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    探究一道中考選擇題的解法

    2016-04-13 08:28:35浙江省浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年4期
    關(guān)鍵詞:浦江縣直角三角形四邊形

    ☉浙江省浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 方 芳

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    探究一道中考選擇題的解法

    ☉浙江省浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)方芳

    題目(2014年湖北武漢)如圖1,PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,交PA、PB 于C、D兩點(diǎn).若⊙O的半徑為r,△PCD的周長(zhǎng)等于3r,則tan∠APB的值是().

    圖1

    分析:此題以圓的一個(gè)基本圖形為背景設(shè)置,內(nèi)涵十分豐富:PA=PB;連接OA、OB,則∠OAP=∠OBP=90°;連接OP,則OP平分∠APB;連接AB,則OP垂直平分AB……

    又CD切⊙O于點(diǎn)E,所以CA=CE,DB=DE.

    一、直接法

    圖2

    二、轉(zhuǎn)化法

    注意到∠APB=2∠APO,可利用Rt△PAO斜邊上的中線構(gòu)造一個(gè)與∠APB相等的角,求出這個(gè)角的正切值即可.

    圖3

    三、割補(bǔ)法

    連接OA、OB得到一個(gè)一組對(duì)角為直角的四邊形,不妨把這種四邊形稱為“雙垂四邊形”,它是一種特殊的四邊形,在已知和未知難以直接產(chǎn)生關(guān)系時(shí),通常采取用“割”與“補(bǔ)”的方法來(lái)添加輔助線,將其轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來(lái)求解.

    1.補(bǔ)成直角三角形+相似三角形

    解法3:如圖4,延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則△PBF為直角三角形.

    圖4

    因?yàn)锽F=BO+FO,

    2.補(bǔ)成矩形+相似三角形

    所以故選B.

    3.割成矩形+相似三角形

    圖5

    圖6

    四、倍角法

    圖7

    注意到∠APB=2∠APO,而∠APO是Rt△APO的一個(gè)銳角,用高中倍角公式可直接求解,方法十分簡(jiǎn)潔.

    解法6:如圖7,連接PO,則∠APB=2∠APO.

    從這道中考選擇題的初中解法看,盡管所添的輔助線不同,但都體現(xiàn)了一種共同的思想──轉(zhuǎn)化思想,幾種解法都用到了一些基本圖形性質(zhì),如直角三角形、等腰三角形、矩形,以及全等三角形、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí).帶給我們的教學(xué)啟示是:即使是比較復(fù)雜的問(wèn)題,所用到的知識(shí)也是基礎(chǔ)知識(shí)的組合和數(shù)學(xué)思想方法的凸現(xiàn),這就要求教師在日常教學(xué)中,尤其在中考復(fù)習(xí)階段,不僅要精挑典型問(wèn)題、教給學(xué)生解題方法,而且還應(yīng)與學(xué)生共同探究有哪些解法,讓學(xué)生說(shuō)出“為什么這樣想”,“用到哪些知識(shí)”,“哪種解法更自然”,“哪種方法更簡(jiǎn)潔”,“同樣的方法能用來(lái)處理更一般性的問(wèn)題嗎”,“這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想”,潛移默化地增強(qiáng)學(xué)生解題的信心、提升解題能力.在課堂教學(xué)中,教師不能只當(dāng)“二傳手”的角色,而要用心去思考、去變化,用智慧去整合、去創(chuàng)新,唯有如此,學(xué)生才能受益無(wú)窮.

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