圖形變換的性質及其教育價值

☉江西師范大學數學與信息科學學院　況琳琳　劉錫光

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圖形變換的性質及其教育價值

☉江西師范大學數學與信息科學學院況琳琳劉錫光

一、引言

義務教育課程改革對幾何課程體系作了較大調整，平面幾何內容加大，其中“圖形的變化”單獨列出，并作為“圖形與幾何”的一個重要組成部分呈現.此外，圖形變換（平移、對稱、旋轉）中的對稱變換與旋轉變換更是獨立成章，并且，幾何內容的編排更是有意突出讓學生以圖形變換的思想去探索三角形、平行四邊形、圓等圖形的性質.由此，滲透圖形變化思想，體現動態(tài)幾何教育價值成為初中平面幾何教學的一項重要任務.

二、概念與性質

為反映圖形變換內容在實驗幾何向演繹幾何過渡中的特殊作用，教科書對平移、對稱及旋轉概念的介紹更強調其幾何直觀性，從直觀圖形抽象出相關性質.

1.平移變換

圖1

如圖1所示，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩點是對應點.連接各組對應點的線段（或在同一條直線上）平行且相等.圖形的這種移動，叫做平移.

2.軸對稱變換

圖2

如圖2所示，把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.

由此可知，如果兩個圖形關于直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

3.旋轉變換

圖3

如圖3所示，把一個平面圖形繞著平面內任意一點O轉動一個角度，叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.如果圖形上的點P經過旋轉變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點.

由此可知，對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

圖4

如圖4所示，把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心（簡稱中心）.這兩個圖形在旋轉后能夠重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.

由此可知，中心對稱的圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

從教材的編排特點來看，在學習了平行線等相關性質之后再學習平移變換，這樣的安排不僅使得學生能從平行線的角度去認識平移變換，探索平移變換的性質，更能反過來加深對平行線相關性質的認識.軸對稱變換中，把等腰三角形的學習安排在軸對稱變化之后，讓學生以變換的思想去探索和認識等腰三角形.同樣地，旋轉變換更是與圓的相關知識的學習安排在一起，讓學生以平移、軸對稱、旋轉變換的思想去探究圓的相關性質.由于，在初中階段不便于給出幾何變換的形式化定義，故教材的編排只是讓學生從生活中熟悉的例子作為探究起點，探究幾何變換的性質，體會平移變換的思想，了解變中的不變.

三、教育價值

從初中幾何圖形變換的概念及性質的特殊處理考量，其至少具有以下幾方面的教育意義.

1.能多角度認識幾何圖形

從圖形變換的角度認識平面幾何中的基本圖形，有利于學生從不同方向掌握基本圖形的結構特點和性質.此外，能培養(yǎng)學生從運動變換的觀點去考慮問題，可以為學生多樣化的思維提供較大的空間.

例如，“對平行四邊形中的AB=CD且AB∥CD”可以從以下角度來認識：

（1）從數量關系和位置關系的角度引導學生認識圖形.

（2）從平移的角度加以分析，如圖5，將線段AB沿AD方向平移AD長度即得到線段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

圖5

圖6

（3）從中心對稱的角度來分析，如圖6，將線段AB繞點O旋轉180°得到線段DC，因此AB=CD且AB∥CD.

2.有利于探索發(fā)現幾何圖形的性質

在平面幾何的教學過程中，可讓學生從探索幾何基本圖形有關變換的基本性質入手，形成對變換的初步理性認識，再把變換基本性質作為更深入認識其他圖形的一個方法.這樣，學生在探索圖形更多的性質的過程中，不僅能使學生進一步加深對變換本身的理解，也能使學生進一步探索發(fā)現基本圖形更多的性質.

例如，圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，并且是很特殊的軸對稱圖形和中心對稱圖形.由于這種特殊的對稱性，教學中就可以讓學生從軸對稱變換的角度或者是旋轉變換的角度去認識圓，由此可以很容易得到圓的各種性質.并且采用這種方法講解圓，不僅直觀、簡便，而且學生還能夠把它遷移到與圓有關的其他圖形中去.比如，利用軸對稱的基本性質探索三角形、四邊形、等腰梯形等其他圖形的某些性質.

3.有利于培養(yǎng)學生的合情推理能力

由于幾何圖形具有直觀、形象的特點，當學生通過動手操作實驗，從直觀感知的基礎上認識軸對稱、平移、旋轉等變換后，再借助直觀的圖形變換探索出圖形的幾何性質，使靜止的圖形在頭腦中動起來，這樣能更好地培養(yǎng)學生的合情推理能力.特別地，在發(fā)展學生圖形直覺、觀察、操作、探索、合情推理能力等方面具有“過程性”的教育意義.

例如，在學習等腰三角形的性質時，可讓學生利用剪的等腰三角形的模具，將它兩腰折疊重合，折痕兩旁的圖形重合，讓學生通過觀察、探究，發(fā)現等腰三角形是一個軸對稱圖形，在此基礎上，讓學生很容易作出等腰三角形的底角相等，對頂角平分線和底邊上的高、中線互相重合等性質合情推理.這樣不僅容易得到結論，而且使學生認識更加深刻，并且它的折痕對性質的證明有啟發(fā)作用.

4.有利于培養(yǎng)學生思維的良好品質

初中幾何圖形變換是研究平面圖形在運動、變化過程中的不變性和不變量中最為特殊的基本情形，而一般幾何變換則是從運動、變化的觀點來研究幾何圖形及其性質，利用幾何變換來解決平面問題往往會顯得更加直觀、更加形象，如果再結合一般演繹幾何的處理方法，則可以更好地培養(yǎng)學生思維的靈活性和敏捷性.

例如，如圖7所示，P為平行四邊形ABCD內一點，求證以AP、BP、CP、DP為邊可以構成一個四邊形，且所構成的四邊形的對角線長恰好分別等于線段AB和BC.

此問題的解證只需將AP沿著線段AB方向平移AB長，得到線段BQ，連接Q、C，則有BQ=AP，DP=QC，即可得證.

圖7

四、結束語

綜上可見，圖形變換在初中幾何教學具有多方面的教育價值，教學實踐中，要求我們能正確處理教材中對圖形變換的定義及性質，理解圖形變換體現的新課程理念，把握好操作、演示、實驗幾何在初中幾何教學中的重要作用，真正發(fā)揮變換幾何在演繹幾何教學中的感知經驗的基礎性作用.但是，從當下的教學實踐現狀來看，據我們了解，并不是所有的教師都能自覺地踐行這種新變化.比如，有的教師認為它忽視了數學的邏輯體系，削弱了基礎知識和基本技能；還有的教師不按教材的編寫，隨機地更改內容的前后順序，仍按傳統(tǒng)的處理方式來進行教學；還有的教師認為“變換固然可以促進對圖形的認識，但課標中沒有將變換的有關結論作為基本的幾何事實（公理），而且課標的最終目的是要求學生能基于課標所羅列的那些公理進行嚴格的幾何證明，這樣，不管借助變換探索圖形性質多么方便，最終仍然要落實到嚴格證明，而以變換為依據的證明是不嚴格的、‘不合法的’（至少現行課標沒有明確其合法性），各種學業(yè)考試中，借助變換進行證明是較難得到認可的”.［1］所以，本文論及的問題旨在讓一線教師們更好地把握圖形變換在初中幾何教育中的價值.

參考文獻：

1.趙生初，許正川，盧秀敏.圖形變換與中國初中幾何課程的自然融合［J］.數學教育學報，2012（4）.