預(yù)制雙裂隙類巖材料斷裂特性的無網(wǎng)格法數(shù)值模擬

劉京鑠，曹 平，范金星，蒲成志，黃雪姣

(1．中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙 410083；2.湖南水利水電職業(yè)技術(shù)學院，湖南 長沙 410131)

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預(yù)制雙裂隙類巖材料斷裂特性的無網(wǎng)格法數(shù)值模擬

劉京鑠1,2，曹 平1，范金星2，蒲成志1，黃雪姣1

(1．中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙 410083；2.湖南水利水電職業(yè)技術(shù)學院，湖南 長沙 410131)

摘要:在伺服控制單軸加載試驗機上對預(yù)制兩裂隙類巖試件進行壓縮試驗，觀測試件的破壞模式及宏觀裂紋的擴展路徑。在簡要闡述無網(wǎng)格法基本原理的基礎(chǔ)上，將基于加權(quán)移動最小二乘法的無網(wǎng)格法應(yīng)用于含裂隙類巖材料斷裂特性的數(shù)值模擬，對含預(yù)制雙裂隙類巖試件的斷裂特性及其裂紋擴展路徑進行數(shù)值計算與分析，給出裂尖應(yīng)力場及位移場的變化關(guān)系，并將數(shù)值計算所得的裂紋擴展路徑與實驗結(jié)果進行比較，驗證該方法的正確性與精確性。

關(guān)鍵詞：預(yù)制裂隙；類巖材料；單軸壓縮；無網(wǎng)格法；數(shù)值分析；裂紋擴展

巖體的變形與強度特性不僅取決于巖石本身，而且很大程度上受限于巖體內(nèi)部隨機分布的節(jié)理、裂隙等不連續(xù)面。裂隙巖體內(nèi)部往往由于裂紋尖端應(yīng)力集中而導致裂紋的起裂、擴展、貫通，進而引起巖體的失穩(wěn)破壞。由于現(xiàn)場原位試驗難以操作，現(xiàn)階段對裂隙巖體破壞過程的研究主要基于室內(nèi)類巖材料模型試驗展開[1]。關(guān)寶樹等[2]通過預(yù)制貫通裂隙模型對含不同裂隙傾角試件的強度進行了試驗；Wong等[3-4]和通過預(yù)制裂隙材料對預(yù)制裂隙貫通機制進行了研究；張平等[5]采用預(yù)制閉合裂隙試件研究了動載下裂隙的擴展與貫通過程。在試驗和理論分析的基礎(chǔ)上，許多學者結(jié)合數(shù)值分析方法，對裂紋擴展問題展開了研究[6-8]。但目前的數(shù)值分析方法主要基于有限單元法，對于裂紋擴展問題，由于裂紋的擴展方向不能事先確定，因此在計算過程中需要不斷的重新劃分網(wǎng)格以模擬裂紋的擴展過程，這將可能導致有限元網(wǎng)格的嚴重扭曲并且嚴重影響解的精度；而目前發(fā)展迅速的無網(wǎng)格方法由于不需要單元網(wǎng)格, 點與點之間只在進行插值構(gòu)造時才臨時建立聯(lián)結(jié)關(guān)系, 可以很方便地修改節(jié)點分布, 故非常適用于研究裂紋擴展等斷裂分析領(lǐng)域。因此近年來國內(nèi)外許多學者，如Belytschko等[9-11]對無網(wǎng)格方法進行了大量的研究并將該方法應(yīng)用于求解各類巖土工程問題。龐作會等[12]將無網(wǎng)格法應(yīng)用于求解邊坡開挖問題。ZHANG等[13]將無網(wǎng)格思想應(yīng)用于求解節(jié)理巖體問題?？軙詵|等[14]將無網(wǎng)格法應(yīng)用于求解裂紋擴展問題。龐作會等[15]利用無網(wǎng)格方法求解巖土力學中的不連續(xù)面問題。許多學者基于無網(wǎng)格法優(yōu)于其它數(shù)值方法而將其對靜動態(tài)裂縫擴展進行數(shù)值模擬并取得了很好的效果；而本文將在基于實驗研究的基礎(chǔ)上對預(yù)制雙裂隙類巖體斷裂特性與宏觀裂紋擴展用無網(wǎng)格法進行數(shù)值模擬，通過試驗現(xiàn)象與計算結(jié)果的對比分析，驗證了運用無網(wǎng)格法求解裂縫擴展及斷裂問題的精確性和合理性。

