考慮靶背自由表面和開裂影響的剛性尖頭彈貫穿金屬靶板模型*

肖云凱，方 秦，吳 昊，孔祥振，彭 永

(解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007)

考慮靶背自由表面和開裂影響的剛性尖頭彈貫穿金屬靶板模型*

肖云凱，方 秦，吳 昊，孔祥振，彭 永

(解放軍理工大學爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，江蘇 南京 210007)

將靶體視為不可壓縮材料，假定空腔膨脹產(chǎn)生塑性-彈性響應分區(qū)，構造了靶背自由表面效應的衰減函數(shù)。將衰減函數(shù)乘以可壓縮冪次硬化材料的阻力方程，得到了彈體貫穿金屬靶板的阻力函數(shù)。基于彈性衰減-塑性衰減-開裂3個階段，建立了同時考慮靶體可壓縮性、靶背自由表面和開裂影響的彈體貫穿有限厚金屬靶板的分析模型，推導得出了彈體瞬時速度的解析方程，并采用數(shù)值方法計算得到了彈體的過載、瞬時速度和殘余速度。通過與6組實驗數(shù)據(jù)和已有模型的對比得到，當靶板厚度和彈體沖擊速度在一定范圍內(nèi)時，需要考慮自由表面效應的影響。

固體力學；貫穿模型；空腔膨脹理論；自由表面效應；剛性尖頭彈；金屬靶板

動能彈沖擊貫穿金屬靶體的終點彈道參數(shù)研究一直是坦克、艦船等裝備研發(fā)和防護設計中關注的重點。剛性彈對金屬靶的穿甲通常由侵徹過程和最終破壞模式共同控制，其終點彈道性能與彈體沖擊速度、靶體材料特性以及彈靶的厚徑比、彈頭形狀等因素密切相關[1-2]?！扒謴?延性擴孔”是尖頭彈對金屬靶板常見的貫穿破壞失效模式[3]，針對上述破壞模式，已建立了較多模型[4-9]。

M.J.Forrestal等[4]將靶體視為不可壓縮冪次硬化材料，基于空腔膨脹理論建立了尖錐(卵)頭彈體貫穿金屬靶體的理論模型。Chen Xiaowei等[5]忽略靶背自由表面效應的影響，考慮了靶體材料的可壓縮性，分別建立了剛性尖頭彈貫穿理想彈塑性和冪次硬化靶體的分析模型。Wen Heming[6]基于半經(jīng)驗公式得到了彈體貫穿不同材料靶體的終點彈道公式，同樣也忽略了靶背自由表面效應的影響。吳喬國[7]和孫煒海[8]將靶體視為可壓縮雙線性硬化材料，基于Wen半經(jīng)驗公式，進一步構造了靶背自由表面效應的衰減函數(shù)，并將衰減函數(shù)乘以Wen半經(jīng)驗公式[6]得到了彈體貫穿的阻力函數(shù)，建立了剛性彈貫穿金屬靶的分析模型，但模型預測結(jié)果不夠理想，且孫煒海[8]的模型中只考慮了錐頭彈沖擊的情況。蔣志剛等[9]將靶體視為不可壓縮理想彈塑性材料，考慮了彈體正貫穿靶體過程中的靶背自由表面效應，建立了剛性尖頭彈貫穿金屬靶的三階段模型，其預測結(jié)果與實驗吻合較好?？梢钥闯?，已有模型將靶體視為不可壓縮材料或忽略了靶背自由表面效應的影響，均會高估阻力函數(shù)[10-12]，這對于裝甲防護設計偏于危險。并且，已有模型較多針對單一彈頭形狀，缺乏同時考慮靶體可壓縮性和靶背自由表面效應且彈頭形狀適用范圍廣泛的金屬靶體貫穿分析模型。

本文中基于T.L.Warren等[11]提出的自由表面效應衰減函數(shù)，將衰減函數(shù)乘以基于球形空腔膨脹理論得到的可壓縮冪次硬化材料的阻力方程，推導金屬靶體貫穿的阻力函數(shù)。建立彈體貫穿金屬靶板的彈性衰減-塑性衰減-開裂三階段模型，提出彈體瞬時速度的解析方程，并通過數(shù)值方法計算得到彈體的過載、瞬時速度和殘余速度。通過與實驗和已有模型的對比，對本文中的模型進行驗證，同時探討彈體沖擊速度和靶板厚度對自由表面效應的影響，并分析彈靶摩擦因數(shù)對模型預測結(jié)果的影響。

