基于創(chuàng)新思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

在上完“勾股定理”第二節(jié)課時(shí)，我班一位愛提問題的學(xué)生小徐向我提出了這么一個(gè)問題：“在平面內(nèi)，直角三角形的三邊滿足勾股定理，那么在空間里，有沒有類似的結(jié)論呢？”在感慨與欣喜之后，針對(duì)這個(gè)問題，我進(jìn)行了思考，并決定改變?cè)瓉淼慕虒W(xué)計(jì)劃，補(bǔ)充了本節(jié)內(nèi)容，與學(xué)生繼續(xù)探討空間里的“勾股定理”。

教學(xué)過程

如圖1，已知四邊形ABCD是長方形，AC為對(duì)角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC滿足勾股定理。

圖1 圖2

如圖2，ABCD-A1B1C1D1是長方體，圖1中的線段AB、BC、AC分別對(duì)應(yīng)圖2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α、β、γ表示，則是否有α2+β2=γ2仍然成立？請(qǐng)說明理由。

讓學(xué)生就上述設(shè)問獨(dú)立思考或展開討論，筆者通過巡視，了解學(xué)生的思考狀況和初步結(jié)論，發(fā)現(xiàn)少部分學(xué)生完成解答，筆者選擇了其中一位學(xué)生談?wù)勊南敕ā?/p>

生1：將長方體的長、寬、高分別設(shè)為a，b，c，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再把三個(gè)面的面積用字母表示出來，就可證明結(jié)論。

思路打開，很多同學(xué)都興奮起來，紛紛在自己的練習(xí)本上嘗試。

（片刻之后，投影一個(gè)學(xué)生的解題過程）

課堂觀察：通過巧設(shè)字母，用字母表示未知量，再計(jì)算得出等量關(guān)系，這是數(shù)學(xué)上常用的一種方法，通過對(duì)問題的思考、探索和論證，學(xué)生獲得了空間“勾股定理”的知識(shí)，并練熟常用的數(shù)學(xué)解題方法。

在上述過程中筆者發(fā)現(xiàn)生2始終沒有發(fā)言，平時(shí)他可是積極發(fā)言的，他還不時(shí)地在紙上畫些什么。于是，筆者問生2有什么想法？他說：“我發(fā)現(xiàn)假如AC不是對(duì)角線，過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，剛才的結(jié)論仍成立?！彪m然生2說得不是很完整，但筆者還是對(duì)他表示了贊許。其他同學(xué)似乎聽懂了他的意思，紛紛拿出尺和筆在紙上不停地畫起來，同小組學(xué)生展開了激烈的討論。五分鐘后，同學(xué)們都興奮地叫起來“可以的”“證明方法與剛才是一樣的”……

圖3（1） 圖3（2）

如圖3（1），若面EBB1E1、面BCC1B1、面ECC1E1的面積分別用α、β、γ表示，則有α2+β2=γ2仍然成立，證明方法與上面類似。

趁此時(shí)機(jī)，筆者表揚(yáng)了生2，同時(shí)鼓勵(lì)其他同學(xué)進(jìn)一步展開思考。片刻后，成績平平、有些膽怯的生3小聲地說了一句，筆者趕緊抓住機(jī)會(huì)鼓勵(lì)他發(fā)言，他輕聲地說：“點(diǎn)C要是不在頂點(diǎn)上，行不行？” （如圖4）

圖4（1） 圖4（2）

筆者不失時(shí)機(jī)地表揚(yáng)生3，其他同學(xué)則不約而同地表示贊同生3的觀點(diǎn)。

如圖4（1），若面EBB1E1、面BFF1B1、面EFF1E1的面積分別用α+β=γ表示，則有α2+β2=γ2仍然成立，證明方法與上面類似。

課堂觀察：由圖2變式到圖3（1）、圖4（1），即將線段由特殊位置向一般位置轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)中常用的變式技巧，在圖3（1）、圖4（1）中存在圖2的模型，如圖3（2）、圖4（2），這是數(shù)學(xué)模型的一個(gè)應(yīng)用，學(xué)生因此對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)有了新的發(fā)展。有時(shí)學(xué)生的直覺中隱藏著豐富的創(chuàng)造性“火花”，在課堂教學(xué)中我們要及時(shí)捕捉學(xué)生的直覺靈感，并給以適度的肯定與表揚(yáng)。

接下來的幾分鐘，學(xué)生顯得很沉默，感覺無法再聯(lián)想下去，此時(shí)筆者再次出示問題：

如圖5，四邊形ABCD為長方形，直線l分別截AB、CB于點(diǎn)E、F，則有BE2+BF2=EF2。

如圖6，ABCD-A1B1C1D1為長方體，一個(gè)平面分別截長方體的棱AB、BC、BB1于點(diǎn)M、N、G。

圖5中的直線對(duì)應(yīng)圖6的平面MNG，圖5中直線截長方形的兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)圖6中平面MNG截長方形所得三個(gè)面BMN、面BMG、面BNG。若面MNG、面BMN、面BMG、面BNG的面積分別用δ，α，β，γ表示，請(qǐng)猜一猜α2+β2+γ2=δ2 是否成立？（不需要說明理由）

