一類不確定快時(shí)變系統(tǒng)的確保性能魯棒自適應(yīng)控制*

李公軍

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

一類不確定快時(shí)變系統(tǒng)的確保性能魯棒自適應(yīng)控制*

李公軍1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

本文研究了一類一階不確定快時(shí)變系統(tǒng)的確保跟蹤性能控制問題.通過引入一個(gè)狀態(tài)變換，將帶性能約束的控制問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，提出一個(gè)魯棒自適應(yīng)控制律.該控制律除能確保原系統(tǒng)滿足給定的性能約束外，還使得新的狀態(tài)變量的最終界只和某些控制器參數(shù)有關(guān).由于控制器參數(shù)已知，因此本方法對(duì)該最終界有較好的估計(jì).數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

時(shí)變系統(tǒng);快時(shí)變參數(shù);魯棒自適應(yīng)控制;外部干擾;確保性能控制

0 引 言

當(dāng)被控對(duì)象處于復(fù)雜多變的環(huán)境中，系統(tǒng)的不確定參數(shù)不再是定?；蛘呗龝r(shí)變的.例如，大型充液航天器在遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火階段，隨著推進(jìn)劑的大量消耗，系統(tǒng)的特性發(fā)生較大的變化，此時(shí)，系統(tǒng)的某些參數(shù)是未知且時(shí)變的［1］;高超聲速飛行器在下壓段飛行時(shí)，短時(shí)間內(nèi)動(dòng)壓的變化可達(dá)數(shù)百倍［2］，是一個(gè)典型的快變不確定系統(tǒng).因此，研究不確定快時(shí)變系統(tǒng)的控制問題變得很有實(shí)際意義.

關(guān)于不確定快變系統(tǒng)的研究，魯棒控制是常用的方法［3］.魯棒控制需要知道不確定的界，它可以確保對(duì)這個(gè)界內(nèi)的所有不確定都有期望的性能.近年來，針對(duì)快變不確定系統(tǒng)，一些自適應(yīng)控制方法［4-7］也陸續(xù)被提出.其中，文獻(xiàn)［4-6］要求時(shí)變參數(shù)及其變化率有界;文獻(xiàn)［7］針對(duì)一類參數(shù)任意快變系統(tǒng)(指:時(shí)變參數(shù)變化率的上界無法事先限定)，利用浸入與不變流形(I＆I)的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)控制器使得在參數(shù)估計(jì)值有界的條件下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)全局收斂到零.由于自適應(yīng)控制方法是利用輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)的不確定參數(shù)，當(dāng)存在較大干擾時(shí)，干擾的存在會(huì)極大地影響參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性，導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定.因此，文獻(xiàn)［4-7］很難推廣到存在有界干擾的情況.

對(duì)于那些存在有界外部干擾且控制增益快時(shí)變的系統(tǒng)，如果不確定的界未知時(shí)，研究成果很少.此時(shí)需要將魯棒控制與自適應(yīng)控制的思想結(jié)合起來，其中自適應(yīng)控制用來估計(jì)不確定的界.在這方面，文獻(xiàn)［8］提出了一個(gè)確保跟蹤性能的魯棒自適應(yīng)控制器.該方法通過選取合適的狀態(tài)變換，使得只要新的狀態(tài)變量有界，即可實(shí)現(xiàn)確保跟蹤性能的控制目標(biāo)［9-11］.然而，僅僅確保新的狀態(tài)變量有界是不夠的，應(yīng)該盡可能確保所引入的新的狀態(tài)變量具有較好的性質(zhì)，例如漸近穩(wěn)定性或者最終界充分小.這是因?yàn)楸M管從原系統(tǒng)來看，跟蹤性能約束得到滿足，但從新的狀態(tài)變量所描述的系統(tǒng)來看，如果控制器僅僅保證新的狀態(tài)變量以及其它所有信號(hào)有界，系統(tǒng)內(nèi)部仍然沒有達(dá)到滿意的性能.例如，文獻(xiàn)［8］的方法只是確保了新的狀態(tài)變量以及其它所有信號(hào)是一致最終有界的，而且，最終的界正比于高頻增益的下界.由于高頻增益的下界未知，這個(gè)最終界也是未知的，因此不能有好的估計(jì).因此，文獻(xiàn)［8］的結(jié)果仍然很保守.

