由數(shù)學連接的紙上的建筑與音樂

菅野裕子/Yuko Sugeno辛夢瑤 譯/Translated by XIN Mengyao

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由數(shù)學連接的紙上的建筑與音樂

菅野裕子/Yuko Sugeno
辛夢瑤 譯/Translated by XIN Mengyao

摘要：本文以19世紀文藝復興中標記法的變化為例，討論了建筑與音樂之間的類比關系。建筑與音樂的相同點之一，是“圖紙”和“樂譜”都被記錄在紙上。換句話說，建筑與音樂都存在一個標記法的問題。本文的主旨在于考察那些標記法之間的關系，以及各自的測量方法。眾所周知，在15世紀和16世紀，建筑與音樂都受到了數(shù)學比例理論的影響。從建筑與音樂理論中出現(xiàn)的“分數(shù)”這個角度出發(fā)，可以推測建筑與音樂的標記法與數(shù)的概念的變化有關。

Abstract:This essay deals with an analogy between architecture and music by examining the transition of notation from the Renaissance to the 19th century. One of the similarities of architecture and music is the written form, either "drawing" or "music" on paper. In other words, there is a matter as notation for both architecture and music. This essay considers the relationship with those notation and the way of measurement. It is known that during the 15th and the 16th centuries both architecture and music were influenced by mathematics and proportional theory. From the view of "fraction" found in architectural and musical theories, it can be seen that the notation of architecture and music was related to the transition of numeric notion.

關鍵詞：標記法，米，測量，數(shù)，分數(shù)，小數(shù)

Keywords:notation, metre, measurement, number, fraction, decimal fraction

Perspectives on Architecture and Music Through Mathematics

1　圖紙與樂譜 紙上的建筑與音樂

19世紀的建筑師迪朗（J. N. L. Durand）的《古代與現(xiàn)代各類建筑物對照匯編》（Recueil et Parallèlle des édifices en Tout Genre，圖1）中，不同建筑的平面圖和立面圖按相同的比例尺排列，下方附有單位為“m”的刻度尺。同樣，迪朗的另一本書《皇家理工學院建筑學課程概要》（Précis des Le?ons d'Architecture données à l'école Royale Polytechnique，圖2）中，建筑物的平面圖中被置入了網(wǎng)格狀的尺寸線。

1 迪朗（J. N. L. Durand）所著《古代與現(xiàn)代各類建筑物對照匯編》（Recueil et Parallèlle des édifices en Tout Genre, 1842）的內頁局部

無論是哪種圖紙表達，對現(xiàn)在的我們而言都很尋常。然而，這些在過去的年代都不曾存在。不僅如此，“m”這個單位與網(wǎng)格狀空間坐標的誕生之間并非毫無關聯(lián)。

揭示這件事的一個關鍵點是，抽象空間坐標被引入建筑圖紙的時期，比使用文藝復興透視法繪制空間坐標的時期晚許多。這究竟是為什么呢？筆者認為，這與當時的計數(shù)方法或長度的測量方法，以及數(shù)的概念變化都有關系，這就是本文的主題。

話說回來，建筑與音樂乍一看是完全不相干的兩種事物，它們之間卻有一些相同的地方。其一，無論建筑還是音樂，暫且不談作品本身，它們都被記載于紙上成為“圖紙”或“樂譜”。這與繪畫或雕刻這樣的藝術不同。而且，圖紙也好樂譜也罷，都不是建筑或音樂本身，所以有各種各樣的關于如何把它們記在紙上的規(guī)則。也就是說，建筑與音樂的共同點中存在“記譜”這個問題。用前面寫到的迪朗的圖紙解釋的話，網(wǎng)格狀尺寸線就相當于音樂的小節(jié)線。

另一個相同點是西方15世紀、16世紀的建筑與音樂的相同點，兩者都受到了數(shù)學的比例理論的影響。雖然人們都已經(jīng)非常清楚這個事實了，但目前為止，尤其是教堂建筑的比例中見到的整數(shù)比和音樂的協(xié)和音程的整數(shù)比之間的關系是最常被討論的1）。與此相對，本文從建筑與音樂的理論書籍中都會出現(xiàn)的“分數(shù)”入手，考察長度的測量方法與數(shù)的概念變化。關于這個測量問題，迪朗的圖紙中見到的“m”這個單位與音樂的速度記號或節(jié)拍器的出現(xiàn)是基于相同的依據(jù)。

