如何復(fù)習(xí)“數(shù)列”

江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

如何復(fù)習(xí)“數(shù)列”

江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

江蘇高考對數(shù)列的概念是A級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等概念，一般不會單獨(dú)考查。等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩種重要且特殊的數(shù)列，要求都是C級，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)求和公式、性質(zhì)等知識，理解其推導(dǎo)過程，并且能夠靈活應(yīng)用。新課程以來9年高考均考查一條填空題，一條解答題，考查分值20分左右。主要以考查單一性知識為主，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與不等式綜合考查，構(gòu)成壓軸題。如何復(fù)習(xí)好數(shù)列，下面談幾點(diǎn)拙見，以供參考。

一、數(shù)列問題考查分類

等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)，在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個。解這類問題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個基本量的有關(guān)運(yùn)算；求數(shù)列的通項(xiàng)與求和，以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；數(shù)列與函數(shù)、不等式的聯(lián)系，數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問題、解決問題的綜合能力；數(shù)列的猜想與證明問題，以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和猜想能力；數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟(jì)上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關(guān)鍵是建立一個數(shù)列模型{an}，利用該數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式或前n項(xiàng)和公式。

二、數(shù)列問題常見錯誤分析

概念不清致錯：例如已知2，a，b，c，4成等比數(shù)列，求b。b是2與4的等比中項(xiàng)，但當(dāng)時(shí)，a2=2b=-4不可能，此時(shí)2，a，b，c，4不成等比數(shù)列，所以b=2；忽視等比數(shù)列中“q=1”的討論致錯：例如等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1與公比q都是正數(shù)，它的前n項(xiàng)和Sn=80，前2n項(xiàng)和Sn=6560，數(shù)列前2n項(xiàng)中最大項(xiàng)為54，求a1與q。用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q=1與q≠1；忽視特殊情況n=1的討論致錯：例如已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=aqn（a≠0，q≠1，q為非零常數(shù)），則數(shù)列{an}為什么數(shù)列？容易忽略了an=Sn-Sn-1中隱含條件n≥2，應(yīng)先討論n=1；不理解“Sn”符號中“n”的含義致錯：例如已知一個等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=25-5n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn，易誤把n≤5誤解為n=5，當(dāng)n≥6時(shí)，沒理解好“Sn”表示“前n項(xiàng)和”。

在解數(shù)列問題時(shí)，只要我們深刻理解數(shù)列的概念，認(rèn)真審題，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，就會不犯錯誤或少犯錯誤。如果出現(xiàn)解題錯誤，只要我們弄清錯題的原因，并不斷總結(jié)，就會提高正確率。

三、數(shù)列復(fù)習(xí)方法總結(jié)

求數(shù)列的通項(xiàng)通常有兩種題型：一是根據(jù)所給的一列數(shù)，通過觀察分析求通項(xiàng)；二是根據(jù)遞推關(guān)系式求通項(xiàng)。數(shù)列的遞推關(guān)系是相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，高考對遞推關(guān)系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復(fù)雜遞推關(guān)系時(shí)，可以用不完全歸納法研究；數(shù)列中的不等式問題是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)問題，對不等式的證明有比較法、放縮法，放縮通常有化歸等比數(shù)列和可裂項(xiàng)的形式；數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的一條主線，所以數(shù)列這一部分是容易命制多個知識點(diǎn)交融的題，這應(yīng)是命題的一個方向。

等差、等比數(shù)列性質(zhì)很多，在高考中以等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的考查為主，在應(yīng)用時(shí)，要注意等式兩邊的項(xiàng)的序號之間的關(guān)系。在運(yùn)用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，要注意函數(shù)的自變量應(yīng)為連續(xù)的，數(shù)列的自變量應(yīng)為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)；有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項(xiàng)的大小不一，從某一項(xiàng)開始才符合遞增或遞減的特征，這時(shí)前幾項(xiàng)中每一項(xiàng)都必須研究；由一個數(shù)列構(gòu)造生成的新數(shù)列，再判斷其是否是等差或等比數(shù)列時(shí)，如果已經(jīng)有通項(xiàng)公式，則可以直接由通項(xiàng)公式的特征判斷，如果只有遞推關(guān)系，則需要用定義來證明；數(shù)列中恒等關(guān)系和有解問題主要是建立關(guān)于數(shù)列中基本量或相關(guān)參數(shù)的方程，再進(jìn)一步論證該方程是否有整數(shù)解問題，其中對方程的研究是關(guān)鍵，一般可從奇偶數(shù)、約數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等方面論證，也可以先利用參數(shù)范圍，代入相關(guān)的整數(shù)研究；數(shù)列中的子數(shù)列或衍生數(shù)列問題，需要弄清楚該項(xiàng)在原數(shù)列中的特征和在新數(shù)列中的特征，代入時(shí)要注意分辨清楚。

在解答題中主要是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的基本量來求解。數(shù)列求和問題，主要考查利用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再論證和的性質(zhì)，故不過多涉及求和的技巧以及項(xiàng)的變形。數(shù)列中an或Sn的最值問題與函數(shù)處理方法類似，首先研究數(shù)列an或Sn的特征，再進(jìn)一步判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得到最值。要注意的細(xì)節(jié)是n只能取正整數(shù)。數(shù)列中大小比較與不等式中大小比較方法類似，同類型的多項(xiàng)式比較可以作差、作商或用基本不等式，不同類型的比較一般要構(gòu)造函數(shù)來解決。數(shù)列中的參數(shù)取值范圍問題在處理時(shí)，首選還是參數(shù)分離，分離后根據(jù)新數(shù)列的單調(diào)性確定最值或范圍。

四、數(shù)列復(fù)習(xí)建議

在進(jìn)行數(shù)列復(fù)習(xí)時(shí)，建議可以具體從以下幾個方面著手：運(yùn)用基本量思想(方程思想)解決有關(guān)問題；注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；注意等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的特征在解題中的應(yīng)用；注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式；根據(jù)遞推公式，通過尋找規(guī)律，運(yùn)用歸納思想，寫出數(shù)列中的某一項(xiàng)或通項(xiàng)，主要需注意從等差、等比、周期等方面進(jìn)行歸納；掌握數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系；根據(jù)遞推關(guān)系，運(yùn)用化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列；掌握一些數(shù)列求和的方法：(1)分解成特殊數(shù)列的和；(2)裂項(xiàng)求和；(3)“錯位相減”法求和；（4）倒序相加法；（5）公式法。以等差、等比數(shù)列的基本問題為主，突出數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與幾何等的綜合應(yīng)用。