基于上述分析，本文考慮一類一階不確定系統(tǒng)的確保跟蹤性能控制問題，其中，時(shí)變參數(shù)(包括控制增益)和外部干擾只需要是有界的，不需要知道它們的界，因此它們可以是快變的.受文獻(xiàn)［8］啟發(fā)，本文也引入了一個(gè)坐標(biāo)變換，將帶性能約束的控制問題轉(zhuǎn)化為無約束控制問題.在此基礎(chǔ)上，本文提出了一個(gè)魯棒自適應(yīng)控制律.該控制律不僅確保原系統(tǒng)具有期望的性能，還能使新的狀態(tài)變量所描述的系統(tǒng)具有良好的性能.具體地，對(duì)于新的狀態(tài)變量所描述的系統(tǒng)，該控制律不僅確保系統(tǒng)所有信號(hào)都是有界的，而且新的狀態(tài)變量的最終界只和某個(gè)控制器參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的參數(shù)無關(guān).由于控制器參數(shù)都是已知的，本文的方法可以較好地估計(jì)這個(gè)界的大小.此外，通過適當(dāng)選取控制器參數(shù)，還可以使新狀態(tài)變量的最終界具有期望的性能.

1 問題描述和預(yù)備知識(shí)

1.1 問題描述

本文考慮如下一階快時(shí)變系統(tǒng)

其中，x∈R，u∈R，y∈R分別為狀態(tài)，輸入和輸出，t為時(shí)間，θ(t)為不確定的時(shí)變參數(shù)，f(t，θ(t)，x)和g(t，θ(t)，x)為未知光滑函數(shù).

對(duì)系統(tǒng)(1)，作如下假設(shè):

假設(shè)1.函數(shù)f(t，θ(t)，x)滿足

其中M(x)為已知光滑函數(shù)，滿足M(|x|)≥0，l1和l2為未知正常數(shù).

假設(shè)2.控制增益g(t，θ(t)，x)的符號(hào)已知，且不變號(hào).另外，g(t，θ(t)，x)有界.不失一般性，假設(shè)

這里，b1和b2是未知正常數(shù).

注1.從假設(shè)1可以看出，本文考慮的對(duì)象除了包含參數(shù)不確定外，還包含有界外部擾動(dòng).

注2.從假設(shè)1和2可以看出，對(duì)系統(tǒng)中的不確定參數(shù)，僅要求它是有界的，對(duì)它的變化情況并沒有作任何限定.因此，本文的對(duì)象可以是快變的.

用yr(t)表示輸出參考曲線，對(duì)其作如下假設(shè):

假設(shè)3.yr(t)以及它的變化律(t)都是已知、光滑、有界的.

令

表示系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差.

本文的控制目標(biāo)是:在假設(shè)1～假設(shè)3滿足的條件下，針對(duì)被控對(duì)象(1)，設(shè)計(jì)控制律u，使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)是全局有界的，同時(shí)，輸出跟蹤誤差εy(t)始終滿足如下約束:

這里，λ為已知正常數(shù)，滿足0＜λ≤1;ζ(t)表達(dá)式為:式中，a為正常數(shù)，ζ(0)＞ζ(∞)＞0.

注3.式(5)表明輸出跟蹤誤差εy始終界于曲線λζ(t)和－λζ(t)之間.因此，通過合理選擇 λ和ζ(t)可以確保輸出跟蹤誤差εy滿足期望的性能指標(biāo)，例如超調(diào)大小、動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間以及穩(wěn)態(tài)誤差等.

1.2 預(yù)備知識(shí)

在文獻(xiàn)［8］中，作者引入一個(gè)坐標(biāo)變換，將帶性能約束的控制問題轉(zhuǎn)化為無約束控制問題.下面進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

式(5)等價(jià)于

選取如下坐標(biāo)變換:

容易知道，(1)當(dāng)＞－λ，且 →－λ時(shí)，z→－∞;當(dāng)

＜λ，且→λ時(shí)，z→+∞;(2)當(dāng)z→0時(shí)，εy→0.

