群體博弈Nash均衡點(diǎn)集的通有穩(wěn)定性

研究群體博弈Nash均衡集的穩(wěn)定性。即在支付函數(shù)連續(xù)的群體博弈中，當(dāng)支付函數(shù)擾動(dòng)時(shí)，研究其Nash均衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性。首先證明博弈空間是完備的度量空間及博弈空間到Nash均衡點(diǎn)集的集值映射上半連續(xù)，然后引進(jìn)本質(zhì)均衡點(diǎn)和本質(zhì)博弈的定義。則博弈空間中存在一個(gè)稠密剩余集，使得群體博弈是本質(zhì)的，也就是說(shuō)在Baire分類意義下，大多數(shù)群體博弈的Nash均衡是穩(wěn)定的。

一、群體博弈Nash均衡的通有穩(wěn)定性

設(shè) 是 個(gè)由代理人群體組成的社會(huì)，群體 中的代理人的純策略集： ， 表示所有群體的所有純策略總數(shù)。群體 的社會(huì)狀態(tài)： ， 的分量 表示群體 中選取策略 的個(gè)體份額， 是 的非空緊凸集。社會(huì)狀態(tài)集合： 。 是第 個(gè)群體的支付函數(shù)。

根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性及定義域的緊性，易證 是一個(gè)完備的度量空間。

由支付函數(shù) 可以確定一個(gè)群體博弈，我們可以將 看作是博弈的集合，稱 為博弈空間。用 表示博弈 的所有Nash均衡集合，由Nash均衡的存在性定理知 。下面就研究集值映射 。

引理1設(shè) 和 是兩個(gè)Hausdroff拓?fù)淇臻g， 是 中一族非空緊集網(wǎng)， ，其中 是 中一個(gè)非空緊集， 是 中一個(gè)網(wǎng)， ， 是 上一族連續(xù)函數(shù)網(wǎng)， ，其中 是 上一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則 。

引理2設(shè) ， 是兩個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，而 是緊空間，如果集值映射 是閉的，則 在 上必是上半連續(xù)的。

定理1 在 上是一個(gè)usco映射。

證明因 緊，由引理2知我們只需證明集值映射 的圖是閉的，即要證明 則 。

從而得到 。

定義1 ， 稱為群體博弈 的本質(zhì)均衡，如果對(duì) 的任意開鄰域 ，存在 的開鄰域 ，使 ， ，而 。如果 ， 都是群體博弈的本質(zhì)均衡點(diǎn)，則稱群體博弈 是本質(zhì)的，如果 ，而 是本質(zhì)的，則稱群體博弈 是弱本質(zhì)的。

定理2 群體博弈 是本質(zhì)的，當(dāng)且僅當(dāng)集值映射 在 是下半連續(xù)的。

證明必要性： ，對(duì)任何 中的開集 ， ，取 ，則 是 的開鄰域，因群體博弈 是本質(zhì)的，故 必是本質(zhì)的，存在 的開鄰域 ，使 ， ，而 ，從而 ，集值映射 在 是下半連續(xù)的。

充分性： ， ，對(duì) 的任意開鄰域 ，則有 ，因集值映射 在 是下半連續(xù)的，存在 的開鄰域 ，使 ，有 ，取 ，則 ，又 ， 必是本質(zhì)的，從而群體博弈是本質(zhì)的。

同理我們也可以得到如下推論：

推論1 群體博弈 是弱本質(zhì)的，當(dāng)且僅當(dāng)集值映射 在 是弱下連續(xù)的。

定理3在博弈空間 中存在一個(gè)稠密剩余集 ，使 ，群體博弈 是本質(zhì)的。

證明因 是一個(gè)完備度量空間，則它一定是一個(gè)Baire空間，而 是一個(gè)度量空間，由定理1， 是一個(gè)usco映射，于是由Fort定理，存在 的一個(gè)稠密剩余集 ，使 ，集值映射 在 是下半連續(xù)的。由定理2， ，博弈 是本質(zhì)的。

注： ，因 在 中是稠密的，則 可以由本質(zhì)博弈做任意逼近。又 稠密則 是第二綱，則我們可以說(shuō)，在Baire分類意義下，對(duì)大多數(shù)的 ，博弈 都是本質(zhì)的，或者說(shuō)博弈 是本質(zhì)的是 上的通有性質(zhì)。

定理 4 ，如果 （單點(diǎn)集），則群體博弈 必是本質(zhì)的。

證明對(duì)任何 中的開集 ， ，因 ，則 ，從而 。由定理1，集值映射 在 是上半連續(xù)的，存在 的開鄰域從而 ，使 ，有 ，于是 ，集值映射 在 是下半連續(xù)的。由定理2，群體博弈 必是本質(zhì)的。

二、總結(jié)

本文研究了在支付函數(shù)擾動(dòng)時(shí)，群體博弈Nash均衡的通有穩(wěn)定性。

（作者單位：貴州大學(xué)）