1試件制作與試驗

1.1試件制備

試件采用內(nèi)部尺寸 (長×寬×高)為 200 mm×150 mm×30 mm的鋼模，用C42.5白水泥與自來水經(jīng)1.05 mm孔徑篩分過的細砂按體積比2∶1∶1在室溫下澆筑而成；采用在試件中預(yù)埋0.4 mm厚的鋁合金薄片的方法預(yù)制貫通裂隙，預(yù)制裂隙長度為20 mm，將試件在標準條件下養(yǎng)護24 h后拔出鋁合金片，并將試件置于靜水中養(yǎng)護14 d，待養(yǎng)護結(jié)束后檢測裂隙閉合情況。

試件中裂隙分布方式如圖1所示：α為裂隙傾角;β為巖橋傾角;b為巖橋長度。本試驗中α取45°，β取90°，b取40 mm。

圖1　裂隙與巖橋分布圖Fig.1 Distribution of cracks and rock-bridge

1.2試驗儀器與加載條件

本次試驗在高精度微機控制電液伺服萬能試驗機上進行(如圖2所示)，并配合DCS-200加載控制系統(tǒng)，在200 N/S的加載速率下，觀察并記錄試件加載過程中裂尖宏觀裂紋擴展路徑及試件最終的宏觀破壞模式。實驗過程中，在試件上下受壓端與機頭鋼塊之間布置預(yù)先涂抹黃油的橡皮墊，以減弱端部效應(yīng)的影響；在試件中部放置千分表，表征試件受壓過程中的橫向變形特性。

圖2　電液伺服控制試驗機Fig.2 Electro-hydraulic servo control test machine

在此實驗條件下，對完整類巖試件進行測試，得到材料的物理力學參數(shù)見表1。

表 1完整類巖試件單軸壓縮下物理力學參數(shù)

Table 1 Mechanical parameters of intact rock-like materials under uniaxial compression

密度/(g·cm-3)彈性模量/MPa單軸抗壓強度/MPa單軸抗拉強度/MPa泊松比2.0192.272e323.132.750.2251

本次實驗發(fā)現(xiàn)，當巖橋傾角為90°時，預(yù)制裂隙試件破壞形式主要為預(yù)制裂隙尖端微裂紋搭接、貫通、破壞而導致的張拉破壞。這是因為當巖橋走向近似平行于最大主應(yīng)力方向時，巖橋恰好處于由裂隙面的相對滑動而引發(fā)的拉伸應(yīng)力路徑上。以拉應(yīng)力為驅(qū)動力發(fā)育的微裂紋主要有翼形裂紋和縱向拉伸裂紋。當裂隙傾角為90°時，以翼裂紋為主。

典型裂尖微裂紋的搭接、貫通、破壞模式示意圖如圖3所示。試件加載過程中，裂紋首先在預(yù)制裂隙相鄰兩裂尖處開始擴展，使得應(yīng)力強度因子上升，相鄰兩裂尖發(fā)育出兩條翼形裂紋并很快搭接，導致裂紋貫通，巖橋斷裂，但此過程比較緩慢；在預(yù)制裂隙相鄰兩裂尖處微裂紋搭接貫通之后，在后續(xù)施加荷載的持續(xù)作用下，裂紋繼續(xù)從遠離巖橋的兩端裂尖處開始擴展，該處兩端裂尖應(yīng)力強度因子迅速增大，發(fā)育出翼裂紋，并最終導致試件整體破壞。

圖3　預(yù)制裂隙尖端微裂紋的搭接、貫通裂紋破壞示意圖Fig.3 Microcracks’ overlapping, coalescence and failure pattern at the tip of prefabricated cracks

2無網(wǎng)格法基本原理

2.1緊支試函數(shù)加權(quán)殘量法

(1)

(2)

(3)

(4)