注4.當(dāng)接近±λ時(shí)，也即輸出跟蹤誤差εy接近式(5)定義的邊界時(shí)，z將是無窮大.因此，如果設(shè)計(jì)控制律u，確保z是有界的，那么輸出跟蹤誤差εy將始終滿足約束(5).此外，如果z充分小，那么εy也將充分小.下一節(jié)就利用這個(gè)思想，設(shè)計(jì)控制器確保z是有界的.

2 主要結(jié)果

根據(jù)注4，本節(jié)將設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒自適應(yīng)控制器，確保z和閉環(huán)系統(tǒng)的其他信號(hào)都是有界的，而且z的最終界只與控制器參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)參數(shù)無關(guān).因此，通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)，可使得z的最終界充分小.

需要說明的是，式(10)～(20)是在輸出跟蹤誤差εy始終滿足式(5)的前提下得到的.后續(xù)的引理1中，嚴(yán)格的穩(wěn)定性分析表明:當(dāng)初始狀態(tài)滿足式(5)的約束時(shí)，本文的方法可以確保輸出跟蹤誤差εy始終滿足式(5).

在式(9)中，對(duì)z求導(dǎo)，并將式(8)代入，得

根據(jù)式(6)和式(9)，可知當(dāng)εy滿足式(5)時(shí)，有χ(t)＞0成立.

將式(4)代入式(10)中，并結(jié)合式(1)，得

其中，k＞0為正常數(shù)，F(xiàn)(t，θ(t)，x)定義如下:

利用假設(shè)1，可知

針對(duì)系統(tǒng)(12)～(15)，設(shè)計(jì)如下控制律和更新律

其中，sat(·)為飽和函數(shù)，定義如下:

ε＞0和γi＞0(i=1，2，3)是設(shè)計(jì)參數(shù).zΔ定義如下:

它可以看作是z到集合{z:|z|≤ε}的距離.

選取如下的Lyapunov函數(shù):其中，zΔ在式(20)中定義，b1在假設(shè)2中定義，(i=1，2，3)定義如下:

這里，l1和l2在假設(shè)1中定義.

有如下的引理:

引理1.在假設(shè)1～假設(shè)3滿足的條件下，針對(duì)被控對(duì)象(1)，設(shè)計(jì)控制律(16)和更新律(17)～(19).對(duì)任意的k＞0，γi＞0(i=1，2，3)，ε＞0以及滿足式(5)的任意初始值x(0)，我們有如下結(jié)論:

(I)z有界;

(II)對(duì)所有的時(shí)刻t，均有

證明.首先，由于微分方程解的連續(xù)性，當(dāng)初始狀態(tài)x(0)滿足式(5)的約束時(shí)，至少存在一個(gè)小的時(shí)間段，系統(tǒng)仍然滿足約束;然后，證明在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，由于控制的作用，系統(tǒng)不僅滿足約束，而且不會(huì)靠近約束的邊界.再利用微分方程解的延拓定理，可知整個(gè)時(shí)間段上系統(tǒng)都滿足約束.

由于初始狀態(tài)x(0)滿足式(5)的約束，根據(jù)微分方程解的連續(xù)性和唯一性(參考［12］中的引理1)，存在一個(gè)時(shí)刻τmax＞0，使得當(dāng)t∈(0，τmax］時(shí)，x(t)滿足式(5)的約束.因此，在t∈(0，τmax］時(shí)間內(nèi)，式(12)、(16)～(19)都是成立的.

