IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)

張海蓉

（貴州師范學(xué)院，貴州 貴陽 550018）

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)

張海蓉

（貴州師范學(xué)院，貴州 貴陽 550018）

數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理的關(guān)鍵內(nèi)容，可分為IIR和FIR兩大類。對于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，需要借助模擬原型濾波器，再將模擬濾波器轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器，文中采用的設(shè)計方法是脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。根據(jù)IIR濾波器的特點，在MATLAB壞境下分別用雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR低通數(shù)字濾波器，并比較兩種方法的優(yōu)缺點。

IIR濾波器；MATLAB；數(shù)字濾波器；雙線性；脈沖響應(yīng)

引言

數(shù)字濾波在諸多方面都涉及到，譬如通信、圖像編碼、語音編碼、雷達等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)今，它的應(yīng)用取得了令人矚目的進展和成就。當(dāng)然，相信它的未來也前途無量。

在文中用到的MATLAB是一種應(yīng)用于科學(xué)計算領(lǐng)域的數(shù)學(xué)軟件，它主要包括數(shù)值計算和符號計算功能、繪圖功能編程功能以及應(yīng)用工具箱的擴張功能。MATLAB推出的工具箱使各個領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進行科學(xué)研究、工程應(yīng)用，其中的信號處理、圖像處理、小波等工具箱為數(shù)字濾波研究的蓬勃發(fā)展提供了有力的工具。數(shù)字濾波器與模擬濾波器比較，它具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配和能實現(xiàn)模擬濾波器無法進行的特殊濾波等優(yōu)勢[1]。本文主要介紹無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR）的設(shè)計原理、方法、步驟以及在MATLAB中的實現(xiàn)。

1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計與基本結(jié)構(gòu)

1.1 數(shù)字濾波器的定義及結(jié)構(gòu)原理

數(shù)字濾波器利用離散時間系統(tǒng)對數(shù)字信號中時域離散、幅度量化的信號進行濾波就是數(shù)字濾波器的構(gòu)成，具有完成信號濾波處理的功能，數(shù)字濾波器具備精度高、可靠性好、便于集成等優(yōu)點[2]。數(shù)字濾波器可分為有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器和無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器[3]。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。

1.2 IIR濾波器的設(shè)計

濾波器就是依照所給定的指標來確定系數(shù)和階數(shù)。得到模擬濾波器指標是數(shù)字濾波器指標的轉(zhuǎn)換的，實現(xiàn)的主要方法有有兩種，一種是雙線性變換法，另一種是脈沖響應(yīng)不變法，如圖3所示。

圖1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程

1.3 IIR濾波器實現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)

（1）IIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)，如圖2所示:

圖2 直接型

優(yōu)點：簡單、直觀，所用的延時器數(shù)量少，可以節(jié)省存儲單元或者寄存器。

缺點：作用于所用極點的重要因素就是改變某一個系數(shù){ak}，同樣作用于所用的零點的關(guān)鍵因素就是改變某一個系數(shù){bk}，更甚者有限字長的效應(yīng)更易出現(xiàn)對外界事物反應(yīng)很快的現(xiàn)象，針對這種結(jié)構(gòu)，也輕易出現(xiàn)產(chǎn)生較大誤差和狀況的不穩(wěn)固。大體上不汲取直接型結(jié)構(gòu)，而是采取級聯(lián)型、并聯(lián)型等其他型的出現(xiàn)在三階以上的數(shù)字濾波器上。

（2）IIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖3所示:

圖3 級聯(lián)結(jié)構(gòu)

優(yōu)點：第一是所有系數(shù)變更僅作用子系統(tǒng)的零點和極點，易于獲取濾波器的零點和極點，對頻率特性也容易調(diào)改。第二是需要的存儲單元不用很多，在硬件實現(xiàn)過程中，用二階進行時分復(fù)用比直接型低對有限字長的影響。

缺點：當(dāng)用二進制表示零、極點時，須采用有限位字長，對于各種不同實現(xiàn)方案，所帶來的誤差是有差別的，故需要優(yōu)化各二階級聯(lián)的次序和極點，而且還不能直接調(diào)整零點。

（3）IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖4所示：

圖4 并聯(lián)結(jié)構(gòu)

