基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析

王立憲，楊萬(wàn)輝，狄生奎，項(xiàng)長(zhǎng)生

(蘭州理工大學(xué)甘肅省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730050)

基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析

王立憲，楊萬(wàn)輝，狄生奎，項(xiàng)長(zhǎng)生

(蘭州理工大學(xué)甘肅省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730050)

根據(jù)一次二階矩中的驗(yàn)算點(diǎn)法可靠度理論，基于最大裂縫寬度指標(biāo)中鋼筋混凝土構(gòu)件極限狀態(tài)下的功能函數(shù)，分析了各隨機(jī)變量的分布類型，利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)可靠指標(biāo)驗(yàn)算。通過(guò)計(jì)算實(shí)例分析了各隨機(jī)變量對(duì)最大裂縫寬度可靠指標(biāo)靈敏性的影響，數(shù)值結(jié)果表明:混凝土保護(hù)層厚度、樓板有效高度、混凝土軸心抗拉強(qiáng)度以及荷載效應(yīng)比對(duì)可靠指標(biāo)及靈敏度有不同的影響，本文結(jié)論可為鋼筋混凝土板式構(gòu)件的設(shè)計(jì)提供相關(guān)理論依據(jù)與指導(dǎo)。

可靠度;靈敏度;最大裂縫寬度;鋼筋混凝土樓板

近年來(lái)，板式結(jié)構(gòu)坍塌事故頻繁出現(xiàn)，造成了巨大的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。重大土木工程結(jié)構(gòu)的安全失效問(wèn)題逐漸引起人們的廣泛關(guān)注，對(duì)結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)評(píng)估進(jìn)而成為專家學(xué)者研究的熱門領(lǐng)域。史志華等［1］基于一次二階矩法，對(duì)鋼筋混凝土構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下的可靠指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)算，達(dá)到了預(yù)期的效果;Val D V等［2］提出了銹蝕鋼筋混凝土板式橋梁的可靠度評(píng)估方法，建立了荷載模型、鋼筋銹蝕模型和非線性有限元結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)一次二階矩法對(duì)可靠度指標(biāo)進(jìn)行估計(jì);蔣偉等［3］分析了鋼管混凝土拱面外穩(wěn)定的可靠度與靈敏度，發(fā)現(xiàn)混凝土強(qiáng)度的靈敏度隨外荷載的增大而增大，隨彈性模量的增大而減小;焦美菊等［4］基于最大裂縫寬度，對(duì)鋼筋混凝土橋梁進(jìn)行了可靠度分析，結(jié)果表明可靠指標(biāo)基本滿足設(shè)計(jì)要求。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于板式構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下的安全評(píng)估研究較少，但以概率度量為理論基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)可靠度相關(guān)理論發(fā)展較為成熟，充分考慮了影響結(jié)構(gòu)的諸多不確定性因素。因此，本文以板式結(jié)構(gòu)構(gòu)件的最大裂縫寬度指標(biāo)作為考察結(jié)構(gòu)可靠度評(píng)估對(duì)象，首先根據(jù)規(guī)范對(duì)板式受彎構(gòu)件進(jìn)行最大裂縫寬度分析，再確定各變量的分布類型，最后利用基于驗(yàn)算點(diǎn)法的可靠度計(jì)算方法結(jié)合具體的實(shí)例對(duì)鋼筋混凝土樓板進(jìn)行了最大裂縫寬度可靠指標(biāo)計(jì)算，并對(duì)其靈敏性進(jìn)行了分析。

1 最大裂縫可靠度分析

1.1 結(jié)構(gòu)可靠度

根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068—2001)［5］規(guī)定，結(jié)構(gòu)可靠性的定義為:在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、規(guī)定的條件下，結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的概率，它包括三方面的內(nèi)容，即安全性、適用性、耐久性。結(jié)構(gòu)的安全性一般基于承載力極限狀態(tài)設(shè)計(jì)，而適用性與耐久性則是基于正常使用極限狀態(tài)設(shè)計(jì)考慮。

當(dāng)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程由若干變量綜合而成的荷載作用效應(yīng)以及結(jié)構(gòu)對(duì)外荷載的抗力兩方面表示時(shí)，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程可表達(dá)為

式中:R為結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的抗力，S為荷載作用效應(yīng)。

我國(guó)現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)［6］對(duì)裂縫寬度有一定要求，當(dāng)構(gòu)件裂縫寬度過(guò)大時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響建筑的適用性。由此，可對(duì)正常使用極限狀態(tài)控制設(shè)計(jì)的混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行可靠度分析。

