高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)再思考

江蘇省石莊高級中學(xué) 朱玉群

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)再思考

江蘇省石莊高級中學(xué) 朱玉群

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)，基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)去研究概念教學(xué)是本研究的生命力所在。從概念建立的必要性出發(fā)，思考如何抓住概念本質(zhì)，并進(jìn)行有效的概念應(yīng)用，是概念有效教學(xué)的三個(gè)基本環(huán)節(jié)。

高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；思考

高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)仿佛是一塊結(jié)實(shí)的骨頭，總是有營養(yǎng)，卻也總難嚼得爛。可以說有了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，就有了對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，縱觀數(shù)十年來的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究，會發(fā)現(xiàn)其中既有相通的地方，也有相異的地方。而結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，研究學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)如何有效地支撐數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，則是數(shù)學(xué)概念研究的源頭活水。從這個(gè)角度講，不管到任何時(shí)候，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究，一定都會具有生命力?；谶@樣的認(rèn)識，結(jié)合近年來高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些經(jīng)驗(yàn)，筆者試再就概念教學(xué)做出一些理解。

一、注重概念建立的必要性

筆者注意到，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常注重邏輯性的，只有在邏輯上滿足了一種自洽，學(xué)生才會感覺到一個(gè)數(shù)學(xué)概念有其存在的意義，而其后的學(xué)習(xí)過程才會少一些有形或無形的心理障礙。一旦學(xué)生認(rèn)識不到數(shù)學(xué)概念的意義，有時(shí)對他們的影響幾乎會伴隨整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。因此，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念建立的必要性，本身就存在著非常必要的地方。

比如說“橢圓”概念的教學(xué)，橢圓在學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中的地位比較有趣：一方面現(xiàn)實(shí)生活中存在的橢圓并不多，另一方面學(xué)生認(rèn)為不正圓的圓都叫做橢圓，如讓學(xué)生舉例的時(shí)候，學(xué)生經(jīng)常會想到鴨蛋的形狀等。那么，是不是因?yàn)樯钪写嬖诘囊恍┓钦龍A的情形，所以才需要學(xué)習(xí)橢圓呢？答案顯然不是這樣的簡單。因此，對于橢圓概念建立的必要性需要花一點(diǎn)功夫。筆者的做法說出來倒也不新奇，就是從讓學(xué)生回憶如何作圓開始，學(xué)生能夠很迅速地回答出：到一個(gè)點(diǎn)的距離為定值的所有點(diǎn)的集合為圓，然后進(jìn)一步提供給學(xué)生一個(gè)釘子和一根沒有彈性的細(xì)線，問他們?nèi)绾巫鞒鲆粋€(gè)圓。這個(gè)幾乎是小兒科的要求，自然難不倒學(xué)生，這個(gè)時(shí)候可以讓學(xué)生到黑板上演示一下，以形成具體的作圓表象。在此基礎(chǔ)上提出新的問題：如果將一根細(xì)線的兩端系于兩個(gè)釘子之上，并使其間的距離小于細(xì)線的長度，則在用粉筆繃緊了細(xì)線之后，粉筆運(yùn)動的軌跡會是一個(gè)什么圖形呢？

這個(gè)問題是學(xué)生此前幾乎沒有想過的，而這樣的問題又可以促使學(xué)生先在大腦中構(gòu)思相應(yīng)的圖形，待到橢圓的形狀出現(xiàn)之后，再回過頭來讓學(xué)生思考：生活中真正滿足這一要求的圖形一般出現(xiàn)在哪里？這個(gè)時(shí)候?qū)W生思維中就不再是模糊的橢圓認(rèn)識，而是具有數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識了。他們不會輕易認(rèn)為鴨蛋的外形就是橢圓，同時(shí)又會詢問哪里會有真正的橢圓。這個(gè)時(shí)候教師提供行星、衛(wèi)星軌道計(jì)算的例子，提供天文學(xué)家對天體觀察后記錄的數(shù)據(jù)并計(jì)算出了行星軌道的例子，這樣學(xué)生心中就會生成自然界竟然還有這樣的規(guī)律的認(rèn)識，從而激發(fā)橢圓概念學(xué)習(xí)的動機(jī)。

二、基于認(rèn)知基礎(chǔ)理解本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是要追求本質(zhì)理解的，也就是說概念學(xué)習(xí)不僅僅是概念定義的記憶，而應(yīng)當(dāng)是在豐富感性經(jīng)驗(yàn)支撐的基礎(chǔ)上去理解概念。這個(gè)過程，一定是學(xué)生基于原有認(rèn)知基礎(chǔ)去構(gòu)建概念理解的過程。