由此得到的系數(shù)矩陣為稀疏陣，提高了加權(quán)殘量法的計算效率。選用不同的試函數(shù)，就得到不同的無網(wǎng)格法。

2.2加權(quán)移動最小二乘近似

(5)

(6)

將求解域Ω用N個節(jié)點離散，在每個節(jié)點xI(I=1,2,…,N)處定義一個權(quán)函數(shù)ωI(x)=ω(x-xI)，該權(quán)函數(shù)只在節(jié)點xI附近的一個有限區(qū)域ΩI中大于0，在該鄰域外為0，即該函數(shù)是緊支的。區(qū)域ΩI稱為ωI(x)的影響域，如圖4所示。

圖4　節(jié)點的影響域Fig.4 Domain of influence of x.

最小二乘法要求近似函數(shù)在各已知節(jié)點處誤差的加權(quán)二階范數(shù)最小，對局部近似函數(shù)構(gòu)造加權(quán)二階能量模，即

(7)

取最小值。由式(7)對ai(x)求導可得:

A(x)a(x)=B(x)u

(8)

(9)

(10)

由式(8)可得待定系數(shù)a(x)：

(11)

將式(11)代入式(6)，可得：

(12)

(13)

圖5　局部近似和全局近似Fig.5 Local approximation and global approximation

3裂尖處裂紋擴展數(shù)值模擬

3.1裂紋擴展原則

本文選用最大周向拉應(yīng)力準則作為裂紋的斷裂擴展判據(jù)，即當最大周向拉應(yīng)力強度因子達到臨界值時，裂紋開始擴展。斷裂準則如下：

(14)

式中，Kθc為周向拉應(yīng)力強度因子臨界值；KI與KII分別為I型與II型裂紋的應(yīng)力強度因子；θ為裂紋擴展角度。

裂紋沿最大周向拉應(yīng)力強度因子的方向開裂，開裂角度θ可根據(jù)下式確定：

KIsinθ+KII(3cosθ-1)=0

(15)

利用裂尖應(yīng)力場可求出KI與KII，將計算出的KI與KII代入式(15)，可得開裂角度θ為：

(16)

3.2裂紋擴展過程數(shù)值計算

對試件進行準靜態(tài)分析，判斷裂尖應(yīng)力是否達到最大周向拉應(yīng)力測定值。圖6～8分別給出了宏觀裂紋產(chǎn)生之后裂紋尖端應(yīng)力場的變化規(guī)律。從下圖可以看出，裂紋尖端的應(yīng)力已經(jīng)遠遠大于材料本身的最大拉應(yīng)力，說明材料此時已經(jīng)破壞，宏觀裂紋已經(jīng)產(chǎn)生并繼續(xù)擴展，τxy和σy發(fā)生振蕩。

從裂尖位移變化關(guān)系圖9～10可以看出，在裂紋擴展期間，裂紋擴展方向主要以y方向為主，這與實驗所得裂紋路徑的方向基本符合。

圖6　裂紋尖端的σxFig.6 σxat the tip of the crack

圖7　裂紋尖端的σyFig.7 σyat the tip of the crack

圖8　裂紋尖端的τxyFig.8 τxyat the tip of the crack

圖9　X方向的位移隨裂尖的變化Fig.9 X direction’s displacement at the tip

圖10　y方向的位移隨裂尖的變化Fig.10 Y direction’s displacement at the tip

在利用無網(wǎng)格法進行裂紋擴展過程數(shù)值模擬時候，采用了裂尖能量釋放法和小步長擴展技術(shù)。計算流程如圖11所示。

具體實施過程中，在每次加載步末，判斷裂紋是否擴展。若裂紋開始擴展，則保持荷載水平，進行能量釋放。在能量釋放過程中，若裂紋系統(tǒng)能回到一個新的平衡狀態(tài)，則說明裂紋在當前荷載水平下是穩(wěn)定的，可以繼續(xù)施加荷載進行下一輪新的迭代過程；若系統(tǒng)無法回到新的平衡狀態(tài)，則說明裂紋發(fā)生了失穩(wěn)擴展，系統(tǒng)發(fā)生破壞，計算結(jié)束。

