基于均值-AS模型的資產(chǎn)配置①

曾　燕， 黃金波

(1. 中山大學(xué)嶺南(大學(xué))學(xué)院， 廣州 510275； 2. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510320)

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基于均值-AS模型的資產(chǎn)配置①

曾燕1， 黃金波2

(1. 中山大學(xué)嶺南(大學(xué))學(xué)院， 廣州 510275； 2. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510320)

摘要：AS指標(biāo)是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主Aumann與其合作者Serrano近期基于不確定條件下的選擇理論提出的新的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，具有諸多優(yōu)點(diǎn)，被學(xué)者們廣泛關(guān)注.本文基于均值-AS模型研究了正態(tài)分布和一般分布下的資產(chǎn)配置問題.在正態(tài)分布下，得到了組合邊界的解析式，深入探討了組合邊界的特征.在一般分布下，將AS指標(biāo)的矩估計(jì)式嵌入均值-AS模型，實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與投資組合優(yōu)化同步進(jìn)行.在較弱的條件下，證明了均值-AS模型是凸優(yōu)化問題，可基于迭代思想設(shè)計(jì)算法得到模型的數(shù)值解.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明該模型和算法準(zhǔn)確有效.最后，基于中國A股市場數(shù)據(jù)給出了實(shí)例分析.

關(guān)鍵詞：均值-AS模型； AS指標(biāo)； 組合邊界； 矩估計(jì)

0引言

日常生活中人們常常需要在不確定環(huán)境下進(jìn)行決策，從而形成了不確定條件下的選擇理論.Diamond和Stiglitz[1]指出：人們?cè)跊Q定是否參與一項(xiàng)具有不確定性的游戲時(shí)，會(huì)考慮兩個(gè)關(guān)鍵因素：一是該游戲的風(fēng)險(xiǎn)有多大，二是個(gè)人的風(fēng)險(xiǎn)偏好或風(fēng)險(xiǎn)承受能力如何.Arrow[2-3]和Pratt[4]定義了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的概念，解決了第二個(gè)因素的度量問題.這是個(gè)主觀的概念，依賴于個(gè)人的效用函數(shù)，然而他們未能解決第一個(gè)問題.該問題在金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域得到了廣泛研究，Marktowitz[5]的開拓性工作之一就是采用方差來度量風(fēng)險(xiǎn).隨后學(xué)者們提出了一些新的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，如下半方差、下偏矩、在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)、條件在險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)等，并對(duì)收益-風(fēng)險(xiǎn)框架下的資產(chǎn)配置問題進(jìn)行了深入研究.但是，金融風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域的這些風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)有以下兩方面不足.第一，這些均為技術(shù)性指標(biāo)，都是運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法定義出來的，沒有考慮人的經(jīng)濟(jì)行為.這些風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)與人的風(fēng)險(xiǎn)偏好之間不能形成對(duì)偶關(guān)系.換句話說，倘若一方面利用這些指標(biāo)得出資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)值，同時(shí)另一方面也可以通過一些方法得到人們的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)，但它們之間的關(guān)系無法確定.第二，這些風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)大多數(shù)不滿足隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性*隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性是指：如果一種資產(chǎn)收益率的分布一階(或二階)隨機(jī)占優(yōu)另一種資產(chǎn)的收益率分布，那么前一種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要小于后一種資產(chǎn).[6].在不確定條件下的選擇理論中，隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性是被廣泛接受的能夠客觀刻畫風(fēng)險(xiǎn)的理論[7-9].