1 剛性尖頭彈貫穿有限厚靶板模型

首先給出考慮靶背自由表面效應的阻力函數(shù)，然后建立考慮靶背自由表面和開裂影響的彈體貫穿模型，推導彈體瞬時速度的解析計算公式，同時給出彈體殘余速度的數(shù)值計算方法。

1.1 考慮靶背自由表面效應的阻力函數(shù)

T.L.Warren等[11]在計算彈體斜侵徹金屬靶過程中引入了自由表面效應衰減函數(shù):

(1)

式中：T=2E/3Y，E、Y和ρ分別為靶體材料彈性模型、屈服強度和密度。R為彈體軸線任一點沿空腔徑向到達自由表面的距離，rc為空腔半徑，rp=T1/3rc為塑性區(qū)半徑，如圖1所示，圖1中v0為彈體沖擊速度。略去空腔膨脹速度項[7]，式(1)可以改寫為：

(2)

當R≥rp時，塑性區(qū)邊界未到達靶背自由面，空腔徑向應力為彈性衰減；當R

則考慮自由表面效應的量綱一空腔徑向應力σn如下式所示：

(3)

對于理想彈塑性材料，A滿足[5]：

(4)

式中：γ為靶體材料的泊松比，對于不可壓縮材料，γ=0.5。

對于冪次硬化材料，當材料可壓縮時，A需通過擬合量綱一徑向應力和瞬時速度曲線得出。當材料不可壓縮時，A滿足如下關系式[5]：

(5)

式中：n為應變硬化指數(shù)，n=0時，材料本構關系退化為不可壓縮理想彈塑性模型。

1.2 考慮靶背自由表面效應和開裂的貫穿模型

圖2 衰減函數(shù)與自由表面距離的關系Fig.2 Decay function vs. distance to the free surface

圖3 彈頭表面3個衰減區(qū)Fig.3 Three decaying zones on the surface of projectile nose

以彈尖作為原點，彈體軸線方向定為z軸，建立如圖3所示的坐標系。rc1、rc2分別為彈性衰減階段和塑性衰減階段彈頭表面z處對應的空腔半徑，R1、R2分別為與rc1、rc2對應的有限球體半徑?；谑Y志剛等[9]提出的考慮靶背開裂影響的思想，當有限球體外表面的等效拉伸斷裂應變達到靶體材料單向拉伸斷裂應變時，在外表面產(chǎn)生裂紋，塑性階段結(jié)束。彈塑性階段和塑性階段的結(jié)束條件為[9,14]：

(6)

彈體沖擊貫穿靶體過程中，彈頭表面應力分為3個區(qū)域：彈性衰減區(qū)、塑性衰減區(qū)和開裂區(qū)(靶背)，如圖3所示。將z1、z2分別視為彈性階段與塑性階段、塑性階段與靶背開裂階段的臨界點，由式(6)可得z1、z2表達式如下：

(7)

考慮自由表面效應的彈頭表面徑向應力隨坐標z的變化如下：

(8)

式中：l為彈體頭部長度。彈體軸向阻力公式為

(9)

式中：μ為彈靶間的滑動摩擦因數(shù)。

忽略摩擦(μ=0)，將式(8)代入式(9)，對彈頭表面軸向分區(qū)域積分，得彈體軸向阻力公式如下：

(10)

pi和qi的表達式為：

(11)

式中：i=1,2,3分別表示彈性衰減區(qū)域、彈性與塑性衰減區(qū)域以及彈性、塑性與開裂衰減區(qū)域等3個階段。αi、βi、γi、Ai、Bi和Ci的表達式如下：

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

(12f)

式中：t=min(Lp,l)；t1=min(z1,l)；t2=min(z2,l)。對于錐頭彈，φ為定值，故qi=pisin2φ。

由牛頓第二定律可得：

(13)

式中：m為彈丸質(zhì)量，v為彈丸速度。將式(10)代入上式，令V=v2，可得：

(14)

上述計算方法可適用于任意尖頭彈體貫穿金屬靶板的計算，包括常見的尖錐(卵)、半球頭彈體以及尖軸對稱彈體等。并且，控制A和B及衰減函數(shù)的取值，上述模型可以退化為已有模型[5,9]。如，當忽略自由表面效應和開裂影響時，模型可退化為Chen-Li模型[5]；忽略彈性階段衰減，A按式(4)計算(γ=0.5)，B=1.5，模型可退化為蔣志剛模型[9]。需要說明的是，如果考慮彈靶間摩擦效應的影響，計算過程與式(10)～(14)相同，但表達式更為復雜，此處不再給出。

