磁共振成像中不相干采樣模式對點擴散函數(shù)的影響研究

劉慶，凌永權，鄺偉潮，李亞

磁共振成像中不相干采樣模式對點擴散函數(shù)的影響研究

劉慶，凌永權，鄺偉潮，李亞*

壓縮感知作為從源頭上減少采樣數(shù)據(jù)的新理論，被視為最具前景的快速磁共振成像方法。如何準確評價壓縮感知磁共振成像的不相干性是設計磁共振不相干采樣軌跡的關鍵。現(xiàn)有不相干評價指標仍然沿用壓縮感知的不相干評價指標，忽略了磁共振設備的物理實際，導致壓縮感知在磁共振成像應用中出現(xiàn)理論預期與實際性能差距較大的問題，猶如一道“屏障”橫亙在壓縮感知與磁共振成像之間，制約了壓縮感知的性能。本文通過將傳輸變換點擴散函數(shù)(transform point spread function，TPSF)轉換為點擴散函數(shù)(point spread function，PSF)，從而建立PSF與采樣軌跡直接相關的數(shù)學表達式，并給出了采樣點的位置對PSF形狀影響的關系式，最后分別給出了不同采樣模式下的PSF仿真實驗。實驗結果表明，除了PSF的主瓣寬度、旁瓣高度外，旁瓣的分布特征對PSF的影響非常大。

壓縮感知；磁共振成像；不相干采樣

1 引言

磁共振成像(magnetic resonance imaging，MRI)作為具有前景的影像手段，已成為現(xiàn)代臨床醫(yī)學的“眼睛”，但存在掃描速度慢的瓶頸問題，限制了其在危重癥疾病中的應用，如為避免運動偽影往往需要屏住呼吸，而這對重癥患者來說幾乎不可能完成。壓縮感知(compressed sensing，CS)[1-2]作為一種從源頭上減少采樣數(shù)據(jù)的新理論，被視為最具前景的快速MRI方法。2007年，隨著壓縮感知—磁共振成像(compressed sensing MRI，CS-MRI)的提出[3]，CS-MRI因其在加快MRI掃描速度方面顯露出巨大的潛能而備受關注，并迅速成為一個研究熱點[4-5]。然而，目前在CS-MRI臨床試驗中所獲得的加速比遠沒有充分挖掘CS理論潛在的大幅降低采樣數(shù)據(jù)的能力[6]。究其原因，一方面，CS自身理論體系仍處在一個起步階段，還存在許多有待解決的問題[7-8]；另一方面，由于受制于MRI的物理約束，導致CS-MRI的感知矩陣(sensing matrix)與稀疏矩陣(sparse matrix)[9-10]之間存在較強的相干性，猶如一道“屏障”橫亙在CS與MRI之間，制約了CS的性能。這種因感知矩陣和稀疏矩陣的強相干性導致CS采樣能力下降(即使信號本身非常稀疏)的現(xiàn)象被稱為“相干性屏障”(coherence barrier)[11]。為了解決“相干性屏障”問題，許多研究者從CS-MRI的編碼模型和不相干采樣軌跡設計方面提出了許多解決辦法，如將具有普適不相干的隨機編碼替代傅里葉編碼[12]；利用Toeplitz隨機矩陣來替代傅里葉編碼[13-14]；對成像對象預先調制的傅里葉編碼方式[15]；基于Noiselet的編碼方式[16]等。

然而，在CS-MRI不相干評價機制方面，大多數(shù)情況下還是沿用CS理論的不相干評價指標，如零空間、約束等距(restricted isometry property，RIP)、不相干性(incoherence)等指標[17]，這些指標是評價CS重建信號質量好壞的關鍵指標。對于CS-MRI而言，Lustig等[3]首次提出了與CS Gram矩陣（測量矩陣與其轉置的內積)對應的變換點擴散函數(shù)(transform point spread function，TPSF)概念，并將主瓣對旁瓣的比(類似于CS Gram矩陣的次大值)作為衡量不相干性的指標。文獻[11,18-20]等相繼指出，這種基于次大值的不相干度量指標是建立在測量矩陣在最壞情況的假設之上，因此，該指標是一個非?！熬o”的指標，容易導致實際性能明顯好于理論預測的結果。為此，線相干(line coherence)、塊相干(block coherence)等漸進不相干(asymptotic incoherence)指標相繼提出[21-24]。這些新的不相干指標雖然較原來的指標“松弛”，但仍然是基于次大值的一維指標，忽略了其分布特征。此外，這些不相干性指標沒有表示成MRI采樣軌跡的顯示函數(shù)，其作用更多地體現(xiàn)在“事后檢驗”測量矩陣的不相干程度上，很難形成指導設計不相干采樣軌跡的方法。