為了彌補(bǔ)上述風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的不足，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主Aumann與其合作者Serrano基于不確定條件下的選擇理論，提出了新的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，簡稱AS指標(biāo)[6].該指標(biāo)滿足兩個(gè)基本公理：對(duì)偶性和正齊次性，并具有一階與二階隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性.此外，他們還證明了任何滿足對(duì)偶性和正齊次性的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)都是AS指標(biāo)的正數(shù)倍.Homm和Pigorsch[10]在更為一般的假設(shè)下，證明了AS指標(biāo)的存在性.Schulze[11]拓展了AS指標(biāo)的應(yīng)用范圍，嚴(yán)格證明了相應(yīng)條件下AS指標(biāo)的存在性，并推導(dǎo)出收益率服從指數(shù)分布、泊松分布、Gamma分布、方差-Gamma分布等幾種特殊分布下AS指標(biāo)的解析式.為了解決AS指標(biāo)只測度絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不足，Schreiber[12]建立了測度相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的理論框架.Foster和Hart[13]在AS指標(biāo)的啟發(fā)下，提出了可替代AS指標(biāo)且可操作的僅關(guān)心財(cái)富水平的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo).而Bali等[14]提出了更為一般的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，拓展了Aumann和Serrano[6]及Foster和Hart[13]的研究，并推導(dǎo)出多種S&P500指數(shù)期權(quán)隱含的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo).在AS指標(biāo)的應(yīng)用方面，Homm 和Pigorsch[15]利用AS指標(biāo)定義了投資表現(xiàn)指標(biāo)，該指標(biāo)拓展了夏普比率，包含了峰度、偏度等高階矩的信息.如果投資者對(duì)這些信息比較關(guān)注，AS指標(biāo)是更好的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo).此外，Chen等[16]基于AS指標(biāo)得到了現(xiàn)貨與期貨的套期保值策略，給出了正態(tài)分布下最優(yōu)套保比率的解析式，以及一般分布下最優(yōu)套保比率的估計(jì)式.他們發(fā)現(xiàn)基于AS指標(biāo)的套保比率統(tǒng)計(jì)上顯著不同于基于方差的套保比率，基于AS指標(biāo)的套保比率相對(duì)較低，并且該指標(biāo)有更好的經(jīng)濟(jì)解釋和理論性質(zhì)，實(shí)證研究也支持上述理論發(fā)現(xiàn).

對(duì)AS指標(biāo)的相關(guān)研究還在持續(xù)深入，據(jù)筆者了解目前還沒有學(xué)者探討AS指標(biāo)下的資產(chǎn)配置問題.本文嘗試基于均值-AS模型對(duì)正態(tài)分布和一般分布下的資產(chǎn)配置問題進(jìn)行探討.在正態(tài)分布假設(shè)下，得到了不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)組合邊界的解析式，并與均值-方差模型對(duì)比，深入探討了組合邊界的特征.在一般分布假設(shè)下，將AS指標(biāo)的矩估計(jì)式嵌入投資組合決策模型，實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與投資組合優(yōu)化同步進(jìn)行.在非常弱的條件下，證明均值-AS模型是凸優(yōu)化問題，并可用數(shù)值算法得到其數(shù)值解.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明基于AS矩估計(jì)量的模型和算法是有效且準(zhǔn)確的.最后給出了一個(gè)基于我國股票市場數(shù)據(jù)的實(shí)證算例.

1AS指標(biāo)的定義和性質(zhì)

Aumann和Serrano[6]在具有不確定性賭局(gamble)決策的框架下提出了AS指標(biāo).假設(shè)隨機(jī)變量x為某次賭局的凈收益，ω為決策者的初始財(cái)富，假定決策者的效用函數(shù)為常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避(CARA)效用函數(shù)

U(ω)=-γ-1exp(-γω)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)γ>0，決策者參與該項(xiàng)賭局將得到期望效用E[U(ω+x)].如果存在γ*使得

成立，則通過定義Sx∶=1/γ*>0，上式可寫為

(1)

Aumann和Serrano[6]建議使用Sx作為該賭局的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo).他們直接由式(1)定義該風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，不需依賴效用函數(shù)的具體形式.只是在CARA效用函數(shù)下，該指標(biāo)的定義式(1)正好可以由參與賭局的期望效用與不參與賭局的效用相等得到.基于此，Chen等[16]把CARA效用函數(shù)作為推導(dǎo)式(1)的紐帶.從式(1)來看，該指標(biāo)是個(gè)客觀的數(shù)值，僅依賴于凈收益的分布，不依賴于個(gè)人的任何特征，特別是不依賴個(gè)人的效用函數(shù).