2 與實驗數(shù)據(jù)和已有模型的對比

基于6組尖頭彈體貫穿金屬靶板的實驗，以彈體貫穿靶板后的殘余速度為指標，首先分析本文中模型的預測效果，然后與已有4個模型的預測結(jié)果進行了比較。彈體和靶體的實驗參數(shù)分別見表1和表2，其中：d為彈丸直徑，ρp為彈丸密度。

表1 剛性彈貫穿金屬靶板實驗的彈體參數(shù)Table 1 Experimental projectile parameters in perforation of rigid projectiles into metallic targets

表2 剛性彈貫穿金屬靶板實驗的靶體參數(shù)Table 2 Experimental target parameters in perforation of rigid projectiles into metallic targets

2.1 與已有實驗對比

圖4分別給出了表1中6組錐(卵)頭彈體貫穿金屬靶板后剩余速度vr的實驗數(shù)據(jù)和本文模型的預測曲線。其中Z.Rosenberg等[13]實驗中A=4.407，B=1.133[18]，斷裂應變?nèi)?.17[9]；M.J.Forrestal等[15]實驗中A=4.5，B=1.084[19]，斷裂應變?nèi)?.13[20]；A.J.Piekutowski等[16]實驗中A=4.407，B=1.133[18]，斷裂應變?nèi)?.17[9]；T.B?rvik等[17]實驗中A=4.5，B=1.084，斷裂應變?nèi)?.31[9]?？梢钥闯?，本文模型對6組錐(卵)頭彈體貫穿鋁靶實驗的預測效果均較好。

圖4 本文模型剩余速度預測曲線與實驗數(shù)據(jù)的對比Fig.4 Comparison of residual velocities between proposed model and experimental data

2.2 與已有模型的對比

針對延性擴孔破壞模式，剛性尖頭彈正貫穿金屬靶板的理論分析模型主要有Forrestal-Warren(F-W)模型[4]、Chen-Li模型[5](C-L)、Wen Heming (WHM)模型[6]和蔣志剛(JZG)模型[9]?；诒?中的6組實驗，本節(jié)綜合比較了上述模型和本文模型的預測效果,結(jié)果如圖5所示。圖5(e)和(f)中未給出JZG模型的分析結(jié)果，是由于實驗5和6彈體參數(shù)不滿足該模型的計算條件[21]。

圖5 本文模型剩余速度預測曲線與已有模型及實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.5 Comparison of predictions of residual velocities between the model of this paper and other models

由圖5可以看出，靶板較厚時，WHM和JZG模型對彈體殘余速度預測結(jié)果偏大，而靶板較薄的情況下，C-L和F-W模型的預測結(jié)果則偏小。本文中模型與各實驗的預測均較理想，只有在靶板很厚時(圖5(d))，本文中模型的預測結(jié)果偏大，主要原因在于，隨著靶板厚度的增加，彈靶接觸面的滑動摩擦力做功耗能增大，而本文的計算結(jié)果忽略了摩擦的影響，關于摩擦的影響將在第4節(jié)討論。

3 自由表面效應的影響

3.1 自由表面效應對模型預測結(jié)果的影響

圖6分別給出了表1中6組貫穿實驗的考慮自由表面效應(衰減函數(shù)見式(2))和不考慮自由表面效應(衰減函數(shù)f(R,rc)=1)的預測曲線。

圖6 自由表面效應對6組貫穿實驗殘余速度預測的影響Fig.6 Free-surface effect on the prediction of residual velocities for six sets of experimental data

由圖6可見，當靶體厚度較小時，如1≤H/d≤3.58，考慮自由表面效應的模型預測結(jié)果明顯優(yōu)于不考慮自由表面效應的預測結(jié)果，這是由于靶板較薄的情況下，彈體頭部入靶后，彈性衰減階段時間較短，彈體頭部區(qū)域很快進入塑性衰減階段，自由表面效應衰減的能量占總耗能的百分比較大，自由表面效應影響顯著。當靶板較厚時，如H/d≥6.11，忽略自由表面效應影響的預測結(jié)果更接近實驗數(shù)據(jù)，其原因在于當靶板較厚時：(1)彈性衰減階段的時間較長，自由表面效應衰減的能量占總耗能的百分比較??；(2)彈靶間滑動摩擦力做功消耗能量較大，而本文計算時忽略了摩擦的影響。

