淺談數(shù)學(xué)解題的檢驗(yàn)

解題的正確與否對(duì)于解題者來(lái)說(shuō)是最關(guān)心的問(wèn)題，因此解題者，弄清解題檢驗(yàn)的必要性，掌握一些解題檢驗(yàn)的方法，了解哪些問(wèn)題需要加以檢驗(yàn)尤為重要。在一定意義上說(shuō)數(shù)學(xué)解題的檢驗(yàn)，是對(duì)問(wèn)題的探討和回顧，學(xué)生加強(qiáng)這方面能力的培養(yǎng)，是對(duì)問(wèn)題更深入的理解，從而對(duì)解答正確性的肯定得到進(jìn)一步加強(qiáng)。以下從兩方面來(lái)談一談數(shù)學(xué)解題檢驗(yàn)這一論題。

一、數(shù)學(xué)解題檢驗(yàn)意義的必要性。

數(shù)學(xué)解題檢驗(yàn)是發(fā)展學(xué)生的自我糾錯(cuò)能力的前導(dǎo)。學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)解題的檢驗(yàn)中，意識(shí)到自己的思維過(guò)程中的缺陷，自覺(jué)地實(shí)行控制，根據(jù)解題的需要，靈活運(yùn)用多種方法和技能進(jìn)行思維操作，這是提高學(xué)生的思維能力的一個(gè)重要方面。培養(yǎng)學(xué)生從各個(gè)不同角度迅速判斷解題答案正確性是教師在教學(xué)過(guò)程中必須時(shí)常注意的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

檢驗(yàn)，作為某些數(shù)學(xué)問(wèn)題解題過(guò)程的必不可少的步驟，主要在下列兩類問(wèn)題中產(chǎn)生：

（一）、某些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題和論域有限制的問(wèn)題。在這些問(wèn)題的解題過(guò)程中，由于未能顧及原來(lái)問(wèn)題的實(shí)際意義或論域的限制，可能引進(jìn)一些不適合的解答，必須通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)決定解答的取舍。

例1.一個(gè)杯子里盛滿了純酒精，先倒出7升，然后加滿水，再倒出4升，再加滿水，這時(shí)杯內(nèi)酒精和水之比為 ，求杯的容積。

解：設(shè)杯的容積為 升，依題意列方程：

整理得 所以 ，

檢驗(yàn)：由于 ，從而 舍去，所以 升。

（二）、在某些方程（如分式方程、三角方程等）、不等式和計(jì)算題的解題過(guò)程中，由于很難保持變換的等價(jià)性，這種情況如果表現(xiàn)為以命題的必要條件代替原命題，就可能導(dǎo)致解集的范圍擴(kuò)大，因此必須通過(guò)檢驗(yàn)，以便舍去不適合的解。

例2.已知 ，且 ，求 。

解：由 得

又 即

檢驗(yàn)：因 ， 解都為負(fù)值，所以 ，又 ，所以 ，即 ，故 應(yīng)舍去，所以 。

二、對(duì)于中學(xué)生常用的檢驗(yàn)方法有：

（一）、估值法。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的實(shí)際意義進(jìn)行估值，常?？梢园l(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤的答案。

例3.求和圓的內(nèi)接正三角形一邊等長(zhǎng)的弧的度數(shù)。

錯(cuò)解：所求的弧為 弧度= 弧度 。

通過(guò)估值可知和圓的內(nèi)接正三角形一邊等長(zhǎng)的弧的度數(shù)，應(yīng)略小于圓的內(nèi)接正三角形一邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)，即略小于 ，斷定答案有誤，實(shí)際上所列算式與計(jì)算弧的度數(shù)公式不符，分母應(yīng)為R，正確答案是 。

（二）、特例法。

如果要說(shuō)明一個(gè)判斷是假，只要指出這個(gè)判斷成立的某個(gè)必要條件不具備即可。特例法就是從這一思想出發(fā)，用適合題意的某個(gè)特殊數(shù)值或特殊圖形來(lái)檢驗(yàn)答案正確性的一種方法。

例4.數(shù)列 ，-1， ，- ， ，- ，……的通項(xiàng) 是什么？

有A，B，C，D四種答案：A. ，B. ，C. ，D. 。

可用 驗(yàn)證A，B，C，D的前三項(xiàng)，對(duì)照原數(shù)列，A，B，D均不符合，故只有C答案可能正確，進(jìn)一步驗(yàn)證C答案的正確性。

（三）逆向運(yùn)算法。

加、減法互為逆運(yùn)算，加法的運(yùn)算結(jié)果用減法來(lái)檢驗(yàn)，減法運(yùn)算的結(jié)果用加法來(lái)檢驗(yàn)。類似地，乘法和除法，乘方和開(kāi)方等也都可以這樣做。

例5.把 分解因式。

錯(cuò)解：

其實(shí)只要把三個(gè)因式相乘便知所乘結(jié)果與原式不符，故分解錯(cuò)誤。正確分解結(jié)果為： 。

（四）、多解對(duì)比法。

對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用多種方法求出其結(jié)果，如果所得結(jié)果都一致，這就增加了結(jié)果正確性的可靠程度；如果所得的結(jié)果不一致，當(dāng)然是指實(shí)質(zhì)而非形式上的不一致，就說(shuō)明其中至少存在著錯(cuò)誤。

例6.6種不同的文藝書(shū)從左至右依次擺在書(shū)架上，其中一本書(shū)既不能排在頭，也不能排在尾，一共有多少種不同的排法？

甲解法：先把頭尾排好有 種排法，再排其他位置，有 種排法，因此，不同的排法共有 種。

乙解法：先把其它5本書(shū)作全排列，有 種排法，再把這本書(shū)插入5本書(shū)中間的4個(gè)間隙處，不同排法共有 種。

丙同學(xué)解法：先不限定條件，則有 種排法，在這排法中，有不符合條件的情況共 種排法，故符合條件的排法共有： 種。

以上三位同學(xué)所提結(jié)果不完全相同，經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析考慮，發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)在“不符合條件的情況共 種排法”出現(xiàn)思維錯(cuò)誤，應(yīng)為2 種，即共有排法 種，這一結(jié)果與甲、乙完全一致，更強(qiáng)化了甲、乙解法的正確性。

（五）對(duì)稱法。

利用題目中的條件、圖形、式子的對(duì)稱性，考慮結(jié)論是否符合對(duì)稱性的要求。

例7.已知 滿足條件 ，試判斷 的形狀。

錯(cuò)解：

所以 。于是， 是以 為斜邊的直角三角形。

分析：由于題目的條件中，（ ）與（ ）是對(duì)稱的，而上述結(jié)論并不滿足這樣的對(duì)稱關(guān)系，所以答案必定有誤。實(shí)際上，由（1）可得 或 ，故正確而完善的結(jié)論應(yīng)是： 是以 為斜邊的直角三角形，或者是以 為斜邊的直角三角形。

注意：以上（一）至（五）各種檢驗(yàn)方法，用于錯(cuò)誤解答的否定是完全有效的，但用于解答正確性的肯定一般只能增加其可信程度，解答正確性主要基于知識(shí)理論水平及解決問(wèn)題的能力。

（作者單位： 安慶浮山科技工程學(xué)校）