定理1隨機(jī)變量x滿足條件P(x<0)>0且E[x]>0時(shí)，方程(1)存在唯一正數(shù)解，其中P(·)表示概率，E[·]為期望算子.

P(x<0)>0表明該賭局存在損失的可能性.E[x]>0表明本文考慮的是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的決策問題，因?yàn)镋[x]≤0時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者一定不會(huì)參與該賭局，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)可以定義為無窮大.現(xiàn)實(shí)中大部分投資者都是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，這樣風(fēng)險(xiǎn)-收益權(quán)衡研究才有意義.可見條件P(x<0)>0和E[x]>0與現(xiàn)實(shí)很相符.若無特殊說明，下文假設(shè)這兩個(gè)條件成立.

從AS指標(biāo)的定義式(1)可看出，該指標(biāo)相對(duì)于傳統(tǒng)的金融風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)有不少優(yōu)點(diǎn).例如，方差指標(biāo)只關(guān)心離散程度而并不關(guān)心方向如何，它把向上和向下偏離都看作風(fēng)險(xiǎn)，而AS指標(biāo)通過給予收益方更少的權(quán)重而給損失方更大的權(quán)重，彌補(bǔ)了方差這一缺點(diǎn).夏普比率也經(jīng)常被用作風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)[15]，它隱含了個(gè)假設(shè)，即資產(chǎn)收益率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差完全刻畫了資產(chǎn)的收益與風(fēng)險(xiǎn)，然而金融市場上的實(shí)際數(shù)據(jù)常常表現(xiàn)出尖峰厚尾、非對(duì)稱等特征，AS指標(biāo)是資產(chǎn)收益率的矩生成函數(shù)，除均值和方差外，還考慮了高階矩包含的信息.雖然VaR和CVaR是近年來被金融領(lǐng)域廣泛采用的兩大風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，已被寫入了巴塞爾協(xié)議III及各國金融監(jiān)管當(dāng)局的官方文件，但是作為風(fēng)險(xiǎn)度量，這兩個(gè)指標(biāo)都有共同不足：只關(guān)心資產(chǎn)的損失方，而不考慮其收益方，即使在損失方，VaR也只關(guān)心某一設(shè)定概率下的最大損失門檻值，CVaR只關(guān)心超過這個(gè)門檻值的損失的期望.AS指標(biāo)不僅考慮了損失還考慮了收益.此外，Aumann和Serrano[6]給出了AS指標(biāo)的幾個(gè)重要性質(zhì)并對(duì)它們進(jìn)行了詳細(xì)證明.

性質(zhì)1AS指標(biāo)具有隨機(jī)占優(yōu)單調(diào)性，即x1一階(或二階)隨機(jī)占優(yōu)x2，則Sx1

性質(zhì)2AS指標(biāo)具有正奇次性，即對(duì)任意t>0和滿足正則條件的變量x，有Stx=tSx.

性質(zhì)3若兩個(gè)賭局的凈收益變量x1,x2相互獨(dú)立，則兩個(gè)賭局加和的凈收益變量x1+x2的風(fēng)險(xiǎn)在x1和x2的風(fēng)險(xiǎn)之間，即min{Sx1,Sx2}≤Sx1+x2≤max{Sx1,Sx2}.

推論如果兩個(gè)賭局各自的凈收益變量x1, x2獨(dú)立同分布，則它們具有相同的風(fēng)險(xiǎn)值，即Sx1=Sx2，并且二者加和的風(fēng)險(xiǎn)值Sx1+x2=Sx1=Sx2=S.