簡單如上面的橢圓概念：“平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動點(diǎn)P的軌跡”所能夠構(gòu)建出來的是一個(gè)想象表象，而讓學(xué)生動手做一下則是基于體驗(yàn)構(gòu)建出來的真實(shí)表象，其效果是不一樣的。

而對于一些更為抽象的數(shù)學(xué)概念，則需要教師做出更多的引導(dǎo)。如函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)，很多時(shí)候教師都在強(qiáng)調(diào)當(dāng)自變量x進(jìn)行“對稱取值”時(shí)，如果得到相同的函數(shù)值，那么這個(gè)函數(shù)就是偶函數(shù)，如果得到的函數(shù)值互為相反數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)就是奇函數(shù)。這樣的理解是直接基于定義的，對于部分學(xué)生來說沒有問題，可以讓他們理解函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)，但對于另一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，思維能力較弱的學(xué)生來說就存在著困難。這個(gè)時(shí)候如果能夠更好地調(diào)動這部分學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，則可以讓他們更好地理解概念本質(zhì)。

筆者的做法是比較，讓學(xué)生回憶絕對值，這是這部分學(xué)生比較熟悉的一個(gè)知識點(diǎn)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)絕對值可以將互為相反數(shù)的數(shù)變成同一個(gè)值，而這樣的特征與偶函數(shù)恰恰具有相似之處，于是學(xué)生能夠在形似的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)神似，從而實(shí)現(xiàn)從絕對值特征向偶函數(shù)特征的思維遷移。這只不過是在函數(shù)單調(diào)性教學(xué)中打個(gè)比方，但對于一部分學(xué)生來說卻是發(fā)現(xiàn)了偶函數(shù)的特征，從而促進(jìn)了他們對函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)的理解，筆者以為這樣的教學(xué)是有效的。

從這個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的本質(zhì)理解，并不在于過多的花招，而在于發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解概念本質(zhì)時(shí)所遇到的困難，并從他們的認(rèn)知基礎(chǔ)中尋找到他們熟悉的知識點(diǎn)來促進(jìn)這種數(shù)學(xué)特征的遷移。也就是說，只有基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的概念理解，才能促進(jìn)學(xué)生把握概念本質(zhì)。

三、概念應(yīng)用的有效性關(guān)注

利用概念的應(yīng)用去促進(jìn)學(xué)生對概念的理解，也是概念教學(xué)中常用的手段。只是這個(gè)概念的應(yīng)用卻大有研究空間，因?yàn)楦拍顟?yīng)用本身就有有效與無效的可能，如果概念應(yīng)用本身就是無效的，那么自然就無法促進(jìn)學(xué)生的概念理解了。這一現(xiàn)象最基本的體現(xiàn)就是：讓學(xué)生直接根據(jù)概念的定義去對某些事例進(jìn)行判斷，符合定義的則判定為對，不符合的則判定為錯。這種基于概念定義的描述而做出的判斷，其實(shí)構(gòu)建的是學(xué)生的一種抽象理解，對促進(jìn)概念理解來說其實(shí)作用不大，其最終能夠起作用，實(shí)際上是重復(fù)的結(jié)果，并不意味著學(xué)生真正懂了這個(gè)概念。關(guān)于這一點(diǎn)，不舉例贅述了。

真正有效的概念應(yīng)用應(yīng)當(dāng)是遵循“變式”原則的，變式是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想，是通過變換概念的非本質(zhì)特征而凸顯概念的本質(zhì)特征。關(guān)于變式教學(xué)在概念中的應(yīng)用，研究者很多，暫不舉例說明。而概念應(yīng)用還可以考慮情境原則，即給學(xué)生一個(gè)新的情境去運(yùn)用概念，比如當(dāng)我們提出如何證實(shí)鴨蛋的外形是或不是橢圓時(shí)，有學(xué)生就提出去尋找其焦點(diǎn)，然后看是否符合橢圓的定義。這樣的情境遷移有助于學(xué)生理解橢圓概念時(shí)有一個(gè)完整的形象思維過程，因而學(xué)生對概念的理解一般會比較完整。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中概念教學(xué)的有效性，需要從概念建立的緣起，需要從概念本質(zhì)與概念應(yīng)用等角度入手，從而建立起一個(gè)相對完整的概念理解過程，這樣才能有效的概念教學(xué)。

[1]張永杰.基于“反思”的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（24）.

[2]殷天文.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)探析[J].成才之路，2016（3）：30-30.