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    計數(shù)原理“門診部”

    2016-04-12 06:29:37余永波
    數(shù)理化解題研究 2016年34期
    關鍵詞:排法門診部乘法

    余永波●

    云南省綏江縣第一中學(657700)

    計數(shù)原理“門診部”

    余永波●

    云南省綏江縣第一中學(657700)

    數(shù)學老師開辦了一個“病”題診所,專門收治學習中的患病題,下面就分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理中的常見疾病開出如下處方單,望同學們小心預防.

    癥狀一、混淆概念

    例1 一個包內(nèi)有7本不同的小說書,另一個包內(nèi)有5本不同的小說書,從這兩個包內(nèi)任取一本書的取法有( ).

    A.7 種 B.5種 C.12種 D.35種

    錯解 共有7×5=35種不同取法,故選D.

    分析:病因在于審題時,誤認為所求的是從兩個包內(nèi)各取一本書的不同取法,從而錯誤選用分步乘法計數(shù)原理進行求解.

    正解 事件是從兩個包內(nèi)任取一本書,完成這件事有兩類辦法,第一類有7種不同取法,第二類有5種不同取法,則共有7+5=12種不同取法,故選C.

    例2 學校閱覽室有多種不同的《考試指南報》若干張,其中必修1的5張,必修3的8張,必修5的10張,李老師想每個模塊借閱1張報紙,則有____種不同借閱方法.

    錯解 共有5+8+10=23種不同借閱方法.

    分析 病因在于審題時,誤認為所求的是李老師想借閱1張報紙的不同方法,從而錯誤選用分類加法計數(shù)原理進行求解.

    正解 事件是借閱3張報紙,且每個模塊各借1張,完成這件事需要分3步,每一步的方法種數(shù)分別是5,8,10,故共有5×8×10=400種不同借閱方法.

    注:若完成一件事情是有幾類不同的方法,且每一種方法都能獨立的完成這件事情,則用分類加法計數(shù)原理;若完成一件事情需要分成幾個步驟,且每一個步驟都依次完成才能完成這件事情,則用分步乘法計數(shù)原理.

    癥狀二、標準不一,分類重復

    例3 某學校高三理科實驗班周二上午安排語文、數(shù)學、英語、物理四門不同的學科,考慮到多種因素,第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理,那么一共有多少種不同的排法?

    錯解 由于第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理,所以需要分類處理.(1)第一類:數(shù)學排第一節(jié),分三步完成,先排第二節(jié),從語文、英語、物理中任選1科有3種不同方法,再排第三節(jié),從剩余的兩科中任選1科有兩種不同方法,第四節(jié)只能排剩下的1科有1種方法,所以第一類共有3×2×1=6種不同排法;(2)第二類:物理排第四節(jié),同理有3×2×1=6種不同排法.故根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有6+6=12種不同的排法.

    分析 病因在于當數(shù)學排第一節(jié)時,可能物理排在第四節(jié),此時有2種不同方法,同樣當物理排第四節(jié)時,可能數(shù)學排在第一節(jié),此時也有2種不同方法,但是它們是相同的.所以本題的解法中沒有注意到這樣分類出現(xiàn)的重復排法,故應減去2種方法.

    正解 方法1 由診斷可知共有6+6-2=10種不同的排法.

    方法2 由于第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理,所以需要分類處理.(1)第一類:數(shù)學排第一節(jié)、物理排第四節(jié),分兩步完成,先排第二節(jié),從語文、英語中任選1科有2種不同方法,第三節(jié)只能排剩下的1科有1種方法,所以第一類共有2×1=2種不同排法;(2)第二類:數(shù)學排第一節(jié)、物理不排第四節(jié),分三步完成,先排第四節(jié),從語文、英語中任選1科有2種不同方法,再排第二節(jié),從剩下的2科中任選1科有2種不同方法,第三節(jié)只能排剩下的1科有1種方法,所以第二類共有2×2×1=4種不同排法;(3)第三類:數(shù)學不排第一節(jié)、物理排第四節(jié),同(2)類似,共有2×2×1=4種不同排法.故根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2+4+4=10種不同的排法.

    注:使用分類加法計數(shù)原理解題時,要注意檢驗分類標準,要做到分類正確,且不重不漏,即每一類的交集是空集,所有類的并集是全集.

    癥狀三、選錯元素,混淆分步

    例4 4名同學報名參加數(shù)學、物理、化學學科競賽,若要求每科競賽必須有1人且只能有1人參加,問有多少種不同的報名方法?

    錯解 第1名同學可以從數(shù)學、物理、化學中任選1科報名,共有3種不同的方法.同理第2、第3、第4名同學的報名方法各有3種不同的方法,所以由分步乘法計數(shù)原理共有3×3×3×3=34種不同的報名方法.

    分析 病因在于對于完成報名這件事選錯了元素,分步錯誤,因為假如4名同學都選數(shù)學學科報名,4步都做完,但是不滿足條件每科競賽必須有1人參加.

    正解 完成事件“數(shù)學、物理、化學競賽必須有一人且只能有1人參加”,故元素“學科”必須用完,元素“同學”可以重復,則應以元素“學科”為主分步完成,數(shù)學、物理、化學分別有4種選擇,由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×4=43種不同的報名方法.

    注:對于一類元素可以重復選取的計數(shù)問題,需認真理解題意,弄清事件,弄清哪類元素必須用完,弄清哪類元素可以重復使用,就以必須用完的元素為主進行分步完成事件,再用分步乘法計數(shù)原理來求解.

    G632

    B

    1008-0333(2016)34-0013-01

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