性質(zhì)4AS指標(biāo)具有次可加性，即對(duì)任意兩個(gè)賭局的凈收益變量x1和x2，有Sx1+x2≤Sx1+Sx2.

2資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的AS指標(biāo)

金融市場上的投資組合選擇是典型的不確定條件下的決策過程，其產(chǎn)生的收益為一隨機(jī)變量.因此，AS指標(biāo)可用來度量風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn).Homm和Pigorsch[15]及Chen等[16]采用AS指標(biāo)度量金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，研究了基金表現(xiàn)測度和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖等問題.假設(shè)投資者的投資總額為ω、效用函數(shù)為CARA，某金融資產(chǎn)的收益率為r，存在某γ*，使式子

成立.令Sωr=1/γ*，上式可化為

根據(jù)正齊次性可得Sωr=ωSr.可見，資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)與投資者所擁有的財(cái)富無關(guān)，由其收益率的分布唯一決定，投資者面臨的總風(fēng)險(xiǎn)與其投資額呈線性關(guān)系.所以下面將投資者的財(cái)富標(biāo)準(zhǔn)化為1.

假設(shè)市場上存在n(n≥2)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率為ri，則r=(r1,r2,…,rn)′為n種資產(chǎn)的收益率向量*如無特殊說明所有向量都定義為列向量，符號(hào)“′”表示轉(zhuǎn)置..設(shè)w=(w1,w2,…,wn)′為投資者在n種資產(chǎn)上的頭寸，w′r為投資組合的收益率.根據(jù)式(1)，該組合的風(fēng)險(xiǎn)Sw可通過下式求出*按照前文定義組合的AS指標(biāo)應(yīng)記為Sw′r，但為了簡潔在不引起混淆的情況下，簡寫為Sw.

(2)

令z∶=w′r/Sw，B(w)∶=E[exp(-z)r]，C(w)∶=E[exp(-z)w′r].

定理2如果C(w)<0，則Sw是組合頭寸w的凸函數(shù).

證明見附錄.

3正態(tài)分布下的Mean-AS模型

其中u為給定的收益率.可以證明不等式約束在最優(yōu)解處是緊的.

容易看出，在正態(tài)分布假設(shè)下優(yōu)化問題(P1)的最優(yōu)策略與均值-方差模型的最優(yōu)策略是相同的.令a=e′Σ-1μ,b=μ′Σ-1μ,c=e′Σ-1e,d=bc-a2，利用拉格朗日方法，容易得到上述問題的最優(yōu)解為

w*=d-1[(cu-a)Σ-1μ+(b-au)Σ-1e]

把w*代回目標(biāo)函數(shù)，可得n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合的組合邊界為

(3)

若市場引入一無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其收益率為rf，其它條件不變，則組合的收益率為w′r+(1-w′e)rf，服從正態(tài)分布N(w′μ+(1-w′e)rf,w′Σw)，相應(yīng)的均值-AS模型為

類似分析，可得問題的解析解為

(4)

圖1　均值-AS模型下的組合邊界

命題1在正態(tài)分布假設(shè)和均值-AS模型框架下，模型(P1)和(P2)所得的曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)記為(S*,u*)，則(i)當(dāng)a<0或a>0且rf∈(a/c,b/a)時(shí)，u*<0；(ii)當(dāng)a>0且rf∈(0,a/c)∪(b/a,∞)時(shí)，u*>0.

此式可化簡為

顯然，方程的判別式為

故兩曲線只有1個(gè)交點(diǎn).又因?yàn)?/p>

而

當(dāng)a<0時(shí)，arf-b<0且crf-a>0，所以drf-ah>0，從而得u*<0；當(dāng)a>0時(shí)，由bc-a2>0，可得a/c

如果00；如果a/ca且arf0，進(jìn)而u*<0；如果rf>b/a，則crf>a且arf>b，此時(shí)drf-ah<0，進(jìn)而u*>0.

