一道常規(guī)題慣性思維錯(cuò)解分析

李興達(dá)

（余姚中學(xué)，浙江 寧波 315400）

1 問題解析

圖1

如圖1所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在模板B上，模板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動(dòng)，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m.現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起（不計(jì)小球與環(huán)的摩擦阻力），瞬時(shí)速度必須滿足

解析：已知小球能完整地在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，故最高點(diǎn)臨界值為當(dāng)小球與圓環(huán)彈力為0時(shí)，此時(shí)向心力完全由重力提供，所以最高點(diǎn)的最小臨界速度為，然后通過小球的機(jī)械能守恒可以得到最低點(diǎn)最小速度為又已知圓環(huán)不會(huì)在豎直方向上跳起，所以最高點(diǎn)時(shí)小球向心力的最大值為3mg，此時(shí)最高點(diǎn)臨界最大速度為，通過機(jī)械能守恒可以得到最低點(diǎn)時(shí)的最大速度為，所以此題答案為選項(xiàng)（C）、（D）.

圖2

以上是參考答案所給的解釋，看似合情合理，通過討論豎直平面內(nèi)最高點(diǎn)臨界值來解決提出的問題，而最高點(diǎn)的臨界值問題也是豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的重難點(diǎn)，所以在高考知識(shí)范疇內(nèi)考慮該問題時(shí)，比較自然地就會(huì)依據(jù)參考答案的方式進(jìn)行解答.現(xiàn)在我們通過簡單的假設(shè)來對(duì)原參考答案進(jìn)行質(zhì)疑.如圖2所示，當(dāng)小球偏離最高點(diǎn)θ角度時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒，可以得到此時(shí)小球速度一定大于最高點(diǎn)時(shí)的速度，所以此時(shí)所需要的向心力大于最高點(diǎn)時(shí)的向心力.因?yàn)樵谠擖c(diǎn)小球的重力只有指向圓心的分力提供向心力，所以此時(shí)環(huán)對(duì)小球的支持力肯定大于最高點(diǎn)時(shí)環(huán)對(duì)小球的支持力.根據(jù)牛頓第三定律，小球此時(shí)對(duì)環(huán)的作用力大于最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)Νh(huán)的作用，那么如何保證此時(shí)小球?qū)Νh(huán)的作用力的豎直方向分力一定小于最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)Νh(huán)的作用力呢？

2 答案修正

由于我們想要求得最低點(diǎn)時(shí)的最大速度，即最大動(dòng)能，故我們直接令最低點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為E，然后用該動(dòng)能表示上半圓環(huán)所受支持力，并對(duì)其進(jìn)行極值求解.

如圖3所示，根據(jù)機(jī)械能守恒，可以得到所求點(diǎn)的動(dòng)能

圖3

此時(shí)，若最低點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為E條件下，其上半環(huán)支持力豎直方向分力最大值可以大于2mg，則系統(tǒng)會(huì)離開地面.

3 錯(cuò)誤分析

本題錯(cuò)解的產(chǎn)生主要是由于以前的慣性思維引起的，并且在長期的教學(xué)過程中也常常灌輸給學(xué)生，當(dāng)遇到豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，主要考慮最高與最低點(diǎn)，使得在學(xué)生的思維中定下了一個(gè)框架，容易對(duì)一些特殊的題型產(chǎn)生誤解.我們不能全盤否定慣性思維，因?yàn)閼T性思維也可以看成是一種解題習(xí)慣或者解題思路，但是在教授學(xué)生時(shí)還是應(yīng)該更加準(zhǔn)確地教授各種方法，并對(duì)一些方法的局限性進(jìn)行比較詳細(xì)的解釋，否則就容易出現(xiàn)上題這種錯(cuò)誤的思路.

4 競(jìng)賽鏈接

此類問題在競(jìng)賽中也較常出現(xiàn).

例題.質(zhì)量為M的圓環(huán)用細(xì)線（質(zhì)量不計(jì)）懸掛著，將兩個(gè)質(zhì)量均為m的有孔小珠套在此環(huán)上且可以在環(huán)上做無摩擦的滑動(dòng)，如圖4所示，今同時(shí)將兩個(gè)小珠從環(huán)的頂部釋放，并沿相反方向自由滑下，試求：

（1）在圓環(huán)不動(dòng)的條件下，懸線中的張力T隨cosθ（θ為小珠和大環(huán)圓心連線與豎直方向的夾角）變化的函數(shù)關(guān)系，并求出張力T的極小值及相應(yīng)的cosθ值；

圖4

解析：（1）設(shè)小珠和大環(huán)圓心連線與豎直方向的夾角為θ時(shí)小珠的速度大小為v.根據(jù)機(jī)械能守恒定律得

設(shè)圓環(huán)對(duì)小珠的彈力大小為N，由牛頓第二定律得

對(duì)于圓環(huán)，合力為0，則有

聯(lián)立以上3式得

根據(jù)拋物線方程知，當(dāng)

時(shí)，T有極小值，極小值為

結(jié)論：（1）在圓環(huán)不動(dòng)的條件下，懸線中的張力T隨cosθ變化的函數(shù)關(guān)系是