在正常使用狀態(tài)下由裂縫寬度控制的混凝土受彎構(gòu)件中的最大裂縫寬度按下式計(jì)算

式中:αcr為構(gòu)件受力特征系數(shù)，對(duì)于受彎和偏心受壓的混凝土構(gòu)件取1.9;ψ為受拉鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù);σsk為按荷載標(biāo)準(zhǔn)組合計(jì)算的鋼筋混凝土構(gòu)件縱向受拉鋼筋應(yīng)力;Es為鋼筋彈性模量;c為混凝土保護(hù)層厚度;ρte為縱向受拉鋼筋的配筋率;Ate為有效受拉混凝土截面面積;As為受拉區(qū)縱向鋼筋截面面積;deq為受拉區(qū)縱向鋼筋的等效直徑。

對(duì)于正常使用極限狀態(tài)，將規(guī)范規(guī)定的裂縫寬度限值作為結(jié)構(gòu)構(gòu)件對(duì)外荷載的抗力。依據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)規(guī)定，在Ⅰ類和Ⅱ類環(huán)境下，鋼筋混凝土構(gòu)件的最大裂縫寬度不得超過(guò)0.3 mm。

1.2 極限狀態(tài)方程

在最大裂縫寬度的可靠度分析中，認(rèn)為構(gòu)件的抗力為0.2 mm，而作用的效應(yīng)為混凝土構(gòu)件在實(shí)際荷載作用下產(chǎn)生的最大裂縫寬度。采用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)中規(guī)定的計(jì)算公式得到的計(jì)算值，并引入計(jì)算模式不確定系數(shù)γ加以修正，則可建立基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土構(gòu)件正常使用極限狀態(tài)方程［7－8］

式中:γ為構(gòu)件裂縫寬度計(jì)算模式不確定系數(shù)。綜合以上各式，可得極限狀態(tài)方程為

2 基于驗(yàn)算點(diǎn)法的可靠指標(biāo)計(jì)算

目前，可靠度理論發(fā)展已較為成熟。常用的可靠度計(jì)算方法有蒙特卡洛(Monte Carlo)方法、響應(yīng)面法、隨機(jī)有限元法、一次二階矩法、二次二階矩法及高次高階矩方法。根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068—2001)，鋼筋混凝土樓板所受恒荷載及其幾何參數(shù)基本服從正態(tài)分布，其所受各類活荷載則服從極值Ⅰ型分布。根據(jù)已有結(jié)構(gòu)荷載的分布類型及其已知條件綜合考慮，宜采用一次二階矩當(dāng)中的驗(yàn)算點(diǎn)法作為可靠指標(biāo)的計(jì)算方法［9－10］。

在使用基于一次二階矩中的驗(yàn)算點(diǎn)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算時(shí)，可靠指標(biāo)β的幾何意義為:在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的距離，垂足即為驗(yàn)算點(diǎn)。將非線性功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處展開(kāi)，并取一次項(xiàng)［4］

則其平均值與方差分別為

則可靠指標(biāo)為

由式(8)可知，可靠指標(biāo)β為驗(yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)值函數(shù)，因?yàn)榇蓑?yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)值未知，所以需要補(bǔ)充其他條件。而驗(yàn)算點(diǎn)與可靠指標(biāo)有以下關(guān)系:

其中，αXi'為隨機(jī)變量靈敏度系數(shù)。可靠指標(biāo)β由式(5)～(10)組成的非線性方程組迭代計(jì)算可得，其迭代步驟具體為:①選定初始驗(yàn)算點(diǎn)，一般取x*(0)= (ux1，ux2，…，uxn);②由式(6)、(7)計(jì)算均值uX和方差σX;③由式(8)計(jì)算可靠指標(biāo)β;④由式(10)計(jì)算αXi'(i =1，2，…，n);⑤由式(10)計(jì)算新的驗(yàn)算點(diǎn)為規(guī)定的允許誤差，則停止迭代，所求β即為要求的可靠指標(biāo);否則，取x*(1)=x*(0)，轉(zhuǎn)第②步繼續(xù)迭代。

3 算例及可靠指標(biāo)分析

3.1 算例1

某現(xiàn)澆簡(jiǎn)支單向板，板厚為150 mm，計(jì)算跨度為2.7 m，承受恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值gk=0.8 kN/m2(不包括板自重)，活荷載標(biāo)準(zhǔn)值qk=2.5 kN/m2，采用混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，HPB300級(jí)鋼筋。鋼筋混凝土自重為25 kN/m3，不考慮受壓鋼筋作用。