命題2在正態(tài)分布假設(shè)和均值-AS模型框架下，當(dāng)a>0且rf∈(0,a/c)時(shí)，含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界與不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界相切.當(dāng)a>0且rf∈(b/a,∞)時(shí)，含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界與不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界相切，但有效邊界相離.當(dāng)a<0或a>0且rf∈(a/c,b/a)時(shí)，含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界與不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界相離.

證明由命題1知，模型(P1)和(P2)所得曲線存在唯一交點(diǎn)(S*,u*).又因?yàn)?/p>

在交點(diǎn)(S*,u*)處曲線斜率相同，所以模型(P1)和(P2)所得曲線在交點(diǎn)處相切.

由命題1可知，當(dāng)a>0 且rf∈(0,a/c)時(shí)，u*>0.又因?yàn)?/p>

所以此時(shí)u*>uminS，即切點(diǎn)在有效邊界上.

可見此時(shí)含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界與不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界相切(即圖1曲線I與曲線II相切).

同理可證，當(dāng)a>0且rf∈(b/a,∞)時(shí)，u*>0，且u*0且rf∈(a/c,b/a)時(shí)，根據(jù)命題1，u*<0，所以由模型(P1)和(P2)所得曲線的唯一交點(diǎn)(S*,u*)位于第三象限，第一象限內(nèi)的組合邊界沒有交點(diǎn)，所以，含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界與不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界相離.

命題3在正態(tài)分布假設(shè)下，均值-AS模型的有效邊界是均值-方差模型有效邊界的子集.

由模型(P1)和(P2)可知，在正態(tài)分布假設(shè)下均值-AS模型與均值-方差模型的最優(yōu)組合相同，它們得到的組合邊界也相同.只是在不同坐標(biāo)系(即不同的風(fēng)險(xiǎn)度量)下曲線形狀不同而已.如何在均值-方差坐標(biāo)系下找到最小AS的組合呢？眾所周知，經(jīng)典的均值-方差模型下的曲線表達(dá)式為[17]

(5)

圖2　均值方差平面下的組合邊界與等AS線

4一般分布下的Mean-AS模型

在正態(tài)分布下，AS指標(biāo)可表示成均值與方差的函數(shù)，只要知道n種資產(chǎn)收益率的均值向量和協(xié)方差陣，就可以得到組合邊界的解析表達(dá)式.但在一般分布下，由于事先并不知道分布特征，無法得到AS指標(biāo)的解析式*Schulze[11]給出了指數(shù)分布、泊松分布、Gamma分布、方差-Gamma分布等情形下AS指標(biāo)的解析表達(dá)式..此外，即使在正態(tài)分布下，往往并不知道n種資產(chǎn)收益率真實(shí)的均值向量和協(xié)方差陣，實(shí)踐中，通常需要利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì).本節(jié)中，考慮在一般分布下，沒有AS指標(biāo)的解析式時(shí)如何利用樣本數(shù)據(jù)得到均值-AS模型的組合邊界估計(jì).為此，下文探討在不做任何分布假設(shè)前提下利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)AS指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)，得到AS指標(biāo)的矩估計(jì)式，然后將AS指標(biāo)的矩估計(jì)式嵌入均值-AS模型，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化同步進(jìn)行.

(6)

(7)

對(duì)式(7)兩邊關(guān)于w求導(dǎo)，可得

(8)

建立拉格朗日函數(shù)

可得到相應(yīng)的一階條件為

相應(yīng)的Hessian矩陣為

(9)

將式(9)兩邊對(duì)w求導(dǎo)，并令

可得

(10)

將式(10)兩邊關(guān)于w求導(dǎo)，并令

可得

(11)

該模型的求解方法和步驟與模型(P3)相同.