由式(12)、(16)～(19)組成的閉環(huán)系統(tǒng)可知:當(dāng)系統(tǒng)軌線位于區(qū)域|z|≤ε內(nèi)，即zΔ=0時(shí)，(i= 1，2，3)保持不變.因此，李雅普諾夫函數(shù)也保持不變.即

在區(qū)域|z|≤ε外，也即zΔ≠0時(shí)，計(jì)算李雅普諾夫函數(shù)V沿閉環(huán)軌線式(12)，式(16)～(19)的導(dǎo)數(shù)，并注意到以及式(15)，有

根據(jù)式(17)～(19)，χ(t)＞0和假設(shè)1，可知對(duì)所有的t∈(0，τmax］，均有(t)＞0(i=1，2，3)成立.因此，利用g(t，θ(t)，x)≥b1將式(24)進(jìn)一步放縮

將式(17)～(19)代入式(24)，得

結(jié)合式(23)，可知當(dāng)t∈(0，τmax］時(shí)，無論何種情況，均有

成立.式(25)表明V在t∈(0，τmax］上是有界的.又根據(jù)式(21)V的表達(dá)式，可知zΔ(t)在t∈(0，τmax］上也是有界的.再根據(jù)式(20)，可知z(t)在t∈(0，τmax］上是有界的.根據(jù)解的延拓定理(參考［12］中的引理1)，重復(fù)上述分析，可知在整個(gè)時(shí)間區(qū)間t∈(0，∞)上，z(t)都是有界的.因此，引理1的第一條結(jié)論是正確的.

進(jìn)一步，由于在整個(gè)時(shí)間區(qū)間t∈(0，∞)上，z(t)都是有界的，因此，在整個(gè)時(shí)間區(qū)間t∈(0，∞)上，x(t)始終滿足式(5)的約束.于是，閉環(huán)系統(tǒng)式(12)、(16)～(19)可拓展到整個(gè)時(shí)間區(qū)間上，也即在整個(gè)時(shí)間區(qū)間t∈(0，∞)上，閉環(huán)系統(tǒng)式(12)、(16)～(19)都是有定義的.相應(yīng)地，式(25)的結(jié)論也可以拓展到整個(gè)時(shí)間區(qū)間上.因此，引理1的第二條結(jié)論也是正確的.

在引理1的基礎(chǔ)上，我們得到如下定理:

定理1.在假設(shè)1－假設(shè)3滿足的條件下，針對(duì)被控對(duì)象(1)，設(shè)計(jì)控制律(16)、(17)～(19).對(duì)任意的k＞0，γi＞0(i=1，2，3)，ε＞0以及滿足式(5)的任意初始值x(0)，我們有如下結(jié)論:

(I)輸出跟蹤誤差εy滿足式(5)所給的約束;

(II)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)是全局有界的;

(III)存在正常數(shù)T*(ε)，使得當(dāng)t＞T*時(shí)，有

成立.

證明.(I)根據(jù)引理1，可知z是有界的.根據(jù)注4，z的有界性確保了輸出跟蹤誤差 εy(t)始終滿足式(5)的約束.因此，結(jié)論(I)成立.

(II)x的有界性.由于εy(t)始終滿足式(5)，顯然εy(t)是有界的.再利用式(4)以及假設(shè)3，可知y，也即x是有界的.

l^i(i=1，2，3)的有界性.根據(jù)引理1，可知對(duì)所有的時(shí)刻t，均有

因此，V是有界的.根據(jù)式(21)中V的表達(dá)式，可知(i=1，2，3)是有界的.再根據(jù)式(22)，可知(i= 1，2，3)有界.

u的有界性.u的定義見式(16).首先證明的有界性，它的定義見式(14).由于z有界，根據(jù)式(9)，可知存在正常數(shù)μ，使得

根據(jù)式(11)，易知存在正常數(shù)κ1和κ2，使得

(III)考慮式(12)，根據(jù)χ(t)的有界性，F(xiàn)(t，θ(t)，x)的有界性，g(t，θ，x)的有界性(假設(shè)2)，u的有界性以及z的有界性，可知式(12)的右邊是有界的，也即是有界的.根據(jù)式(20)zΔ的定義，在區(qū)域|z|≤ε內(nèi)，zΔ≡0，因此≡0;在區(qū)域|z|≤ ε外，易知因此，的有界性確保了也是有界的.

對(duì)式(26)兩邊積分，得

可知zΔ是平方可積的.同時(shí)有界，根據(jù)Barbalat引理［13］，可知zΔ→0，t→∞.因此，存在T*(ε)＞ 0，使得當(dāng)t＞T*時(shí)，有.進(jìn)一步，根據(jù)式(20)zΔ的定義，可知.因此，結(jié)論(III)成立.

