對稱性方法在諧振子模型教學(xué)中的應(yīng)用

夏麗莉

(河南教育學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，河南 鄭州 450046 )

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對稱性方法在諧振子模型教學(xué)中的應(yīng)用

夏麗莉

(河南教育學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，河南 鄭州 450046 )

摘要：利用對稱性方法探索非線性諧振子的物理特性.給出一種簡潔實用的探究系統(tǒng)守恒律的現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法.有利于學(xué)生更深入地了解機械振動模型的規(guī)律，豐富了教材內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：諧振子模型；對稱性方法；守恒律

0引言

諧振子模型是講述機械振動內(nèi)容時引入的一種典型的非線性動力學(xué)模型.這個模型設(shè)計簡單，能比較完整地體現(xiàn)簡諧振動的物理特征，被國內(nèi)大多數(shù)物理學(xué)教材廣泛采用. 在教師的教授和學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，諧振子模型的引入使“教”與“學(xué)”都取得了較好的效果. 諧振子模型的重要性不僅體現(xiàn)在理論層面上，自然界中的簡諧運動等物理現(xiàn)象都可以看成諧振子模型.非線性諧振子是經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)、相對論力學(xué)中備受關(guān)注的問題，研究非線性諧振子模型的性質(zhì)具有重要的理論意義.通過對諧振子運動的研究，不僅能了解周期性物理現(xiàn)象的本質(zhì)，更能發(fā)現(xiàn)與周期性相關(guān)及影響周期性運動的物理現(xiàn)象，如能量守恒原理、孤立系統(tǒng)、耗散系統(tǒng)以及混沌等現(xiàn)代物理概念.這也是很多教師在教材內(nèi)容和教學(xué)方法上同時注重研究諧振子模型的原因[1-2]. 對于非線性諧振子的研究內(nèi)容，很多教材中都是通過將非線性因素簡化為線性項，再由給定的初始條件，求得線性系統(tǒng)的解析解，利用解析結(jié)果分析非線性諧振子的性質(zhì).教材[3]從系統(tǒng)機械能守恒出發(fā)，給出了關(guān)于角坐標和角速度的一階微分方程，將初始能量取值分為3種情況，得出相應(yīng)的角坐標和周期的近似解析表達式.本文立足于用新的解題技巧處理更一般化的物理問題，對大家熟知的諧振子模型，用對稱性方法探索其物理性質(zhì)，豐富了教學(xué)內(nèi)容，開闊了學(xué)生視野，使學(xué)生對物理學(xué)中具有重要地位的對稱性概念和作用有更深刻和直觀的認識.

1非線性諧振子方程

在講述簡諧振動的動力學(xué)特征時，通常引入單擺的模型作為簡諧振動的例子，用不可伸長的細線懸掛一個小球，將小球視為質(zhì)點，它受重力和懸線拉力的合力作用，質(zhì)點在豎直面內(nèi)沿圓弧擺動，擺動中相對于懸線豎直位置夾角為θ. 非線性諧振子微分方程可表示為

(1)

假設(shè)方程(1)有能量積分

(2)

有解

(3)

(4)

由于這些近似解析解中存在第一類橢圓積分，所以用其解來分析系統(tǒng)的物理特性有一定的難度. 可以構(gòu)造系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，從拉格朗日方程出發(fā)，根據(jù)諾特定理，得到系統(tǒng)的積分，進而體現(xiàn)非線性諧振子的物理特征.

2系統(tǒng)的守恒定律

非線性諧振子的典型物理特征就是具有能量守恒的結(jié)論. 如果探索更加復(fù)雜的非線性模型的物理屬性，結(jié)論不會這樣顯而易見. 利用近似解析解來達到目的顯然是不合適的. 對于非線性物理模型，利用諾特對稱性理論求得系統(tǒng)相應(yīng)的積分成為人們近年來探求守恒律的主要途徑. 對諧振子的對稱性理論，國內(nèi)外學(xué)者做了一定的研究工作[5-6]. 諾特對稱性是基于哈密頓作用量在無限小群變換下的不變性，所以先將系統(tǒng)方程表示為歐拉-拉格朗日方程的形式. 引入時間和廣義坐標的無限小變換，利用諾特對稱性定理，可以得到系統(tǒng)的守恒律表達式. 下面給出保守力學(xué)系統(tǒng)的諾特定理.