5蒙特卡洛模擬

前兩節(jié)在理論上討論了正態(tài)分布和一般分布下均值-AS模型組合邊界的估計(jì)方法.為驗(yàn)證前兩節(jié)估計(jì)方法的準(zhǔn)確性，本節(jié)基于蒙特卡洛模擬方法給出一些數(shù)值算例.蒙特卡洛模擬的思想是：事先設(shè)定一個(gè)真實(shí)的分布，基于該分布生成隨機(jī)變量的樣本，然后假設(shè)不知道真實(shí)分布的情況下，利用前文提出的估計(jì)方法和生成的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)均值-AS模型的組合邊界，并與真實(shí)的組合邊界進(jìn)行比較，來驗(yàn)證前文所提估計(jì)方法的準(zhǔn)確性.到目前為止，只能得到資產(chǎn)收益率向量服從多維正態(tài)分布時(shí)的真實(shí)組合邊界，所以為了比較的方便，以下模擬假設(shè)真實(shí)分布為多維正態(tài)分布.樣本生成過程采取Cholesky分解法.Cholesky分解法的思路是：假設(shè)n(n≥2)種資產(chǎn)收益率向量r服從n維正態(tài)分布N(μ,Σ)，協(xié)方差陣Σ正定，則由Cholesky分解得Σ=Q′Q，Q為上三角矩陣.令r=μ+ Q′ε，ε為n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過簡單推導(dǎo)可知r～N(μ,Σ)，這樣通過ε就可以生成多維正態(tài)分布N(μ,Σ)的隨機(jī)數(shù).假設(shè)市場上存在4種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)*4種以上資產(chǎn)情況類似討論，后文的實(shí)例分析將資產(chǎn)數(shù)量拓展至更多維.，它們真實(shí)的均值向量和協(xié)方差陣為*需要說明的是，這里的數(shù)據(jù)是虛擬數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的量綱(或單位)可以是任意的，如果是金融資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)，量綱可以取%(月收益率)或者‰(日收益率).μ=(0.5 0.8 1.0 1.2)′和

將真實(shí)的均值向量μ和方差陣Σ代入式(3)就可得到真實(shí)的均值-AS曲線.以下將假設(shè)真實(shí)分布未知，利用本文的估計(jì)方法對(duì)均值-AS曲線進(jìn)行估計(jì).

模擬1不含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，均值-AS模型下的組合邊界估計(jì).

(12)

第3步重復(fù)前兩步驟3 000次，即進(jìn)行3 000次蒙特卡洛模擬.然后將3 000次得到的誤差指標(biāo)Ae和Re進(jìn)行平均，得到平均絕對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差.為了比較，定義了如下占比指標(biāo)：在3 000次的重復(fù)模擬中，Est方法誤差大于Nom方法誤差的次數(shù)除以3 000.

第4步分別取樣本容量T=1 000，2 000，4 000，6 000，8 000，10 000，重復(fù)前3個(gè)步驟.最后得到兩種估計(jì)方法的誤差表(見表1)

Table 1 Estimation error of Est method and Nom method

誤差指標(biāo)平均絕對(duì)誤差平均相對(duì)誤差樣本量TEst方法Nom方法占比Est方法Nom方法占比5001.20351.19880.52950.26150.25950.548010000.79650.79320.52700.17280.17110.556520000.59180.58910.52200.12780.12670.547540000.40780.40610.52550.08840.08770.544060000.33430.33350.50950.07250.07190.536580000.28840.28680.52300.06250.06180.5500100000.25950.25920.50000.05620.05590.5225

