一類廣義凸極大極小分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件

摘要：本文考慮一類非光滑極大極小分式規(guī)劃問題，問題中所出現(xiàn)的函數(shù)是局部Lipschitz的.對該類分式規(guī)劃問題，引入了廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)的概念，得到了關于這類函數(shù)的非光滑極大極小分式規(guī)劃最優(yōu)性條件.

關鍵詞：極大極小分式規(guī)劃；廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)；最優(yōu)性條件

中圖分類號：O224 文獻標識碼：A 文章編號：1007-5348（2014）

凸性理論在數(shù)學規(guī)劃的最優(yōu)條件及對偶原理中起著重要的作用，1977年，Schmitendorf獲得了凸可微廣義極大極小分式規(guī)劃問題的充分和必要條件，在文 [1-5]中，分別對凸性概念進行推廣同時也利用最優(yōu)性條件建立極大極小規(guī)劃問題的對偶理論.本文利用文[6]中廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)的概念，討論其相應極大極小廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件.

一、定義與引理

約束條件 假設在的上半連續(xù)；在局部Lipschitz（關于一致）；對每一個給定的，在正規(guī)，即關于的方向導數(shù)滿足；集值函數(shù)在上半連續(xù)；

在處Lipschitz和正規(guī)。

定理（最優(yōu)性充分條件）假設是廣義分式規(guī)劃問題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）在點處是關于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，其中；對任意，當時，；在點處是關于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函，則是廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

定理 假設是廣義分式規(guī)劃問題的可行解，若下列條件成立：

（Ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（Ⅱ）和在點處是關于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義嚴格非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)；對任意，當時，；在點處是關于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義嚴格非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，則是廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

證明 由命題中的條件可知、和的廣義

嚴格不變凸性可知不等式（4）（5）成立，又由定理1中的條件（d），故可得

這與定理中的條件（a）矛盾，所以是廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

定理（最優(yōu)性充分條件）假設是廣義分式規(guī)劃問題的可行解，若下列條件成立：

（ⅰ）在處存在，使得定理1中（a）（b）（c）（d）成立；

（ⅱ）在點處是關于向量函數(shù)和函數(shù)的廣義非光滑B-（p，r）-不變凸函數(shù)，其中；對任意，當時，；

（ⅲ）在是局部Lipschitz的，且為正則的；

則是廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

參考文獻：

[1]Schmitendorf W E.Necessary conditons for static minimax problems[J].J Math Anal Appl，1977，57：683-693.