優(yōu)點：運算的速度快、每個基本節(jié)的偏差彼此不受影響，所以不僅擁有較小的誤差，還可調(diào)整極點的所在位置，其次傳輸準確的零點。

缺點：由于在子系統(tǒng)中的零點不是整個體系的零點，所以不能和級聯(lián)型一樣直接調(diào)動濾波器零點的所在位置。

2 IIR濾波器的實現(xiàn)與仿真

2.1 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計

（1）基本原理

脈沖響應(yīng)不變法是一種將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的基本方法。它通過對模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)h（t）等間隔抽樣來獲得對應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k]，即

h[k]=h（t）|t=kT=h（kT）

（1）

在上述式子中，T作為抽樣間隔。若是知曉濾波器中模擬的系統(tǒng)函數(shù)H（s），那就可以轉(zhuǎn)換成數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)H（z），轉(zhuǎn)換步驟如5所示。

即先對H（s）進行Laplace逆變換獲得h（t）之后，再對h（t）等間隔抽樣得到h[k]，最后計算h[k]的z變換得到H（z）。

圖5 利用脈沖響應(yīng)不變法將H（s）變換為H（z）

（2）設(shè)計方法

脈沖響應(yīng)不變法常用的數(shù)字指標有{Ωp}、Ap、{Ωs}、As，設(shè)計的步驟如下：

①模擬濾波器的技術(shù)指標的被轉(zhuǎn)換是建立在數(shù)字濾波器的技術(shù)指標的基礎(chǔ)上。利用數(shù)字和模擬兩者頻率的間關(guān)系

（2）

然后將{Ωk}數(shù)字濾波器的頻率指標轉(zhuǎn)換為{ωk}模擬濾波器的頻率指標。

②在模擬和數(shù)字濾波器的衰減響應(yīng)的坐標變換中，縱坐標衰減幅度沒有影響，無需變換，所以只需變換橫坐標的頻率軸，轉(zhuǎn)換后模擬濾波器的阻帶衰減As和通帶衰減Ap與數(shù)字濾波器相同。

③依照模擬濾波器的技術(shù)要求，設(shè)計其H（s）即系統(tǒng)函數(shù)，然后利用H（s）求解數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z），并對所設(shè)計的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標進行檢驗是否滿足要求[4]。

利用脈沖響應(yīng)不變法及BW型低通濾波器設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器滿足下列要求的，Ωp=0.2πrad，Ωs=0.6πrad，Ap=2dB,As=25dB

其轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

[numa,dena]=butter（N,wc,'s'）;%確定BW AF

[numd,dend]=impinvar（numa,dena,Fs）;%確定DF

其運行結(jié)果是Ap=1.0032dB,As=32.2549 dB。顯然，阻帶衰減不滿足設(shè)計要求，其原因是巴特沃斯型模擬濾波器不是帶限的，脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計的數(shù)字濾波器存在頻譜混疊。其增益圖如圖6所示。

圖6 數(shù)字濾波器的增益響應(yīng)

圖6是所設(shè)計的低通濾波器的增益響應(yīng)，阻帶衰減不滿足所求要求時，其原因是原濾波器不是帶限的，被脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計的數(shù)字濾波器呈現(xiàn)出頻譜混疊現(xiàn)象。又由于T的選擇對最終的設(shè)計結(jié)果沒有影響，所以不能通過減小T來減少頻譜混疊，有效的方法是待設(shè)計的阻帶最小衰減As。

2.2 雙線性不變法設(shè)計

（1）變換原理

雙線性變換法的基本原理是：把s域Ω值從0到±∞的分布壓縮至0到±π之間，這樣變換到z域就不會出現(xiàn)周期重復(fù)，就可以單值映射。

也就是說，不是直接從s域到z域，而是先將非帶限的H（s）映射為帶限的H（s’）,在模擬濾波器H（s）變換為數(shù)字濾波器H（z）的時候，再將s’映射到z域通過脈沖響應(yīng)不變法的方法，即H（s）—H（s’）—H（z）。