從表1可以看出：1)隨著樣本量的增加，矩估計(jì)方法得到的組合邊界，其平均相對(duì)誤差和平均絕對(duì)誤差都在下降，這是矩估計(jì)的大樣本性質(zhì).2)隨著樣本容量的增加，正態(tài)分布假設(shè)下得到的組合邊界的平均相對(duì)誤差和平均絕對(duì)誤差也在下降，這是因?yàn)樯蓴?shù)據(jù)的原始分布就是正態(tài)分布，本文這里做了正確的分布假設(shè)，在正態(tài)分布假設(shè)下，AS指標(biāo)由均值和協(xié)方差陣唯一決定.隨著樣本量增加，樣本均值和樣本協(xié)方差收斂于真實(shí)的均值和方差陣，從而優(yōu)化模型的組合邊界收斂于真實(shí)邊界.3)雖然矩估計(jì)方法和正態(tài)分布假設(shè)下得到的組合邊界都趨向于真實(shí)組合邊界，但是矩估計(jì)方法不做任何的分布假設(shè)，而后一種方法做了正態(tài)分布假設(shè)，而這個(gè)假設(shè)在本例中正好是對(duì)的.如果這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的(實(shí)際上金融市場上的數(shù)據(jù)通常都呈非正態(tài)特征)，將會(huì)產(chǎn)生模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)不做任何分布假設(shè)的矩估計(jì)方法更加有效.4)占比一欄的數(shù)據(jù)說明，在3 000次的重復(fù)模擬中，矩估計(jì)方法的誤差大于正態(tài)假設(shè)下誤差的占比在50%左右(略高于50%)，這說明兩種方法誤差大小不分伯仲.從平均絕對(duì)誤差值和平均相對(duì)誤差值來看，兩種估計(jì)方法的誤差值大多數(shù)都在小數(shù)點(diǎn)后的第3位才開始有所差異.所以雖然矩估計(jì)方法不做任何分布假設(shè)，卻能夠得到如同做了正確分布假設(shè)幾乎一樣的效果.

圖3直觀地顯示，隨著樣本容量的增加，兩種方法得到的組合邊界都趨向于真實(shí)的組合邊界.另外頗為意外的特征是：無論樣本容量為多少，兩種估計(jì)方法得到的組合邊界幾乎重疊，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是兩種估計(jì)方法都是利用同樣的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，兩種估計(jì)方法共同受到樣本質(zhì)量好壞的直接影響.另外，這也進(jìn)一步說明了不做分布假設(shè)的矩估計(jì)方法能夠得到如同做了正確分布假設(shè)幾乎一樣的效果.

模擬2含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，均值-AS模型下的組合邊界估計(jì).

從表2，可得到所有表1上得到的結(jié)論，說明引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之后，基于矩估計(jì)方法的模型和算法同樣適用.圖4顯示了隨樣本容量增加時(shí)，矩估計(jì)方法和正態(tài)分布假設(shè)方法得到的組合邊界都趨于真實(shí)的組合邊界.雖然圖4顯示含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合邊界接近于直線，但從正態(tài)分布假設(shè)下真實(shí)均值-AS曲線的表達(dá)式(4)來看，這的確不是一條直線，而是曲線.

誤差指標(biāo)平均絕對(duì)誤差平均相對(duì)誤差樣本量TEst方法Nom方法占比Est方法Nom方法占比5000.22770.21600.57350.14560.13750.576510000.15760.15050.55400.10110.09620.555530000.09000.08620.55450.05800.05530.555050000.06930.06660.55900.04470.04280.564580000.05460.05240.54450.03530.03370.5455100000.05040.04760.56550.03250.03060.5680

6實(shí)例分析

本節(jié)選取我國A股市場股票的日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，在理論分析中，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的均值為正，這樣才能保證它們各自的AS指標(biāo)有解.為保證優(yōu)化過程能夠順利進(jìn)行，選取了日收益率的樣本均值大于零的股票來進(jìn)行實(shí)證分析.本文選擇的股票是：深物業(yè)A、深深寶A、云南白藥、銅陵有色、中金嶺南、合肥百貨、格力電器、羅牛山、承德露露、新希望和青島啤酒共11只股票，數(shù)據(jù)期間為2007-01-01～2012-12-31.由于在某些交易日，有些股票因各種原因會(huì)停盤，所以必須選出那些每只股票都有交易的交易日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，經(jīng)過刪減和匹配處理后，每只股票的可用日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)為1 278個(gè).由于日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)都很小，為了方便，把所有的日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)都乘以100，容易算得11只股票日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)的樣本均值和樣本協(xié)方差陣分別為