3.2 算例2

具體參數(shù)同算例1，樓板結(jié)構(gòu)形式為雙向板，采用雙向板計(jì)算方法，考查基于裂縫寬度的各隨機(jī)變量可靠度。根據(jù)文獻(xiàn) ［10］查得各隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 各隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)表Table 1 Statistical parameters of random variables

用MATLAB軟件基于一次二階矩法編程進(jìn)行可靠指標(biāo)計(jì)算，經(jīng)過(guò)多次迭代最終滿足精度要求，得到不同變量變化時(shí)與可靠指標(biāo)β的關(guān)系圖。圖1～圖4分別表示在不同混凝土保護(hù)層厚度c、樓板有效高度h、混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk以及不同荷載效應(yīng)比下的鋼筋混凝土雙向板與單向板可靠指標(biāo)β之間的關(guān)系曲線。

圖1 混凝土保護(hù)層厚度c與可靠指標(biāo)β關(guān)系Fig.1 Relationship between thickness c of concrete protection and reliability indexβ

圖2 樓板有效高度h與可靠指標(biāo)β關(guān)系Fig.2 Relationship between effective height h of floors and reliability indexβ

圖3 混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk與可靠指標(biāo)β關(guān)系Fig.3 Relationship between tensile strength ftkof concrete and reliability indexβ

圖4 荷載效應(yīng)比q/g與可靠指標(biāo)β關(guān)系Fig.4 Relationship between load effect ratio q/g and reliability indexβ

由圖1可知，其他變量一定時(shí)，相同保護(hù)層厚度的雙向板可靠指標(biāo)高出單向板可靠指標(biāo)約5%。由圖2和圖3可知，相同樓板有效厚度h和混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk的單向板可靠指標(biāo)高出雙向板可靠指標(biāo)約3%。從圖4中可以看出，其他變量一定時(shí)，隨著荷載效應(yīng)比q/g的增大，雙向板保護(hù)層厚度的增大使可靠指標(biāo)下降的程度較其他隨機(jī)變量更為明顯，其可靠指標(biāo)高出同等條件下單向板的5%～10%。同等樓板有效高度h和混凝土強(qiáng)度f(wàn)tk情況下，單向板可靠指標(biāo)高出雙向板約4%。

3.3 可靠指標(biāo)靈敏性分析

可靠度對(duì)于隨機(jī)參數(shù)靈敏性分析是結(jié)構(gòu)可靠性研究的一個(gè)重要方面，為了分析不同隨機(jī)變量參數(shù)對(duì)可靠指標(biāo)的影響程度，通過(guò)改變樓板的保護(hù)層厚度c、有效高度h、混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk等參數(shù)，得到了計(jì)算模式不確定性系數(shù)γ、恒荷載作用g、活荷載作用q對(duì)可靠指標(biāo)的靈敏度系數(shù)α，具體結(jié)果見(jiàn)表2。

由計(jì)算結(jié)果可知，在不同的保護(hù)層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk下，雙向板與單向板的計(jì)算模式不確定性系數(shù)γ、恒荷載效應(yīng)g、活荷載效應(yīng)q的靈敏度基本保持一致，沒(méi)有明顯差異。不確定性系數(shù)γ的靈敏性基本保持在0.984 1～0.999 8，恒荷載作用 g基本保持在0.004 3～0.038 4，活荷載作用 q基本保持在0.019 5～0.173 5。不確定性系數(shù)γ的靈敏性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于恒荷載作用g與活荷載作用q。由此可知，不確定性系數(shù)對(duì)可靠指標(biāo)的靈敏性最大，在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)予以考慮。

表2 隨機(jī)變量靈敏度參數(shù)Table 2 Random variable parameter sensitivity

圖5 荷載效應(yīng)比q/g與靈敏度數(shù)α關(guān)系Fig.5 Relationship between load effect ratio q/g andα