本文首先將CS-MRI的不相干性表示成TPSF矩陣形式，同時，通過給定稀疏矩陣為單位陣的情況下將TPSF表示成更能直接反映MRI掃描軌跡不相干特性的點擴散函數(shù)(point spread function，PSF)。通過分析PSF的數(shù)學定義給出了不同采樣模式下不相干性對PSF形狀的影響。

2 磁共振成像的數(shù)學模型

3 MRI不相干采樣軌跡的評價指標

就磁共振而言，衡量采樣軌跡性能優(yōu)劣的一個重要指標就是PSF，因為它能準確反映重建圖像與采樣軌跡的關系。對壓縮感知而言，衡量采樣矩陣性能的一個重要指標是采樣矩陣列相干性。對于基于壓縮感知的磁共振成像，該用什么指標來衡量軌跡的性能呢？Lustig 給出了一個稱之為“TPSF”的評價指標[3]，其定義為：

其不相干性為Gram矩陣的非對角線上的最大值為：

對比TPSF和壓縮感知的不相干定義可以發(fā)現(xiàn)，兩者都是用來衡量采樣矩陣與稀疏矩陣的相干性，其實質是一樣的，只是在兩個不同領域給出的名稱不一樣而已。然而，在MRI中，大多數(shù)情況下為了衡量采樣軌跡的性能都會采用PSF這一指標，那么PSF是否也適用于CS-MRI？是否也能反映采樣軌跡的相干采樣程度？Lustig同樣給出了在笛卡爾坐標系下PSF的定義[3]。

4 采樣點位置對PSF形狀的影響

磁共振圖像的重建過程實際上就是成像對象與采樣軌跡的PSF的卷積，因此PSF的好壞與重建圖像的質量密切相關。理想的情況下，PSF是一個沖擊函數(shù)，這樣可以精確重建原始圖像。但事實上，在采集信號過程中，由于采樣時間受限，通常都需要降采樣，而這勢必會導致PSF不再是一個理想的沖擊函數(shù)，而是一個有一定寬度且有旁瓣存在的函數(shù)。這種PSF必將引起重建圖像出現(xiàn)模糊、偽影等失真的情況。那么在降采樣情況下，怎樣來評價PSF的好壞呢？為此，有必要考察PSF的各個構成部分，重寫PSF的離散形式如下：

為了考察不同采樣模式的PSF，本文僅選取兩個采樣點作為研究對象。此外，為了簡單起見，本節(jié)僅討論在笛卡爾網格下的采樣，且假設采樣點關于中心原點是對稱的，則PSF可以簡化為：

由式(11)可知，對于兩個采樣點的情況下，PSF為余弦函數(shù)的和。假定采樣軌跡按以下3種方式行走：(1)； (2)；(3)。 3種采樣模式及其PSF如圖1所示。由圖1可知，不同采樣位置的點，對應的PSF形狀也完全不同。因此如何選取采樣點的位置對快速重建高質量的磁共振圖像非常重要。

圖1 采樣點位置與PSF的關系。A～C為3種不同采樣軌跡，D～F為其對應PSF 圖2 4種笛卡爾采樣模式。A～D分別為奈奎斯特降采樣、行隨機降采樣、行列均隨機降采樣和隨機降采樣Fig.1 The relationship between the positions ofsampling points and PSFs. A—C are three different sampling tracks, D—Fare thecorresponding PSFs. Fig.2 Four cartesian sampling modes.A—D are Nyquist down-sampling, randomdown-samplingin therowdirection,all rowandcolumndirections, andrandomly down-sampling.

5 仿真結果

圖3 原始圖像。A、B 分別為三維視圖和一維視圖Fig.3 The original image. A, B are the overview of 3-D and 1-D.

考慮以下4種二維采樣模式：(1)行、列等間隔采樣模式。對圖像的行和列兩個方向同時降采2倍，總的降采倍數(shù)為4，如圖2A所示。(2)行隨機采樣模式。僅隨機降采行，降采比為4，如圖2B所示。(3)行、列均隨機采樣模式。同時隨機降采行和列，每個方向降采2倍，總降采比為4，如圖2C所示。(4)完全隨機采樣模式。以像素點為最小單位，隨機降采，總降采比為4，如圖2D所示。為了測試4種采樣模式對PSF形狀的影響，分別給出了如圖3所示的測試圖像。為了滿足稀疏條件，該測試圖像僅由像素值為1、0.8、0.7、0.6、0.5等5個非零像素點構成。由于重建圖像等于原始圖像與采樣模式PSF的卷積，當圖像信號僅為沖擊函數(shù)時，其采樣模式的PSF就是重建圖像。為了簡單起見，本文中的圖像都是由一系列沖擊函數(shù)構成，故對應采樣模式的PSF 就是對原圖像的重建圖像。圖4、5分別給出了測試圖像在4種不同采樣模式下的PSF。