首先引入廣義坐標的概念，在研究過程中，凡是能夠確定系統(tǒng)位置的、適當選取的獨立變量即稱為廣義坐標. 廣義坐標可以是距離、角度、面積等物理量,所以相對于直角坐標意義更加廣泛. 對于非線性諧振子系統(tǒng)的直角坐標中的角度和時間量，可以用廣義坐標qs和時間t表示. 根據(jù)達朗貝爾-拉格朗日原理、虛位移定義和兩個經(jīng)典的拉格朗日關(guān)系，在保守系統(tǒng)中，可以得到其歐拉-拉格朗日方程，即對于質(zhì)點系, 質(zhì)點的質(zhì)量為mi(i=1,…,N), 系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標qs(s=1,2，…,n)確定.系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為Routh形式[7]

(5)

其中L=T-V為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù).

引入時間和廣義坐標的無限小變換

(6)

其中為ε無限小參數(shù),τ,ξs為無限小生成元.

(7)

則相應(yīng)對稱性為完整力學(xué)系統(tǒng)的諾特對稱性.

保守力學(xué)系統(tǒng)的諾特對稱性可得到諾特守恒量.

定理1對于保守力學(xué)系統(tǒng),諾特對稱性可導(dǎo)致諾特守恒量

(8)

證明等式(8)式對時間求一階導(dǎo)

(9)

由(7)式可得

(10)

基于諾特定理，可以研究非線性諧振子系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì). 非線性諧振子的運動方程可表示為

(11)

非線性諧振子拉格朗日函數(shù)為

(12)

這里T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能. 諾特等式(7)給出

(13)

方程(8)的解為τ=1，ξ=0，GN=0. 由諾特定理，得守恒量

(14)

系統(tǒng)的能量守恒，也就是說，若拉格朗日函數(shù)不顯含時間，且僅作時間平移變換，可以得到廣義能量積分. 守恒律(14)式是通過諾特定理得到的，這和教材中給出的結(jié)論是一致的. 這種方法在處理類似的非線性問題時簡潔而有效，教學(xué)過程中，需要向?qū)W生引入廣義坐標的概念和拉格朗日函數(shù)的物理意義. 這是順利引入對稱性方法的前提.

3總結(jié)

在簡諧振動的教學(xué)中，學(xué)生對線性諧振子模型比較熟悉，也容易掌握其運動規(guī)律. 但是對于更一般的非線性諧振子模型，不能順利得到諧振子方程的解，通過引入廣義坐標和拉格朗日函數(shù)的知識點，由系統(tǒng)的對稱性和守恒量理論同樣可以求得系統(tǒng)的能量守恒律. 這種方法沒有直接給出系統(tǒng)微分方程的解，卻可以得到系統(tǒng)的守恒律. 在教學(xué)過程中，當有類似的非線性方程出現(xiàn)時，可以用對稱性理論處理. 對稱性理論的引入，一方面，對教材建設(shè)而言，體現(xiàn)了對稱性理論在物理教學(xué)中的重要性，豐富了教材內(nèi)容；另一方面，對學(xué)生的發(fā)展而言，擴展了學(xué)生的知識面，使學(xué)生對簡諧振動的內(nèi)容有了更加深入的認識.

參考文獻

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Applications of Symmetry Method in Teaching of Harmonic Oscillator Model

XIA Lili

(InstituteofPhysicsandElectronicEngineering，HenanInstituteofEducation，Zhengzhou450046，China)

Abstract:The physical properties of the harmonic oscillator are obtained by the symmetry method. The modern mathematical methods of exploring the conserved quantities are proposed. This will help the students to understand the laws of the harmonic oscillator model, and enrich the teaching materials.

Key words:harmonic oscillator model; symmetry method; conserved quantities

中圖分類號：G642.0

文獻標志碼：A

文章編號：1007-0834(2016)01-0070-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.016

作者簡介：夏麗莉(1980—)女，江蘇徐州人，河南教育學(xué)院物理與電子工程學(xué)院講師，博士，主要研究方向：動力學(xué)系統(tǒng)的可積性理論、物理學(xué)教育教學(xué).

基金項目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(11502071)

收稿日期：2015-11-08