用對稱美巧解數(shù)學(xué)問題

文/靳桂霞

用對稱美巧解數(shù)學(xué)問題

文/靳桂霞

大自然中具備對稱美的事物有許許多多，如楓葉、蝴蝶的翅膀等等，對稱本身就是一種和諧、一種美。對稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也非常廣泛，如：大家都非常熟悉的軸對稱圖形、中心對稱圖形等等，其實(shí)在各知識(shí)領(lǐng)域中，均可發(fā)現(xiàn)對稱原理的應(yīng)用。如何讓學(xué)生掌握對稱這一基本原理去解決一些實(shí)際問題，找到事物之間的內(nèi)在統(tǒng)一性，用數(shù)學(xué)的思想去內(nèi)化這一既簡單又蘊(yùn)涵深刻哲理的原理，這需要教育者深層次地了解問題的本質(zhì)特征。

從回文數(shù)中得到啟發(fā)，巧解等差數(shù)

回文數(shù)有許多，如：2002年就是一個(gè)回文數(shù)。整數(shù)乘法中最有趣的一個(gè)回文數(shù)就是：1×1=1，11×11=121。對回文數(shù)這一特殊現(xiàn)象，學(xué)生大多會(huì)產(chǎn)生濃厚的興趣。運(yùn)用這種對稱的思想去解答一些難題時(shí)，就會(huì)事半功倍。在小學(xué)對于基礎(chǔ)比較好的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和時(shí)，大都用公式（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2來教學(xué)，可對于小學(xué)生來說，理解和掌握這個(gè)問題有一定困難。運(yùn)用回文數(shù)的思想巧解等差數(shù)類型題的巧妙之處，在于將抽象的一組等差數(shù)列求和，轉(zhuǎn)化為形象生動(dòng)的形似回文數(shù)一般的對稱求和方法，這和物理學(xué)中所說的正物質(zhì)和反物質(zhì)有異曲同工之妙。其實(shí)等差數(shù)列求和都可以用這種思路解答，運(yùn)用對稱的思維來理解等差數(shù)列比單純講求和公式要形象、生動(dòng)得多。

從軸對稱圖形中發(fā)現(xiàn)對稱原理的巧用

根據(jù)軸對稱圖形的一半和對稱軸可以精確地畫出軸對稱圖形的另一半圖形，這是在教學(xué)了軸對稱圖形后常見的習(xí)題。在數(shù)學(xué)中，軸對稱圖形同時(shí)也為人們研究數(shù)學(xué)提供了某些啟示，例如在博弈問題中也常運(yùn)用這一原理。如：桌面上有21個(gè)棋子，排成一排，你一次可以任意拿取一到三個(gè)棋子，但拿一粒以上棋子時(shí)必須是相鄰的即中間沒有空隔或其他棋子，問：“兩人輪流拿誰拿到最后一粒誰贏？你如果先拿能保證贏嗎？”這題看上去挺復(fù)雜，按排列組合眾多拿法要想一一分析清楚太費(fèi)力，其實(shí)運(yùn)用對稱原理就非常簡單，先拿的人只要先拿走中間一粒，左、右兩邊各剩十粒，這樣對方拿左邊的棋子，你就拿右邊的棋子，并且個(gè)數(shù)和位置和他對稱，如此一來，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必勝。如果棋子是20粒（偶數(shù)個(gè)），你就先拿中間的兩粒，讓左右兩邊各剩9粒棋子，這樣你就必勝。

運(yùn)用對稱原理巧算方程

大家都知道算術(shù)思維是逆向思維，而方程思維是順向思維。用方程的思維可以解答一些算術(shù)方法較難解決的問題。小學(xué)生對算術(shù)的解法根深蒂固，可對方程的解法卻始終有排斥的心理。究其原因，是學(xué)生對方程缺乏深層的理解，沒有認(rèn)識(shí)到方程本身就是運(yùn)用對稱的原理，不論正反比例關(guān)鍵是要找到不變的量，方程的左邊和右邊就像軸對稱圖形的左右兩邊，雖然模樣不完全一樣，但是結(jié)果大小一樣。左邊和右邊找到了不變的量也就會(huì)列方程了。同樣的，在解方程中如果運(yùn)用對稱的原理，就使得問題簡單得多?！皩ΨQ”在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是普遍的：軸對稱、中心對稱、對稱多項(xiàng)式等。奇偶性也可以視為對稱，從運(yùn)算關(guān)系角度看，互逆運(yùn)算也可視為對稱關(guān)系。

作為教師不僅要傳授學(xué)生知識(shí)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中滲透數(shù)學(xué)的美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，從而進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，努力探索世界的真、善、美，就像一位物理學(xué)家所說的那樣：如果一個(gè)理論它是美的，那它一定是個(gè)真理。

(作者單位：北京市順義區(qū)龍灣屯中心小學(xué)）