3.2 沖擊速度對自由表面效應的影響

以實驗1彈靶參數(shù)為例，討論侵徹和貫穿2種情況下，沖擊速度對自由表面效應的影響。在靶板厚度一定的條件下，當彈體沖擊速度小于彈道極限速度時(侵徹情形)，采用本文模型計算得到的考慮和不考慮自由表面效應的彈體瞬時速度和過載變化曲線如圖7所示，圖中vbl=301.9 m/s為彈道極限速度(一定厚度下，彈體臨界貫穿靶板的最小速度，見圖4(a))。當彈體沖擊速度大于彈道極限速度時(貫穿情形)，本文模型計算得到的曲線如圖8所示。z1=0表示彈尖部分進入塑性衰減，z2=l表示彈體弧柱交接處對應的靶背開裂，彈體貫穿靶體，計算終止。

圖7 侵徹情形下沖擊速度對自由表面效應的影響Fig.7 Influence of impact velocity on free-surface effect while the projectile penetrating into the target

圖8 貫穿情形下沖擊速度對自由表面效應的影響Fig.8 Influence of impact velocity on free-surface effect while the projectile penetrating through the target

由圖7～8可以看出，靶背自由表面效應對于侵徹和貫穿問題均有影響，本文的計算方法不僅適用于貫穿問題的計算，也能有效計算有限厚靶板的侵徹問題，具體的：

(1) 圖7表明，當彈體沖擊速度小于彈道極限速度時(侵徹情形)，隨著沖擊速度的減小，靶背自由表面效應的影響逐漸減弱，主要原因在于，靶厚一定時，速度越小，彈體離靶背自由表面的距離越遠，自由表面的影響越弱，當彈體沖擊速度為270 m/s時，考慮自由表面效應和不考慮自由表面效應計算得到的侵徹深度相差0.38%，已經(jīng)可以忽略不計；

(2) 圖8表明，當彈體沖擊速度大于彈道極限速度時(貫穿情形)，隨著沖擊速度的增大，靶背自由表面效應影響逐漸減弱，這是由于速度越大，彈體貫穿靶板時間越短，自由表面效應的累計衰減越小，當沖擊速度為750 m/s時，考慮自由面效應和不考慮自由面效應計算得到的殘余速度僅差2.3%；

(3) 由圖7(b)和圖8(b)可以看出，速度的增加對彈體過載的峰值影響較小，以圖8(b)為例，彈體沖擊速度增加98.7%時，過載增加6.5%，沖擊速度增加148.4%時，過載則增加11.5%。上述計算得到的不考慮自由表面效應的彈體過載曲線與M.J.Forrestal等[22]在混凝土靶侵徹實驗中實測曲線及其速度影響規(guī)律一致；考慮自由表面效應的彈體過載曲線存在“減速度拖曳”現(xiàn)象，這與陳小偉等[23]和Wu Hao等[24]的結(jié)論相同。

上述結(jié)論是基于固定靶板厚度得出，僅討論了沖擊速度的影響，對于靶板厚度的影響，見3.3節(jié)。

圖9 彈體侵徹深度隨靶板厚度的變化Fig.9 Depth of penetration vs. plate thickness

3.3 靶板厚度對自由表面效應的影響

本節(jié)中對彈體沖擊速度一定且小于彈道極限速度時(即侵徹情形)，不同靶板厚度下靶背自由表面效應的影響進行分析。取本文中計算得到的表1中6組實驗彈道極限速度為初始沖擊速度v0，彈體侵徹深度隨靶板厚度變化曲線如圖9所示，圖中H1～H6為表1中六組實驗靶板厚度，H0為本文計算中可以不考慮自由表面效應的臨界厚度，當H>H0時靶板可以視為無限厚。取H/d變化步長為0.1，當前后2步的Lp/d增加值為0.001時的H/d定義為H0/d。本文中定義彈體貫穿靶板為彈體弧柱交接處對應的靶背出現(xiàn)開裂，即z2=l。

