利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題

劉亞萍

【摘 要】 利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題在數(shù)學(xué)中是一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題.在遇到具有綜合性以及技巧性且其隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問(wèn)題時(shí)，若能結(jié)合題目的本質(zhì)特征，進(jìn)而聯(lián)想到圓的相關(guān)知識(shí)，并且對(duì)輔助圓進(jìn)行恰當(dāng)構(gòu)造，總可以讓這一些問(wèn)題由難變易，由繁到簡(jiǎn)。利用輔助角有利于對(duì)這類問(wèn)題實(shí)現(xiàn)有針對(duì)性地解決，找到解題捷徑。

【關(guān)鍵詞】 輔助圓；圓周角；直徑；方程；鈍角

【中圖分類號(hào)】G633.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）07-0-01

縱觀全國(guó)各地中考?jí)狠S題，角的大小問(wèn)題具有舉足輕重的地位。對(duì)于某些綜合性、技巧性、隱蔽性較強(qiáng)的角的大小問(wèn)題，許多學(xué)生往往感到無(wú)處下手。在遇到這些題時(shí)，需要對(duì)輔助圓作恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造。而對(duì)輔助圓的構(gòu)造需要聯(lián)想到圓的有關(guān)知識(shí)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要結(jié)合題目的本質(zhì)特征，進(jìn)而找到解題捷徑。利用輔助圓的構(gòu)造，就可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，化難為易，下面筆者就以一些具體實(shí)例加以說(shuō)明。

一、利用圓周角定理

對(duì)于一些角的大小問(wèn)題，能利用圓周角定理。利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等這個(gè)特點(diǎn)，則可以另辟蹊徑。

例1 （本題為2014·晉江市二模題一，有改動(dòng)）已知拋物線y=a（x﹣2）2+1。該拋物線從左到右依次與x軸交于A、B兩點(diǎn)，并與y相交于點(diǎn)C。（如圖1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連接AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m。

求：在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠APB能否與∠ACB相等？

如果能，那么請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)解釋說(shuō)明。

分析與簡(jiǎn)解：定線段與動(dòng)點(diǎn)的張角問(wèn)題可考慮添加輔助圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等?？梢韵仍O(shè)直線x=2與x軸相交于點(diǎn)D。然后作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1。再做P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2，那么P1、P2就是所需求的點(diǎn)。在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的長(zhǎng)，可得P1（2，﹣2﹣）。由對(duì)稱性得P2（2，2+）。

（1）拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；

（2）如圖2，設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1，P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，則P1、P2均為所求的點(diǎn)。

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上。

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2。

又∵OB=OC=3，

∴E（2，﹣2）。

在Rt△ADE中，由DE=2，

則AD=AB=（OB﹣OA）=（3﹣1）=1

由勾股定理得EA===，

∴EP1=EA=，

∴DP1=DE+EP1=2+，

∴P1（2，﹣2﹣）。

由對(duì)稱性得P2（2，2+）。

∴可得結(jié)論：符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P1（2，﹣2﹣）、P2（2，2+）。

二、利用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系

解題時(shí)若能另辟蹊徑應(yīng)用圓心角、圓周角、圓外角的關(guān)系，常常能夠化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到快速解題的目的。

例2 （2014·淄博改動(dòng)）在直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0）。問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P沿y坐標(biāo)軸移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。同時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明此時(shí)∠APB最大的理由；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明沒(méi)有的理由。

理由：易證：∠APB=∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大。由sin∠AEH=得：當(dāng)AE最小即PE最小時(shí)，∠AEH最大。所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，∠APB最大。

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，

∵⊙E和y軸相切于點(diǎn)P上，

∴PE⊥OP。

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。

∴四邊形OPEH是矩形。

∴OP=EH，PE=OH=3。 ∴EA=3。

∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===

∴OP=∴P（0，）。

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：P（0，﹣）。

連接NA（如圖3）。

∵∠ANB是△AMN的外角

∴∠ANB>∠AMB

∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB。

若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，

可得結(jié)論：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，﹣）。

三、利用圓90的圓周角

由圓周角定理的推論知：90的圓周角所對(duì)的弦是直徑，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與直角三角形的外接圓相關(guān)問(wèn)題求解。

例3 （本題來(lái)自2014·南寧，有改動(dòng)）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k>0）與直線y=kx+1交于兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)，同時(shí)和x軸相交于兩點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y=kx+1上是否只存在一點(diǎn)Q，可以使∠OQC=90°？如果存在，那么請(qǐng)求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：由，得C、D（1，0）。

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，km+1）。

如圖5，作QM⊥y軸于Q，作CN⊥QM于N。

當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△QMO∽△CNQ。

所以。因此。

整理成關(guān)于m的方程，得。

如果只存在一點(diǎn)Q，可以使∠OQC=90°，那么關(guān)于m的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

所以。解得。

四、利用圓的有關(guān)角的一些特殊關(guān)系

由圓周角定理推論可知，直徑（或半圓）所對(duì)應(yīng)的圓周角是直角。同時(shí)，直徑的兩個(gè)端點(diǎn)和圓內(nèi)任意一點(diǎn)所圍成的三角形是鈍角三角形，這一結(jié)論往往對(duì)解決有關(guān)角的大小問(wèn)題具有很好的效果。

例4 （2014·廣州，經(jīng)改動(dòng)）已知A（﹣1，0）與B（4，0）是平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)定點(diǎn)。有拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0），點(diǎn)P（m，n）（n<0）為拋物線上一點(diǎn)。拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與B，其頂點(diǎn)為C。

（1）請(qǐng)求出該頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式

（2）求當(dāng)m的取值范圍為多少時(shí)，∠APB為鈍角。

解：（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；C（，﹣）.

（2）如圖6，以AB為直徑作圓M，則拋物線在圓內(nèi)的部分，

∵P′是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴OP′=2，

∴MP′==，∴P′在⊙M上，∴P′的對(duì)稱點(diǎn)（3，﹣2），

∴當(dāng)﹣1

幾何命題證明的魅力就在于其獨(dú)特靈活的技巧以及多樣的策略。而選擇利用輔助圓解決角的大小問(wèn)題更使幾何證明題有著別樣的趣味，獨(dú)特的方法使人深受啟發(fā)。若能合理地運(yùn)用構(gòu)造輔助圓解決角的大小問(wèn)題，不但可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)明，而且對(duì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系、提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力大有裨益。