注5.從定理1可以看出，本文的方法不僅確保輸出跟蹤誤差滿足給定的約束，同時(shí)，新的狀態(tài)變量的最終界只與控制器參數(shù)ε有關(guān)，與原系統(tǒng)的參數(shù)無關(guān).由于ε是已知的，因此我們可以較好的估計(jì)這個(gè)最終界.

3 數(shù)值仿真

下面通過一個(gè)例子來驗(yàn)證本文方法的有效性.

考慮如下對(duì)象:=θ1(t)x+θ2(t)u+d(t)，x(0)=2.這里θ1(t)=3+8sin(10t)，θ2(t)=10+ 7sin(10t)，d(t)=0.1sin(10t)+0.2.根據(jù)θ1(t)，θ2(t)的表達(dá)式可以看出，這兩個(gè)參數(shù)都是快時(shí)變的.控制器設(shè)計(jì)的時(shí)候，我們不知道θ1(t)，θ2(t)以及d(t)的具體表達(dá)式，只知道|θ1(t)|≤12，2≤θ2(t)≤20以及|d(t)|≤0.5.根據(jù)式(1)～式(3)，可知l1=12，l2=0.5，b1=2以及M(|x|)=|x|.因此，

控制目標(biāo)是跟蹤如下參考系統(tǒng)的輸出:

這里，參考系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［x1m(0)x2m(0)］=［0.50］，ω1=1，ξ1=0.95，um≡5.

關(guān)于跟蹤誤差的性能約束(見式(5)和式(6))，取ζ(0)=3，ζ(∞)=0.05，a=0.5以及λ=1.

仿真中，取k=10，ε=0.1，γi=10(i=1，2，3)，參數(shù)估計(jì)初始值取為

顯然，參數(shù)估計(jì)初始值和真實(shí)值

仿真結(jié)果如圖1～4所示.從圖1～4可以看出，系統(tǒng)的所有信號(hào)均是有界的，而且輸出跟蹤誤差始終滿足給定的約束.由于干擾的存在，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，控制量也以一定的周期波動(dòng)，也即控制律部分抵消了干擾的影響.因而本文的方法是有效的.

圖1 輸出曲線Fig.1 Output variables

圖2 輸出跟蹤誤差Fig.2 Output tracking errors

圖3 參數(shù)估計(jì)值Fig.3 Parameter estimates

圖4 控制量Fig.4 Control input

4 結(jié)論與展望

本文研究了一類存在有界干擾的快時(shí)變系統(tǒng)的確保性能跟蹤控制問題.基于確保性能控制技術(shù)，通過引入一個(gè)狀態(tài)變換，本文提出了一個(gè)確保跟蹤性能的魯棒自適應(yīng)控制器.該控制器一方面確保了系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差始終滿足給定的約束，另一方面還確保了這個(gè)新的狀態(tài)變量所描述的系統(tǒng)也具有較好的性能.最后的仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性.

當(dāng)然，本文的結(jié)果僅僅針對(duì)一階系統(tǒng).后續(xù)的工作嘗試將其推廣到高階系統(tǒng).

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Robust Adaptive Control for a Class of Uncertain Fast Time-Varying Systems with Prescribed Performance

LI Gongjun1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China;2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China)

A tracking control with prescribed performance is investigated for a class of uncertain one-order fast time-varying systems.Such control problem is firstly transformed into one without constraints by introducing a state transformation.Then，a robust adaptive controller is proposed.Our scheme can ensure not only that the systems satisfy the given performance constraints，but also the ultimate bound of the new state variable only depends on some control parameters.As the control parameters are known，this scheme can provide a good estimation of this bound.Finally，numerical simulations verify the validity of the proposed approach.

time-varying system;fast time-varying parameter;robust adaptive control;external disturbance;prescribed performance control

TP273

:A

:1674-1579(2016)01-0025-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.01.005

李公軍(1984—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)楦叱曀亠w行器控制研究.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61333008和61273153).

2015-08-20