從圖4、5可以看出，測試圖像在4種采樣模式下，其PSF的形狀各異。采樣模式1下，其能量均勻地泄露到有限的4個位置，由于總能量一致，導致出現(xiàn)4個相同的峰值，從而無法區(qū)分主、旁瓣。這種PSF反映在重建圖像中就是混迭偽影；采樣模式2在列方向已經很難重建原始圖像了，盡管其PSF的形狀在某些行呈隨機分布；采樣模式3雖然可以重建原始圖像，但其旁瓣幅度明顯增加了，加大了重建的難度；采樣模式4則非常清晰地重現(xiàn)了原始圖像，而且其旁瓣幅度仍然非常小，旁瓣的分布也呈隨機分布在整個平面。

圖4 原始圖像在對應采樣模式下的PSF。A～D 分別表示圖2A～D對應的4種采樣模式的重建結果Fig.4 The PSFs of the original image in the corresponding sampling modes. A—D are the corresponding reconstruction results in the Fig.2.

圖5 不同采樣模式的一維PSF。A～D 分別表示圖4A～D對應的一維PSFFig.5 The 1-D PSF of corresponding sampling pattern. A—D are the corresponding 1D PSF in the Fig.4.

6 結論

通過觀察以上PSF的形狀可以看出，當主瓣變窄時，會出現(xiàn)幾個幅度相對大的旁瓣，但其他大部分旁瓣的幅度卻并不高。也就是說，旁瓣本身也存在著幅度高低差異，呈不均勻分布。不均勻的旁瓣分布會導致重建圖像呈現(xiàn)類噪聲偽影，但這種偽影是良性的，現(xiàn)代信號處理有成熟的理論技術可以去除這些偽影。需要注意的是，不均勻的旁瓣分布并不是消除能量泄露，而是將原來均勻分布的旁瓣導致的折疊偽影轉化為噪聲偽影。綜上可知，目前以主瓣寬度和旁瓣幅度來評價PSF好壞的指標存在優(yōu)化的空間。如果在固定主瓣寬度的情況下，通過優(yōu)化旁瓣的分布位置，使其隨機地擴散開來，則其每個旁瓣的幅度均會下降(總能量守恒)，從而保證PSF既能滿足圖像的空間分辨率要求，又能減少混迭偽影的干擾。由于很難定量給出旁瓣的隨機分布程度，且采樣點的位置選擇本身也受制于一些物理因素，因此如何建立基于這種思路的優(yōu)化模型仍值得探討。

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The research of infuence between different incoherent sampling patterns and point spread functions in MRI

LIU Qing, LING Yong-quan, KUANG Wei-chao, LI Ya*
School of Information and Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China

*Correspondence to: Li Y, E-mail: liya2829@163.com
Received 31 May 2016, Accepted 4 Sep 2016
ACKNOWLEDGMENTS This work was part of National Natural Science Foundation of China (No. 61372173).

Compressed sensing (CS), which is a new theory that emphasizes reducing sampling data at the source, is regarded as the most promising technique in fast magnetic resonance imaging (MRI). How to evaluate the incoherence of compressed sensing-magnetic resonance imaging (CS-MRI) accurately is a key point to design the incoherent sampling track in MRI. The existing incoherence evaluation indices still follow those used in CS. They ignore the practical infuence of the magnetic resonance devices so the practical performance of these incoherence evaluation indices is much different from that in theory when CS is applied to MRI. The problem is like a “barrier”between CS and MRI and restricts the performance in CS-MRI. The paper proposes to convert the transform point spread function (TPSF) to point spread function (PSF). Therefore, the mathematical relationships between the PSFs and sampling trajectory are formulated. Further, the relationships between the positions of sampling points and the shapes of PSFs are also given. At last, simulation experiments are taken to test PSFs in different sampling modes. Simulation results show that except the width of main lobes and the height of side lobe, the distribution characteristics of side lobes have a major effect on the shapes of the PSF.

Compressed sensing; Magnetic resonance imaging; Incoherent sampling

國家自然科學基金項目(編號：61372173)

廣東工業(yè)大學信息工程學院，廣州510006

李亞，E-mail：liya2829@163.com

2016-05-31

接受日期：2016-09-04

R445.2；O4-33

A

10.12015/issn.1674-8034.2016.10.012劉慶, 凌永權, 鄺偉潮, 等. 磁共振成像中不相干采樣模式對點擴散函數(shù)的影響研究. 磁共振成像, 2016, 7(10): 780-785.