為這是一個等腰梯形,

    那么兩條對角線AC=BD,

    則BD=DE.

    故在Rt△BDE里面,根據(jù)勾股定理可得BD2+DE2=BE2,

    代入相關(guān)數(shù)據(jù)后求得BD=22,BE=42,

    則AC=DE=42

    所以AC的長度是42.

    2 借助化歸思想實現(xiàn)陌生往熟悉的轉(zhuǎn)變

    例2 請解一元二次方程2(x-1)2-5(x-1)+2=0.

    分析 雖然題目中明確指出這是一個一元二次方程,但是如果直接將原方程展開以后進行求解的話,將會變得十分繁瑣和復雜,通過對原方程式的觀察發(fā)現(xiàn),可設(shè)x-1=y,從而借助化歸思想實現(xiàn)陌生往熟悉的轉(zhuǎn)變,通過求解新方程獲得最終結(jié)果.

    詳解 根據(jù)題意可設(shè)x-1=y,

    那么原方程就變化為2y2-5y+2=0,

    據(jù)此能夠求得y1=2,y2=12,

    當y1=2時,x-1=2,求得x1=3,

    當y2=12,x-1=12,求得x2=32,

    所以該方程的解為x1=3,x2=32.

    3 借助化歸思想實現(xiàn)復雜往簡單的轉(zhuǎn)變

    例3 已知x2+x-1=0,那么x3+2x2+2009的值是什么?

    分析 針對這一題,從表面上來看就顯得較為復雜,題干題目提供的已知信息較少,無法直接求出x的值,但是可借助化歸思想,采用降次或者化零為整等方式展開轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)由復雜往簡單的轉(zhuǎn)變,從而降低解題難度[2].

    詳解 根據(jù)x2+x-1=0能夠得到x2=1-x,

    那么x3+x2+2009

    =x(1-x)+2(1-x)+2009

    =-x2-x+2011

    =-(x2+x-1)+2010

    =2010,

    所以x3+x2+2009的值是2010.

    4 借助化歸思想實現(xiàn)一般往特殊的轉(zhuǎn)變

    例4 在圖2中,∠AOB為定角,一個定點P處在∠AOB的角平分線之上,連接OP,然后以O(shè)P為弦畫出一個圓,同OA,OB分別相交于C,D兩點,請證明OC+OD為定值.

    分析 處理這道題目時,可借助化歸思想實現(xiàn)一般往特殊的轉(zhuǎn)變,即為先將一般性問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥庑詥栴},再進行求解,然后通過研究特殊性情況處理問題,由此獲得結(jié)論.在本題中,可將題目里面一般情況先展開特殊化處理,如圖3所示,如果OP是該圓內(nèi)一條特殊的弦,也就是直徑,長度設(shè)為L,∠AOB=2α,證明在這種特殊情況下OC+OD為定值,然后證明一般情況下OC+OD也為定值.

    詳解 如圖3所示,當OP從圓心經(jīng)過時,

    設(shè)OP=L,∠AOB=2α,

    則∠ODP=∠OCP=90°,

    OC+OD=2OD=2Lcosα,

    故OC+OD為定值;

    當OP不從圓心經(jīng)過時,在圖2中以添加輔助線PF⊥OB,垂足為F點,PE⊥OA,垂足為E點,

    由于OP是∠AOB的角平分線,

    那么PE=PF,OE=OF=Lcosα,

    故∠PDF=∠PCE,

    則Rt△PDF≌Rt△PCE,

    由此得到DF=CE,

    OC+OD=(OE-CE)+(OF+FD)=OE+OF=2Lcosα,

    所以O(shè)C+OD也為定值.

    5 借助化歸思想實現(xiàn)代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)變

    例5 已知m和n均為正數(shù),其中兩者之和是3,設(shè)S=m2+4+n2+4,那么S的最小值是什么?

    分析 從表面上來看,這是一道代數(shù)式試題,不過直接求解的難度較大,很難找到切入點,所以要仔細分析題干中給出的已知條件,發(fā)現(xiàn)可通過圖形樣式將代數(shù)式給展現(xiàn)出來,實現(xiàn)代數(shù)往幾何的轉(zhuǎn)變,再結(jié)合圖形的特征求得結(jié)果[3].