圖5 圖6

有的學(xué)生顯得茫然，不知所措，有的學(xué)生與組內(nèi)學(xué)生展開討論，只有個(gè)別學(xué)生在動(dòng)筆計(jì)算。

類比上述證明過程，可設(shè)MB=a，BG=b，BN=c，則α=[12]ac，β=[12]ab，γ=[12]bc，但δ卻很難表示出來。此時(shí)，筆者建議每組同學(xué)用特殊數(shù)據(jù)代替字母進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

為了檢驗(yàn)學(xué)生的成果，筆者分別讓兩個(gè)小組代表說一說他們的結(jié)論.

生4：如圖7，設(shè)a=3，b=4，c=2，

計(jì)算得出MN=[13]，NG=2[5]，MG=5，

圖7

α=3，β=6，γ=4，

∴α2+β2+γ2=61。

求δ時(shí)設(shè)NH=x，則GH=2[5]-x，利用勾股定理列出方程：

（[13]）2-x2=52-（2[5]-x）2，得出x=[25][5]。

在Rt△MNH中，MN=[615]×[12]=[615]，

∴α2+β2+γ2=δ2 成立。

生5：設(shè)了a=1，b=2，c=3，同樣方法驗(yàn)證了結(jié)論成立。

討論結(jié)束，同學(xué)們似乎還意猶未盡。

課堂觀察：此類變式難度大，對(duì)學(xué)生的要求高，由特殊猜想一般結(jié)論，一般結(jié)論的證明有待學(xué)生課后探究，此過程讓學(xué)生體會(huì)到發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的樂趣，難度越大挑戰(zhàn)越大，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情立即被點(diǎn)燃。

課后反思

1.將課外知識(shí)帶進(jìn)課堂，尊重個(gè)性需求。

所謂數(shù)學(xué)課外知識(shí)是以課程標(biāo)準(zhǔn)和課本為基礎(chǔ)，為了尊重、滿足學(xué)生個(gè)性化的需求而設(shè)置的數(shù)學(xué)知識(shí)。在教學(xué)過程中，我們不應(yīng)該受到課程標(biāo)準(zhǔn)和課本過多的束縛，上例中空間中的勾股定理雖然不在初中課本要求研究的范圍內(nèi)，但卻把它帶進(jìn)了初中的數(shù)學(xué)課堂，目的是讓學(xué)生學(xué)“有用”的數(shù)學(xué)，學(xué)“必需”的數(shù)學(xué)，學(xué)“不同”的數(shù)學(xué)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)撃?、促進(jìn)學(xué)生良好的個(gè)性發(fā)展，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼睛來觀察世界，用數(shù)學(xué)的頭腦來思考生活問題，我覺得這是非常值得的。

2.適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提問， 激發(fā)創(chuàng)造性思維。

課本是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)最重要的資源，同時(shí)也是許多問題的藏身之處。在教學(xué)過程中結(jié)合已學(xué)過的課內(nèi)知識(shí)適時(shí)讓學(xué)生嘗試去“設(shè)計(jì)問題”，鼓勵(lì)有疑問的學(xué)生提出問題，一方面有利于充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生聽課的專注度；另一方面能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成愛提問的好習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。在上面的課堂中，觀察每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，了解哪些學(xué)生有話可講，及時(shí)表揚(yáng)提問的學(xué)生。若能持之以恒，學(xué)生對(duì)書本知識(shí)能有更深刻的理解，學(xué)生提出問題的能力以及思維深度都能相應(yīng)提高。特別是數(shù)學(xué)概念的形成過程，給學(xué)生一個(gè)想象的空間，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，親歷發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程，學(xué)生的創(chuàng)造性能力就會(huì)逐步提升。

3.將課本知識(shí)推廣引申，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

推廣引申能夠讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)新的全過程。在教學(xué)中可以經(jīng)常這樣問學(xué)生：本題有沒有多種解法？有沒有變式？能否一般化？由此你還聯(lián)想到什么？等等，使學(xué)生形成一般化意識(shí)和類比意識(shí)，隨時(shí)隨地萌發(fā)推廣引申的想法。在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地多留一些容易延伸的命題鏈、方法或知識(shí)點(diǎn)，稍加指點(diǎn)，留給學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。上例中學(xué)生從平面內(nèi)的勾股定理引申到空間，把線段過正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)引申到過一個(gè)頂點(diǎn)、不過頂點(diǎn)，從三棱柱的三個(gè)側(cè)面的關(guān)系引申到三棱錐四個(gè)面之間的關(guān)系。經(jīng)常從推廣引申的視角來提出問題，生長知識(shí)，不僅可以使學(xué)生形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，帶給學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和熱情，這是很有價(jià)值的一件事！

（作者為江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教師）