趣說方程、不等式的“解”——成也由“解”，敗也由“解”

程　軍

趣說方程、不等式的“解”——成也由“解”，敗也由“解”

程軍

方程、不等式是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，而“解”，無論對方程還是不等式，都是同學(xué)們重點(diǎn)關(guān)注的考試內(nèi)容，也是命題專家最喜歡出的素材.能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解，一元二次（或二次以上）方程的解也叫方程的根.能使不等式成立的未知數(shù)值組成的集合稱為不等式的解集，各個(gè)不等式解集的公共部分就是不等式組的解集.這些關(guān)于“解”的概念，同學(xué)們耳熟能詳，在實(shí)際問題中，請看下面同學(xué)的解題過程，望大家從中受到啟迪.

1.對不等式組“有解”“無解”的理解——出偏差

A.-1≤m＜0B.-1＜m＜0

C.-1≤m≤0D.m＜0

【錯(cuò)解分析】此題關(guān)鍵是理解恰有兩個(gè)整數(shù)解，能求出符合意義的關(guān)于m的不等式組，顯然這兩個(gè)整數(shù)是0和-1，即-2≤m-1＜-1.解這個(gè)不等式即可.

∴-1≤m＜0，故選A.

A.a≥-1B.a<-1

C.a≤1D.a≤-1

【錯(cuò)解】由①得x≥-a，由②得x＜1，由于此不等式組無解，∴-a>1，a<-1，選B.

【錯(cuò)解分析】不等式組無解是①和②兩個(gè)不等式?jīng)]有公共部分，由于第一個(gè)不等式的解集含等號，第二個(gè)不等式的解集不含等號，故公共部分也不含等號，所以當(dāng)-a與1重合時(shí)（即-a=1），作為不等式組的解集沒有公共部分，應(yīng)符合題意！請同學(xué)們特別要當(dāng)心漏解.事實(shí)上，同學(xué)們只要把a(bǔ)=-1代入檢驗(yàn)即可判斷對錯(cuò).

【正解】由①得x≥-a，由②得x＜1，由于此不等式組無解，∴-a≥1，a≤-1，故選D.

2.對分式方程有解、無解、增根的理解——似懂非懂

【錯(cuò)解】去分母，ax+1=-（x-2），

【錯(cuò)解分析】分式方程有解為正數(shù)，包含兩層意思：①有解；②有正數(shù)解.若分式方程有增根，顯然這個(gè)增根就不能是解了.這里的整式方程ax+x=1，當(dāng)時(shí)，x=2，此時(shí)x=2是增根，不合題意.

【正解】去分母，ax+1=-（x-2），整理得，ax+x=1（☆），∵方程的解為正數(shù)，∴得a>-1.特別的，方程可能有增根x=2，把x=2代入（☆），，故取值范圍是a>-1且a≠

【錯(cuò)解】去分母，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得，（a+2）x=3，∵原方程無解，∴原方程有增根x=1或x=0，分別將x=1和0代入（a+2）x=3，

當(dāng)x=1時(shí)，a=1；當(dāng)x=0時(shí)，顯然不成立.綜上，當(dāng)a=1時(shí)，分式方程無解.

【錯(cuò)解分析】分式方程無解的含義有二：第一，去分母化成的整式方程無解，導(dǎo)致原分式方程無解；第二，去分母化成的整式方程有解，但這個(gè)解是原分式方程的增根（使分母為0），這里沒考慮第一種情況.

【正解】去分母，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），整理得，（a+2）x=3，∵原方程無解，∴（1）若（a+ 2）x=3無解，則a=-2；（2）原分式方程有可能的增根為x=1或x=0，將x=1和0分別代入（a+ 2）x=3，當(dāng)x=1時(shí)，a=1，當(dāng)x=0時(shí)，顯然不成立.當(dāng)a=1時(shí)，有增根x=1，分式方程也無解.綜上，a=-2，a=1.

3.對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）的理解——一葉障目

（1）根的判別式的使用條件——視而不見

例5（2015·成都）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.

A.k≥-1B.k＞-1

C.k≠0D.k＞-1且k≠0

【錯(cuò)解】由方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則Δ>0，∴k>-1，選B.

【錯(cuò)解分析】關(guān)于一元二次方程，特別是當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是字母時(shí)，首要考慮k≠0，然后考慮Δ>0，即解題思考順序?yàn)椋海?）二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，（2）考慮Δ>0或Δ≥0.

【正解】當(dāng)k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不等根，

則Δ=22-4×（-1）k>0，k>-1，

∴k>-1且k≠0，故選D.

（2）對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用——順序倒置

例6（2014·煙臺）關(guān)于x的方程x2-ax+ 2a=0的兩根的平方和是5，則a的值是（）.

A.-1或5B.1

C.5D.-1

【錯(cuò)解】設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2= a，x1·x2=2a，

【錯(cuò)解分析】目前初中階段，韋達(dá)定理使用應(yīng)有前提，即Δ>0，然后考慮使用兩根和與兩根積，使用韋達(dá)定理順序應(yīng)為：（1）Δ> 0；（2）

【正解】設(shè)方程的兩根為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=a，x1·x2=2a，5，∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，∴a2-4a-5=0，∴a1=5，a2=-1，∵Δ=a2-8a≥0，∴a=-1.故選D.

小試身手

1.（2015·南通）關(guān)于x的不等式x-b＞0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（）.

A.-3＜b＜-2B.-3＜b≤-2

C.-3≤b≤-2D.-3≤b＜-2

2.（2015·攀枝花）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m+1）x+m-2=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）.

3.（2015·涼山）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）.

A.m≤3

B.m<3

C.m<3且m≠2

D.m≤3且m≠2

參考答案

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學(xué)）