利用四則運(yùn)算法則求極限易錯(cuò)題分析

景慧麗

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

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利用四則運(yùn)算法則求極限易錯(cuò)題分析

景慧麗

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

摘要：利用極限的四則運(yùn)算法則求極限是一種最基本的方法.把解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行總結(jié)，發(fā)現(xiàn)常見的錯(cuò)誤類型有3種：一是忽視極限存在這個(gè)前提，二是忽視有限項(xiàng)這個(gè)前提，三是忽視分母的極限不能為零這個(gè)前提.就每種錯(cuò)誤給出了相應(yīng)的例題，對錯(cuò)解進(jìn)行分析，最后給出了正確解法.

關(guān)鍵詞：極限；四則運(yùn)算法則；易錯(cuò)題；分析

極限思想是微積分學(xué)中最重要的思想之一，在微積分學(xué)中求極限的方法有很多，如利用極限的四則運(yùn)算法則、利用等價(jià)無窮小代換、利用兩個(gè)重要極限、利用洛比達(dá)法則等，每種方法也都有自己的使用條件和適用范圍.極限的四則運(yùn)算法則是最基本的也是最常用的求極限的方法，很多求極限題目最終的一個(gè)步驟運(yùn)用的都是極限的四則運(yùn)算法則，因此極限的四則運(yùn)算法則是非常重要的.但筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在使用四則運(yùn)算法則求極限時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，而且不管是否滿足四則運(yùn)算法則的使用條件就直接利用該法則.

極限四則運(yùn)算法則的結(jié)論1)和2)可以推廣到任意有限項(xiàng)，這里不再贅述.極限四則運(yùn)算法則理解起來并不難，而且使用起來很方便，但是學(xué)員在使用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，其常見錯(cuò)誤類型主要有以下3種.

1忽視“極限存在”這個(gè)前提

當(dāng)然，如果兩個(gè)函數(shù)(或數(shù)列)只有一個(gè)存在極限，另一個(gè)極限不存在，也是不能應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則的.

因此，在利用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，一定要滿足其使用的前提條件，千萬不能不管條件，隨心所欲，否則就容易出錯(cuò)[2].

2忽視“有限項(xiàng)”這個(gè)前提

極限四則運(yùn)算法則成立的另外一個(gè)重要前提是有限項(xiàng)，即有限個(gè)函數(shù)(或數(shù)列)相加減或相乘求極限時(shí)，才能應(yīng)用極限的和、差或乘積來求極限，但大部分同學(xué)也往往忽略了“有限項(xiàng)”這個(gè)前提條件.

0=0.

分析上述解法錯(cuò)在

正解利用夾逼準(zhǔn)則，即由于

且

所以由夾逼準(zhǔn)則得，

3忽視“分母的極限不能為零”這個(gè)前提

以上就是在利用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，其實(shí)只要真正理解了極限的四則運(yùn)算法則，上述錯(cuò)誤是完全可以避免的.當(dāng)然，也應(yīng)正確看待這些“錯(cuò)題”資源，心理學(xué)家蓋耶說過：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”[3]在教學(xué)中要主動(dòng)挖掘“錯(cuò)題”中的“閃光點(diǎn)”，及時(shí)進(jìn)行探究、分析和講評，培養(yǎng)學(xué)員的問題意識(shí)及發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力[4].

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上[M].7版.北京：高等教育出版社,2014：39-45.

[2]景慧麗.極限求解方法研究[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào),2015(5)：16-17.

[3]錢怡杰.基于錯(cuò)題的高三基礎(chǔ)會(huì)計(jì)教學(xué)探究[J].經(jīng)營管理者,2015(2)：372-373.

[4]景慧麗.第二類曲面積分易錯(cuò)題分析研究[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2015(5)：4-8.

Analysis on Easily Wrong Topic of Calculating Limits by Limit Laws

JING Huili

(SchoolofScience,RocketForceUniversityofEngineering,Xi’an710025,China)

Abstract:Using the limit laws to calculate limits is the basic method. The errors in the process of problem solving are concluded. There are three kinds of common errors: ignoring the existence of the limits, ignoring the finite terms and ignoring the denominator of the limit is not zero. Furthermore, some corresponding examples are given for each type of error, the wrong and correct solutions are analyzed.

Key words:limit laws； easily wrong topic； analysis

中圖分類號(hào)：O172

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2016)01-0062-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.014

作者簡介：景慧麗(1983—)，女，河南平頂山人，火箭軍工程大學(xué)理學(xué)院講師.

基金項(xiàng)目：火箭軍工程大學(xué)教育教學(xué)立項(xiàng)課題(EPGC2015008)

收稿日期：2015-11-27