為了探討裂紋的擴展路徑，假定裂紋每次擴展長度為Δa=2.15 mm，整個路徑共模擬15次，計算裂尖的坐標，給出裂紋擴展路徑。由于裂隙是近似對稱擴展存在的，表2給出了裂紋擴展過程中上部裂紋尖端位置坐標，圖12給出了裂紋擴展路徑與實驗結(jié)果的對比。

圖11　裂紋擴展過程計算流程圖Fig.11 Flow chart of numerical calculation of crack growth

Table 2 Coordinates of the tip of the upper crack during the crack propagation process

步驟X/mmY/mm1002-2.322.153-4.414.304-6.136.455-7.458.606-8.4710.757-9.0212.908-9.6615.059-10.5017.2010-10.9119.3511-10.9521.5012-11.0623.6513-11.3025.8014-11.3827.9515-11.6430.10

(a)數(shù)值計算所得裂隙擴展路徑;(b)裂紋擴展路徑對比圖12　實驗與數(shù)值模擬所得裂紋擴展路徑對比Fig.12 Comparison chart between the experiment and simulation results of the crack growth path

從圖12可以看出，計算所得裂紋擴展路徑與實驗所得裂紋擴展路徑基本吻合，說明利用無網(wǎng)格方法模擬裂紋擴展問題的正確性及解決不連續(xù)擴展問題的有效性。

4結(jié)論

1) 多裂隙巖體裂紋擴展過程受裂隙傾角和巖橋傾角的影響，當裂隙傾角為45°，巖橋傾角為90°時，即巖橋接近平行于最大主應(yīng)力方向時，預(yù)制裂隙試件破壞形式以張拉破壞為主。

2) 預(yù)制裂紋首先在相鄰兩裂尖處開始擴展，裂紋貫通巖橋破壞之后，遠離巖橋的兩端裂尖處裂紋開始擴展并發(fā)育出翼裂紋。

3)無網(wǎng)格法基于加權(quán)移動最小二乘法，能同時處理連續(xù)與不連續(xù)問題，在提高數(shù)值解精度的同時也方便了試函數(shù)的建立，且前后處理過程相對于有限元更簡單，適用于裂紋擴展的數(shù)值模擬；而裂紋擴展路徑的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合，說明無網(wǎng)格法能正確有效的解決不連續(xù)問題。

4) 通過數(shù)值模擬所得到的裂尖應(yīng)力場和位移場的變化關(guān)系，可為進一步研究裂隙巖體的破壞機理提供依據(jù)。

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(編輯蔣學東)

Application of element-free method to fracture analysis of rock-like materials with double prefabricated cracks

LIU Jingshuo1,2，CAO Ping1, FAN Jinxing2， PU Chengzhi1， HUANG Xuejiao1

(1.School of Resource and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China；2. Hunan Technical College of Water Resources and Hydropower, Changsha 410131, China)

Abstract：In order to investigate the failure mode and the crack expansion route, the compression test on rock-like specimens with two prefabricated cracks was carried out by utilizing the servo control uniaxial loading test machine. Afterward, the fundamental theory of the element-free method is briefly illustrated. Then, the proposed method, which is based on the weighted moving least square approximation, is extended to numerical simulation of fracture behavior of rock-like specimens with multiple cracks. Specifically, the fracture behavior and the crack propagation path of rock-like specimens are numerically calculated and analyzed. At the same time, the curves of the stress and displacement fields at the tip of the fissures are obtained. Finally, the numerical solutions are compared with the available experimental results to verify the advantages, accuracy and availability of element-free method to fracture and discontinuous deformation problems. It is demonstrate that this method is superior to other methods in terms of fracture analysis.

Key words：prefabricated cracks；rock-like material；uniaxial compression；element-free method；numerical analysis；crack propagation

中圖分類號：TU45

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)03-0447-07

通訊作者：劉京鑠(1979-)，男，湖南邵東人，講師，博士研究生，從事巖土工程方面的研究；E-mail：ljs7327@163.com

基金項目：國家自然科學基金重點資助項目(51174228，51274249)；湖南省教育廳科技項目(14C0746)

收稿日期：2015-07-22