功能梯度疊層厚板彎曲半解析求解

楊智勇,　牛忠榮,　葛仁余,　孫學(xué)根

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥　230009; 2.銅陵學(xué)院 機械工程學(xué)院,安徽 銅陵　244000; 3.安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 蕪湖　241000)

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功能梯度疊層厚板彎曲半解析求解

楊智勇1,2,牛忠榮1,葛仁余3,孫學(xué)根1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥230009; 2.銅陵學(xué)院 機械工程學(xué)院,安徽 銅陵244000; 3.安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 蕪湖241000)

摘要:文章提出了狀態(tài)空間方程結(jié)合插值矩陣法計算強厚度功能梯度疊層板靜力問題的求解途徑,依照三維彈性理論,對疊層板的每一單層建立狀態(tài)方程,聯(lián)合邊界及層間連續(xù)條件,導(dǎo)出以應(yīng)力和位移為基本變量的變系數(shù)常微分方程組,將板的靜力問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題,并采用插值矩陣法直接求解,獲得該問題的數(shù)值解。算例結(jié)果表明,該法計算結(jié)果與現(xiàn)有結(jié)果吻合,能有效計算功能梯度疊層板的靜力問題,且具有計算量小、前處理方便、應(yīng)力和位移精度同階等優(yōu)點。

關(guān)鍵詞:強厚度疊層板;功能梯度材料;狀態(tài)方程;插值矩陣法

隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的要求,在航空、航天等領(lǐng)域涉及很多強厚度疊層結(jié)構(gòu)。對于各種厚壁結(jié)構(gòu),針對薄板的Kirchhoff理論已經(jīng)不能適用了。各種中厚板結(jié)構(gòu)理論,如Reissner理論,一般地均引入一些簡化假設(shè),致使彈性力學(xué)基本方程只能部分被滿足,難免會產(chǎn)生較大的誤差[1-3]。采用有限元方法來進(jìn)行計算是一種比較有效的辦法,有通用的商業(yè)軟件[4-6]是其最大的優(yōu)點,但對于材料屬性變化梯度較大的功能梯度材料(FGM),想要提高精度則需劃分更密的單元,這無疑會增大計算工作量。文獻(xiàn)[7]引入狀態(tài)空間,給出了任意厚度疊層板殼力學(xué)問題的解析解。狀態(tài)空間法的引入,大大減少了計算工作量,目前被廣泛應(yīng)用于求解各類板殼問題[8-11]。然而,對于非均質(zhì)材料(如FGM),狀態(tài)空間法難以獲得系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,只能求解材料參數(shù)按某種特殊形式變化的情形,如冪指數(shù)形式。文獻(xiàn)[12-13]采用狀態(tài)空間和有限元結(jié)合的半解析法,避開了求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的困難,但有限元法的應(yīng)力解是不連續(xù)的,比位移的精度要低一階,尤其在振動問題中會引起較大誤差。

本文采用插值矩陣法[14-15],從三維線彈性理論出發(fā),對疊層板分層建立狀態(tài)方程并聯(lián)合邊界及連續(xù)條件,最終將問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題,獲得了FGM疊層厚板的應(yīng)力和位移解。

1疊層板靜力問題控制方程

考慮一彈性矩形疊層板,如圖1所示, 板長、寬和高分別為a、b、h,共有k層,第j層厚度為hj,建立圖示直角坐標(biāo)系。

圖1　三維彈性矩形疊層板

現(xiàn)在對第j層進(jìn)行分析,建立圖示坐標(biāo)系,設(shè)第j層層高h(yuǎn)j。不計體力,三維線彈性力學(xué)問題偏微分方程為:

(1)

其中,σjx、σjy、σjz為3個正應(yīng)力分量;τjxy、τjxy、τjxy為3個切應(yīng)力分量。

對于三維體,其線彈性本構(gòu)關(guān)系為:

(2)

其中,σj為應(yīng)力列向量；Dj為第j層彈性矩陣；εj為應(yīng)變列向量。

(3)

(4)

其中,Cjkl(k=1,2,3,…，6;l=1,2,3,…，6)為與第j層材料有關(guān)的系數(shù),并假定僅為坐標(biāo)zj的函數(shù)。

(5)

其中,Uj、Vj、Wj分別為坐標(biāo)xj、yj、zj3個方向的位移分量。

由本構(gòu)關(guān)系(2)式中可先求出3個平面應(yīng)力分量，即

(6)

再將(6)式代入(1)式,連同(2)式經(jīng)過合并整理后可得：

(7)

在(7)式中令:

則有:

(8)

對于四邊簡支矩形厚板,將其位移分量Uj、Vj、Wj和(8)式3個應(yīng)力分量作為基本未知函數(shù),在x和y方向分別采用雙三角級數(shù)表示如下:

(9)

其中,Ujmn、Vjmn、Zjmn、Xjmn、Yjmm、Wjmn分別為各級數(shù)項的幅值,為變量zj的函數(shù)。顯然(9)式滿足四邊簡支邊界條件。令

對每一級數(shù)對m-n,將(9)式代入(8)式,可轉(zhuǎn)化為如下一階常微分方程組:

(10)

其中，m=1,2,…,∞;n=1,2,…,∞。

令zj=hjr,r∈[0,1],單位化后可得:

(11)

當(dāng)板的上面(z=0)受到均布載荷q0時,厚板上、下表面的邊界條件為:

(12)

(13)

在板各層接觸的地方,除了各平面應(yīng)力分量可能不連續(xù)外,其余各量的連續(xù)條件為:

(14)

(15)

其中，1

至此,已將簡支厚矩形板彈性理論的基本方程轉(zhuǎn)化為以諸函數(shù)(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn)表示的常微分方程組(11)式在邊值條件(12)～(15)式下的求解問題。解此獲得(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn),代入(9)式得到基本變量(Uj,Vj,Zj,Xj,Yj,Wj),再代入(6)式獲得其他應(yīng)力分量σjx、σjy、τjxy。

2數(shù)值算例

根據(jù)上述途徑求解矩形厚板問題,需要一個有效的方法用于常微分方程邊值問題求解,文獻(xiàn)[14-15]創(chuàng)立了插值矩陣法,該法可求解常一般微分方程組邊值問題。插值矩陣法的一個優(yōu)點是在常微分方程組里出現(xiàn)的所有函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)的計算值可同時獲得,并具有同階精度。插值矩陣法已經(jīng)研制成常微分方程求解器,本文采用插值矩陣法求解常微分方程組(11)式和相應(yīng)的邊值條件(12)～(15)式。

圖2　x=y=0.5 m,z/h=0.5處撓度隨級數(shù)項增加的收斂情況

表1所列為當(dāng)截取到m=n=19時,本文方法和文獻(xiàn)[7]狀態(tài)空間法解的部分無量綱位移結(jié)果對比,插值矩陣法在求解區(qū)間z∈[0,h]取N=20,N為所劃子區(qū)間數(shù)目。由表1可見,本文結(jié)果與狀態(tài)空間法解是吻合的,精度可達(dá)10-4量級,從而說明了本文方法的有效性。

表1　3層板的部分無量綱位移沿厚度方向的變化

表2　3層板的無量綱位移 (0)/qh沿厚度方向的變化

表3　3層板的無量綱應(yīng)力σx/q沿厚度方向的變化

值得指出的是,算例2僅給出了材料參數(shù)沿厚度方向呈冪指數(shù)變化的形式,對于按其他各種形式連續(xù)變化的情況采用本文方法均能進(jìn)行有效計算。

3結(jié)論

本文采用狀態(tài)空間方程結(jié)合插值矩陣法的半解析求解,得到了功能梯度疊層板的靜力問題的數(shù)值解,主要結(jié)論如下:

(1) 采用狀態(tài)空間結(jié)合插值矩陣法的半解析法,能有效求解強厚度疊層板的靜力問題,求解精度可達(dá)10-4量級。

(2) 對于功能梯度材料疊層板的靜力問題,采用本文方法能避開狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難,從而能有效求解材料參數(shù)沿厚度方向按各種形式連續(xù)變化的情形。

(3) 狀態(tài)空間方程結(jié)合插值矩陣法的半解析求解途徑,既有狀態(tài)空間法計算量小的長處,又具有前處理工作量小、實施便捷、應(yīng)力求解精度高等優(yōu)點。

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(責(zé)任編輯張镅)

A semi-analytical method for the bending of FGM thick laminated plates with interpolating matrix method

YANG Zhi-yong1,2, NIU Zhong-rong1, GE Ren-yu3, SUN Xue-gen1

(1.School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.College of Mechanical Engineering, Tongling University, Tongling 244000, China; 3.College of Civil Engineering and Architecture, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Abstract:The rectangular thick laminated plates made of functionally graded materials(FGM) are analyzed by three-dimensional linear elasticity theory. For the FGM rectangular laminated plates, some displacement and stress components are acted as the basic variables. Firstly, these basic variables are expressed as the sums of the double trigonometric function expansions in the plane of the plates. Then, they are substituted into the governing differential equations of three-dimensional linear elasticity theory. Consequently it leads to a series of two point boundary problems of ordinary differential equations with the basic variables. Finally, the interpolating matrix method(IMM) is applied directly to solve the ordinary differential equations. All displacement and stress components of the laminated plates can be obtained. Examples are given to demonstrate that the computational results and the existing results agree well. The approach can be used to compute the static problem of FGM laminated plates effectively and it has many advantages, such as low computational complexity, easy pre-processing and the same accuracy for the results of stress and displacement.

Key words:thick laminated plate; functionally graded materials(FGM); state space equation; interpolating matrix method(IMM)

中圖分類號:O343.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)03-0355-05

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.014

作者簡介：楊智勇(1973-),男,江西吉安人,合肥工業(yè)大學(xué)博士生，銅陵學(xué)院講師;牛忠榮(1957-),男,安徽合肥人,博士, 合肥工業(yè)大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11272111;11372049)

收稿日期：2015-01-08；修回日期：2015-04-31