一道教材習(xí)題的解法與推廣

呂二動 安振平

在教材中有這樣一道習(xí)題：若a，b>0，且a+b=1，求證：3a+3b<4.

這是一道十分經(jīng)典的不等式題，在習(xí)題課教學(xué)中，教師與學(xué)生共同探究了該題的多種證明方法.

證明 （證法1：作差法）據(jù)題意有3a+3b-4=3a-3+3b-1=3a-3+31-a-1=3a-3+-1=（3a-3）（1-）.

∵00.∴（3a-3）·（1-）<0，即3a+3b<4.

（證法2：分析法）要證3a+3b<4，須證3a+3b-4<0，即證3a-3+31-a-1<0，等價于3a-3+-1<0，即（3a-3）（1-）<0.

∵00，∴（3a-3）·（1-）<0.

∴3a+3b<4.

（證法3：構(gòu)造函數(shù)法）令f（x）=3x+31-x（0

令f ′（x）=0，得x=.易知函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù).

∵ f（0）= f（1）=4，∴ f（x）<4，即3a+31-a<4.

∴3a+3b<4.

說明 當(dāng)x=時，f（x）取得最小值，即 fmin（x）= f（）=2.

（證法4：反證法）假設(shè)3a+3b≥4對任意正數(shù)a，b恒成立.

∵3a+3b≥2，∴2≥4，即3a+b≥4，可得a+b≥log34>1，這與a+b=1矛盾.

故有3a+3b<4.

在討論不同證法的時候，有位學(xué)生想到把題中的2個變量拓展到3個變量，提出推廣1.

推廣1 若a，b，c>0，且a+b+c=1，則3a+3b+3c<5.

經(jīng)過師生共同研究后發(fā)現(xiàn)，用割線法較容易證明這個推廣.

證明 由a，b，c> 0，且a+b+c=1，可知a，b，c∈（0，1）.

令 f（x）=3x，x∈（0，1），過點(diǎn)P（0，1），Q（1，3）作函數(shù) f（x）的割線，其割線的方程為y=2x+1.

當(dāng)x∈（0，1）時，如右圖所示，割線y=2x+1在函數(shù) f（x）=3x的上方，于是有3x< 2x+1.

分別取x=a，x=b，x=c，得3a<2a+1，3b<2b+1，3c<2c+1，則3a+3b+3c<2（a+b+c）+3=5.

說明 不等式3x<2x+1的證明也可以通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=3x-（2x+1），x∈（0，1），利用導(dǎo)數(shù)法證明.

根據(jù)前面的結(jié)論，我們還可以得到更一般的推廣.

推廣2 若x1，x2，…，xn≥0，且x1+x2+…+xn=1，則n≤3+3+…+3≤n+2.

（責(zé)任編校 馮琪）