（2）設(shè)計步驟

①將數(shù)字和模擬濾波器的頻率指標相互轉(zhuǎn)換，即{Ωk}轉(zhuǎn)為{ωk}。

②設(shè)計通帶截頻{ωp}通帶衰減Ap、阻帶衰減As、阻帶截頻{ωs}的模擬濾波器其中變換公式：

（3）

然而通帶最大衰減Ap和阻帶最小衰減As不變。

③利用雙線性不變法將模擬和數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)進行轉(zhuǎn)換，即把H（s）通過相應(yīng)的公式轉(zhuǎn)為H（z）。公式為：

（4）

轉(zhuǎn)換方法程序如下：

[N,Wc]=cheb1ord（Omgp,Omgs,Ap,As,'s'）%計算階數(shù)N和截止頻率ωc，[b,a]=cheby1（N,Ap,Wc,'s'）;%求模擬濾波器系數(shù)b和a，再由[bd,ad]=bilinear（b,a,0.5）;%用雙線性變換法求數(shù)字濾波器系數(shù)bd,ad例：用雙線性變換法設(shè)計IIR切比雪夫低通數(shù)字濾波器，wp=0.2πrad，ws=0.6πrad，Ap=3dB,As=40dB。

運行結(jié)果：

Omgp=0.3249

Omgs=1.3764

N=3

wo=0.3249

b=0 0 0 0.0086

a=1.0000 0.1941 0.0980 0.0086

圖7 雙線性變換法設(shè)計低通濾波器的分析

優(yōu)點：由于z平面和s平面間的單一數(shù)值映射的關(guān)系，雙線性變換法不但能滿足對調(diào)換關(guān)系的兩點要求之外，而且還戰(zhàn)勝多值映射的關(guān)系，還可以消除頻率帶來的混疊，避免頻率失真現(xiàn)象[5]。

缺點:頻域的變換是非線性的，在高頻處有較大的失真，適用于低頻和中頻。

3 結(jié)論

采用脈沖響應(yīng)不變法從時域上來設(shè)計IIR濾波器，美中不足的一定是由于頻率響應(yīng)致使周期延拓而造成不可避免的混疊失真，因此這種方法只適合用來設(shè)計帶限的濾波器，如衰減特性很好和帶通濾波器的低通濾波器，高于頻率的折疊部分衰減越大，就會使失真情況減小，混疊效應(yīng)越小。若從頻域出發(fā)的話，采取雙線性變換法。它是從s平面和z平面是一對一的關(guān)系，但克服了混疊的現(xiàn)象，成為這種方法的最大優(yōu)點。

[1]王靖，李永全.數(shù)字橢圓濾波器的Matlab設(shè)計與實現(xiàn)[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2007（6）：4-5+8.

[2]袁煒.數(shù)字濾波器算法研究及其在DSP系統(tǒng)中的實現(xiàn)[D].武漢理工大學(xué)，2007

[3]辛修芳.數(shù)字濾波器在車輛電容稱重裝置中的應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012（3）：376-378.

[4]王淑嬌.數(shù)字濾波器的設(shè)計與參數(shù)選擇[J].科技資訊，2011（35）：32.

[5]封向東，李興源.遞歸數(shù)字濾波器的設(shè)計和實現(xiàn)[J].成都科技大學(xué)學(xué)報，1995（6）：84-92.

[責(zé)任編輯：袁向芬]

Design and implementation of IIR digital filter

ZHANG Hai-rong

（Guizhou Education University, Guiyang, Guizhou, 550018）

The digital filter are the important content digital signal processing,which may be divided into IIR and the FIR.To design the IIR digital filter , we need the help of analog prototype filter, and then transform analog filter into digital filter.In the paper we use the design of the pulse response invariable method and the bilinear method.Based on the IIR filter characteristic, we use the bilinearity method of transformation and respuesta invariable under the MATLAB bad boundary to design IIR,and compare the advantages and disadvantages of both.

Bigital filter IIR； MATLAB； Bigital filter； Bilinearity; Impulse response

2016-11-29

張海蓉（1983-），女，陜西涇陽人，碩士，貴州師范學(xué)院講師，研究方向：信號與信息處理、智能控制系統(tǒng)、嵌入式系統(tǒng)。

TN911.72

A

1674-7798（2016）12-0008-04