    詳解 根據(jù)題意可畫出圖4,讓線段AB與DE在C點相交,分別連接AD和BE,

    那么AD=BE=2,m+n=AB=3,

    而且∠CBE=∠CAD=90°,

    這時CD+CE的最小值即為S的最小值,

    通過對圖形的觀察能夠發(fā)現(xiàn),當CD+CE有最小值時,需要E,C,D三個點位于同一條直線上面,而且C點為線段AB的中點,就有S的最小值,

    假設(shè)AC=m,CB=n,

    由于m+n=AB=3,

    那么能夠得到AC=BC=12AB=32,

    也就是m=n=32,

    則在Rt△BEC和Rt△ADC里面,

    可以得到CD=AD2+AC2=4+94=52,

    同時CE=BC2+BE2=52,

    故DE=S=CE+CD=52+52=5,

    所以S的最小值便為5.

    例6 在一個△ABC里面,三條邊分別為a,b,c,其中a2+b2+c2=ab+ac+bc,那么△ABC是一個什么形狀的三角形?

    分析 當解答這道題目時,通過對題干內(nèi)容的閱讀和研究發(fā)現(xiàn),提供代數(shù)式十分關(guān)鍵,是解題突破口,盡管這是一道判斷三角形形狀的幾何類題試題,不過可以借助化歸思想實現(xiàn)幾何往代數(shù)的轉(zhuǎn)變,利用數(shù)的經(jīng)精確性進行解題,最終用湊完全平方式的方法完成答題,準確判斷出△ABC的形狀.

    詳解 根據(jù)a2+b2+c2=ab+ac+bc能夠得到2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,

    也就是a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,

    由此得到(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,

    要想讓上述成立,只能是a-b=0,a-c=0,b-c=0,

    據(jù)此得到a=b=c,由此表明這個三角形的三條邊長度是一樣的,

    所以△ABC的形狀是等邊三角形.

    6 借助化歸思想實現(xiàn)函數(shù)往方程的轉(zhuǎn)變

    例7 在圖5中,有一個一次函數(shù)y=-x+2與反比例函數(shù)y=-8x,兩個函數(shù)的圖象分別在A,B兩點相交,A,B兩點的坐標分別是什么?△AOB的面積是多大?

    分析 本題難度一般,當兩個函數(shù)的圖象相交時,交點橫、縱坐標同時適合這兩個函數(shù)的解析式,當求兩個交點的坐標時,可以直接把兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立到一起,組成一個方程組,借助化歸思想實現(xiàn)函數(shù)往方程的轉(zhuǎn)變,通過解方程組求出兩個點的具體坐標,然后根據(jù)圖象同坐標軸的交點坐標便可求出圍成三角形面積的大?。?/p>

    詳解 把兩個函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+2與y=-8x聯(lián)立到一起,組成一個方程組,

    通過解方程得到x1=4,y1=-2;x2=-2,y2=4,

    結(jié)合對圖象的觀察可知點A的坐標為(-2,4),點B的坐標為(4,-2);

    因為一次函數(shù)y=-x+2的圖象與y軸的交點是D,

    則D點的坐標為(0,2),

    那么SAOD=12×2×2=2,SBOD=12×2×4=4,

    故SAOB=SAOD+SBOD=2+4=6,

    所以△AOB的面積是6.

    7 結(jié)語

    總的來說,在初中數(shù)學教學活動中,教師需格外關(guān)注解題訓練環(huán)節(jié),平時以做好數(shù)學理論知識的講授工作為前提,并注重各種數(shù)學思想的滲透,尤其是化歸思想的融入,當遇到部分特殊試題時,指引學生根據(jù)實際情況借助化歸思想確定解題方案,使其從中找到清晰的解題流程和方法,減少錯誤情況的出現(xiàn),最終驅(qū)使他們快速、準確地處理試題和求出結(jié)果.

    參考文獻:

    [1]闕開煜.例談化歸思想在初中數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)學之友,2024,38(13):85-86+90.

    [2]陳敏,寧肖肖.初中數(shù)學解題中化歸思想的運用[J].現(xiàn)代中學生(初中版),2024(04):13-14.

    [3]袁婕妤.化歸思想在初中數(shù)學解題教學中的實踐應用[J].數(shù)理天地(初中版),2024(01):91-92.

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