圖5我國均值-AS曲線估計(jì)(左圖：Est方法，右圖：Nom方法)

Fig. 5 Mean-AS curve estimation of Chinese share market (left: Est method, right: Nom method)

7結(jié)束語

本文基于諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主Aumann與其合作者Serrano提出的新風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)AS，構(gòu)建了均值-AS模型.本文得到了正態(tài)分布假設(shè)下均值-AS模型組合邊界的解析式，并深入探討了正態(tài)分布下該模型組合邊界和有效邊界特征.在不做任何分布假設(shè)下，利用矩估計(jì)方法對(duì)AS指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)，得到AS指標(biāo)的矩估計(jì)式，然后將矩估計(jì)式嵌入均值-AS模型，并基于迭代算法對(duì)該模型進(jìn)行求解，得到一般分布下均值-AS曲線的估計(jì).模擬結(jié)果表明本文的矩估計(jì)算法雖不做任何的分布假設(shè)，但能得到與做了正確分布假設(shè)一樣的精度.

AS是最近提出來具有眾多優(yōu)點(diǎn)的新風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，對(duì)它的研究和認(rèn)識(shí)還有待進(jìn)一步深入，下一步的研究可考慮，在正態(tài)分布假設(shè)下基于均值-AS模型的資產(chǎn)定價(jià)問題，以及一般分布下基于AS的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖和風(fēng)險(xiǎn)管理問題以及動(dòng)態(tài)投資組合優(yōu)化問題等.

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附錄：

定理1的證明

圖A-1　f(α)的函數(shù)圖像

定理2的證明

式(2)兩邊分別對(duì)w求導(dǎo)可得

再對(duì)上式關(guān)于w′求導(dǎo)有

又因?yàn)?/p>

令D(w)=C(w)r-B(w)(w′r)，經(jīng)化簡可得

進(jìn)而可得

定理3的證明

Asset allocation based on mean-AS model

ZENGYan1,HUANGJin-bo2

1. Lingnan (University) College, Sun Yat-Sen Universtiy, Guangzhou 510275, China;2. School of Finance, Guangdong University of Finance & Economics, Guangzhou 510320, China

Abstract:The AS index is a new risk measure put forward recently by Aumann and Serrano who are inspiredby the theory of choice under uncertainty.It has many advantages over other risk measures andattracts many scholars. In this paper, we consider an asset allocation problem with the Mean-AS model under normal distribution and general distribution assumption, respectively. In the former case, we obtain an analytical expression of portfolio frontier and thoroughly discuss the characteristics of portfolio frontier. In the latter case, we embody the AS moment estimator into the Mean-AS portfolio optimization model and implement risk estimation and portfolio optimization simultaneously. Under very mild conditions, we prove that the Mean-AS model is a convex optimization problem and an iterative algorithm can be designed to obtain its numerical solution. Monte Carlo simulation results show that the Mean-AS model and our algorithm are accurate and effective. Finally, an empirical case of stock portfolio in Chinese A-stock market is illustrated.

Key words:mean-AS model; AS index; portfolio frontier; moment estimator

中圖分類號(hào):F830.9； F224.7； O224

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1007-9807(2016)02-0095-14

作者簡介:曾燕 (1984—)， 男， 江西吉安人， 博士， 副教授. Email: zengy36@mail.sysu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(71231008)； 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71201173； 71571195)； 廣東省自然科學(xué)杰出青年基金資助項(xiàng)目(2015A030306040)； 廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2013010011959)； 廣州市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)“十二五”規(guī)劃資助項(xiàng)目(15Q20)； 中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562246).

收稿日期：① 2014-04-11；

修訂日期：2014-11-20.