圖5表明在不同的荷載比q/g下，保護(hù)層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk的靈敏程度有所不同。計(jì)算結(jié)果表明，隨著荷載效應(yīng)比的增大，雙向板與單向板的保護(hù)層厚度的靈敏性逐漸降低:荷載比q/g在0.5～1.5，保護(hù)等厚度c的靈敏度表現(xiàn)平緩;在1.5～2.0時(shí)，雙向板c的靈敏度急劇下降。恒荷載效應(yīng)約為2倍的活荷載效應(yīng)時(shí)，保護(hù)層厚度對(duì)雙向板與單向板的靈敏度出現(xiàn)跳躍，表現(xiàn)出較為明顯的差異;樓板有效高度h、混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk對(duì)雙向板與單向板的靈敏度在q/g為1.5～2.5范圍時(shí)無(wú)明顯差異，基本一致。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)最大裂縫控制的鋼筋混凝土樓板在正常使用極限狀態(tài)下的可靠度與靈敏度分析，得出以下結(jié)論:

(1)從影響鋼筋混凝土樓板可靠度的眾多因素中發(fā)現(xiàn)，在其他變量一定的情況下，同等保護(hù)層厚度的雙向板可靠指標(biāo)高出單向板可靠指標(biāo)約5%，同等樓板有效厚度h和混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk的單向板可靠指標(biāo)高出雙向板可靠指標(biāo)約3%。

(2)在不同的保護(hù)層厚度c、樓板有效高度h以及混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk下，雙向板與單向板的計(jì)算模式不確定性系數(shù)γ、恒荷載效應(yīng)g、活荷載效應(yīng)q的靈敏度基本保持一致，沒(méi)有明顯差異。

(3)恒荷載效應(yīng)約為2倍的活荷載效應(yīng)時(shí)，保護(hù)層厚度對(duì)雙向板與單向板的靈敏度有明顯差異，而樓板有效高度h、混凝土抗拉強(qiáng)度f(wàn)tk對(duì)雙向板與單向板的靈敏度在q/g為1.5～2.5時(shí)無(wú)明顯差異，基本一致。

［1］史志華，胡德炘，陳基發(fā)，等．鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件正常使用極限狀態(tài)可靠度的研究［J］．建筑科學(xué)，2000，16 (6):4－11．

［2］Val D V，Stewart M G，Melchers R E．Effect of reinforcement corrosion on reliability of highway bridges［J］．Engineering Structures，1998，20(11):1010－1019．

［3］蔣偉，呂大剛．鋼管混凝土拱面穩(wěn)定的可靠度與靈敏度分析［J］．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，44(12):8－12．

［4］焦美菊，孫利民．基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土橋梁可靠度分析［J］．工程力學(xué)，2010，27(S1):245－249．

［5］GB 50068—2001，建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)［S］．

［6］GB 50010—2010，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．

［7］趙羽習(xí)，金偉良．正常使用極限狀態(tài)下的混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的分析方法［J］．浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2002，36(6):674－679．

［8］楊偉軍，趙傳智．土木工程結(jié)構(gòu)可靠度理論與設(shè)計(jì)［M］．北京:人民交通出版社，1999:73－78．

［9］Gayton N，Bourient JM，Lemaire M.CQ2RS:A new statistical approach to the response surfacemethod for reliability analysis［J］．Structural Safety，2003，25(1):99－121．

［10］貢金鑫，魏巍?。こ探Y(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)原理［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2007．

Reliability analysis of reinforced concrete slabs based on themaximum crack w idth

WANG Li-xian，YANGWan-hui，DISheng-kui，XIANG Chang-sheng
(Key Laboratory of Disaster Prevention and Mitigation in Civil Engineering of Gansu Province，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China)

In this paper，the distribution of each random variable in reinforced concrete members under the maximum crack width index is analyzed based on specification of function limit state．According to the checking pointmethod of the reliability theory，reliability index is calculated by MATLAB program．The random variable of the reliability index is studied to discuss the sensitivity of themaximum crack width index，through specific examples．The results show that the thickness of concrete cover，floor height，concrete axial tensile strength and load effect on the reliability index have different effects on reliability index and sensitivity．The result can provide theoretical basis and suggestion for the design of reinforced concrete slabs．

reliability;sensitivity;themaximum crack width;reinforced concrete floor

TU375.2;TU311.2

:A

2015－07－07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (51608245);甘肅省科技計(jì)劃項(xiàng)目 (148RJZA012)

王立憲 (1977—)，男，博士研究生，講師，研究方向:結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)，wanglxian@lut.cn。

王立憲，楊萬(wàn)輝，狄生奎，等．基于最大裂縫寬度的鋼筋混凝土樓板可靠度分析［J］．桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，36(4):721－725．

1674－9057(2016)04－0721－05

10.3969/j．issn.1674－9057.2016.04.012