可以看出，當彈體沖擊速度一定且小于彈道極限速度時(即侵徹情形)，隨著靶板厚度的增加，靶背自由表面效應影響逐漸減弱，彈體軸向阻力增大，侵徹深度隨之減小，直至趨于定值，此時靶背自由表面效應可忽略。對上述6組模型預測的臨界半無限靶板厚度H0/d進行分析，引入沖擊因子I0：

(15)

圖10 半無限臨界靶板厚度與沖擊因子關系Fig.10 Semi-infinite critical plate thickness vs. impact factor

式中：H0與I0關系如圖10所示，通過線性擬合6組數(shù)據(jù)，得到：

H0/d=kI0+k1

(16)

式中：k=0.134 81，k1=1.128 79。

本文定義彈體貫穿靶板條件為彈體弧柱交接處對應的靶背出現(xiàn)開裂，而視其未開裂時為侵徹問題，基于此前提進行數(shù)值計算。然而對于大多數(shù)侵徹問題而言，靶體可視為半無限厚的條件為彈尖部位不穿出靶背(即靶背不開裂)且自由表面效應的影響可以忽略，所以，該條件下侵徹中可不考慮自由表面效應的臨界厚度H**為在本文計算的H0基礎下增加彈頭長度項，則式(16)改寫為：

(17)

4 彈靶摩擦因數(shù)的影響

隨著靶板厚度的增加，彈靶交界面的滑動摩擦力做功耗能增大，而忽略摩擦的影響會導致模型對殘余速度預測偏高?？紤]彈靶接觸面的滑動摩擦，對表1中實驗4和實驗5的殘余速度的預測結(jié)果進行分析。對于實驗4和5中錐頭彈貫穿鋁靶，M.J.Forrestal等[15]建議摩擦因數(shù)取為0.02，而黃徐利等[25]建議取為0.1，圖11給出了不同摩擦因數(shù)下本文模型對2組較厚靶板殘余速度的預測曲線。

圖11 不同摩擦因數(shù)下彈體初始速度與殘余速度Fig.11 Residual velocities vs. initial velocities at different friction coefficient

由圖11可見，靶板較厚時，彈靶交界面的滑動摩擦對殘余速度的影響較大，且摩擦因數(shù)取為0.1時，預測效果最好，這與黃徐利等[25]的結(jié)論一致。

5 結(jié) 論

(1) 建立了同時考慮靶體可壓縮性、靶背自由表面效應和開裂影響的彈體貫穿有限厚金屬靶板的分析模型，采用該模型既可以計算貫穿問題，也可以計算有限厚靶板的侵徹問題，模型預測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合較好，且模型在特殊條件下可退化成已有模型。

(2) 本文模型可用于計算任一尖頭彈體沖擊貫穿金屬靶板的終點彈道參數(shù)，包括常見的尖錐(卵)、半球頭彈體以及尖軸對稱彈體等。

(4) 靶板較厚時，需要考慮彈靶間滑動摩擦的影響，且對于錐頭彈，摩擦因數(shù)取0.1較合適。

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(責任編輯 王小飛)

A model for rigid sharp-nosed projectile perforating metallic targets considering free-surface and cracking effects

Xiao Yunkai, Fang Qin, Wu Hao, Kong Xiangzhen, Peng Yong

(StateKeyLaboratoryofDisasterPrevention&MitigationofExplosion&Impact,PLAUniversityofScience&Technology,Nanjing210007,Jiangsu,China)

Treating the target as the incompressible material, by assuming that the cavity expansion produce plastic-elastic response region, the decay function for the back free-surface effect of target is constructed. The forcing function of metallic targets for perforation is obtained by multiplying the forcing function of compressible Strain-Harding targets with the decay function. Based on the three stage of elastic-decaying, plastic-decaying and cracking, the analytical model considering the compressibility, the back free-surface effect of target and cracking is established, and the analytical equation of instantaneous velocity of projectile is deduced. The deceleration, instantaneous and residual velocity of projectile is calculated by numerical methods. Through comparison with six sets of experimental data and other existing models, with the target thickness and impact velocity in a certain range, the free-effect should be considered.

solid mechanics; perforation model; theory of cavity expansion; free-surface effect; rigid sharp-nosed projectile; metallic plate

10.11883/1001-1455(2016)03-0359-11

2014-10-10；

2015-01-28

國家自然科學基金項目(51321064，51378015)

肖云凱(1989- )，男，博士研究生；

方 秦，fangqinjs@139.com。

O346國標學科代碼：13015

A