2　繪于平面圖上的兩種輔助線

這里將比較《皇家理工學院建筑學課程概要》上刊登的一張平面圖（圖3）與斯卡莫齊（O. B. Scamozzi）繪制的帕拉弟奧（Andrea Palladio）的建筑圖紙。這兩張圖紙雖然非常相似，但輔助線的標記方法卻大不相同。

圖4的輔助線由于從柱子與墻壁這些建筑本身的邊緣延伸出去，在這些地方標記尺寸的話，柱子的直徑或者墻壁的厚度這些“物體”與柱子間隔等的“縫隙”將被清楚地區(qū)分和測量。

另一方面，圖3雖然看起來秩序井然，輔助線卻并非從墻壁或柱子的邊緣引出，而是從中心。因此，夾在兩根輔助線之間的長度表示從墻壁（或柱子）的中心到另一個墻壁（或柱子）的中心的距離，由輔助線表示的一個一個的尺寸中，“物體（墻壁或柱子）”和“空虛的空隙（墻壁或柱子的間隔）”這兩種性質的長度混雜在一起。然而，放入尺寸的話可能會看起來不自然，但從另一個角度看卻可以使我們更易理解。由于秩序井然與合乎規(guī)則，它令人覺得很合理，或許建筑物看起來就好像建在方格紙上一樣。這種輔助線也可以被認為是像含有X軸和Y軸的數(shù)學圖表一樣透明而均質的、可以無限延伸至任何地方的空間坐標。

2.3 迪朗（J. N. L. Durand）所著《皇家理工學院建筑學課程概要》（Précis des Le?ons d'Architecture données à l'école Royale Polytechnique, 1819）的內頁局部

4 斯卡莫齊（O. B. Scamozzi）所著《安德烈亞·帕拉第奧的建筑與設計》（Le Fabbriche e i Disegni di Andrea Palladio, 1778）的內頁局部。雖然與圖3很相似，但輔助線的標記方法卻不同。（1-4圖片來源：作者掃描）

3　空間坐標與時間坐標的誕生

這種存在于空間中的空間坐標原型來自繪畫中的透視法。用文藝復興中誕生的透視法繪制的畫中，有很多在地板上畫有格子圖案，也有看起來像是在圖表中描繪空間一樣的畫（圖5、6）。關于這個圖案，歐文·潘諾夫斯基（Erwin Panofsky）說，這不是簡單的圖案，它表示的是抽象坐標[1]。也就是說，正因為有了這個網(wǎng)格空間，即便是在什么都沒有的空間里，畫中事物的大小或互相之間的位置關系才會變得更清楚。

這里如果把空間換成時間的話，音樂的樂譜中與時間坐標相當?shù)氖恰靶」?jié)線”。音樂的樂譜如克羅斯比（A. W. Crosby）說的，是“歐洲最初做成的圖表”[2]144，垂直方向是作為音高刻度的水平線（五線譜），水平方線是時間軸（圖7）。與時間軸的刻度相當?shù)男」?jié)線普及于17世紀，旋律被認為是組織獨立時間的“近代性拍子”，兩者具有類似的本質。也就是說，正如透視法繪畫中的線是空間中的輔助線一樣，音樂的小節(jié)線也是時間中的輔助線。那些輔助線在耳朵能聽見的旋律背后存在，耳朵聽不見的時間（即拍子）的組織以透明網(wǎng)格被視覺化2）。

4　圖紙上不顯示網(wǎng)格的理由

然而，文藝復興或巴洛克時期的建筑圖紙中，這種坐標軸還不存在。這乍一看是不可思議的事。如果是當畫家們 “在圖表中畫風景”時，建筑師們也“在圖表上畫建筑物”，這樣就容易理解了。然而現(xiàn)實并不是如此。那個時代的建筑師們繪制的建筑圖紙就如圖4中看到的樣子，而建筑圖紙上表現(xiàn)出仿佛透明圖表一樣的形象的，實際上已經(jīng)是后來的事情了。也就是說，在透視法的世界里雖然均質空間坐標被畫了出來，但在建筑圖紙中卻沒有被繪制出來。

而且，如果說當時的建筑師并不知道這種透視法一樣的繪圖方法的話，事實卻并非如此。發(fā)明透視法的菲利波·布魯內列斯基（Filippo Brunelleschi）本人是代表文藝復興的建筑師，透視法也是建筑師需具備的知識。也就是說，那個時候的建筑師，雖然知道繪圖方法，但在建筑圖紙上并不將網(wǎng)格坐標畫出來。

這個問題沒法單純地歸為一個原因。如果按照圖4中的樣子畫出輔助線的話，“物體（墻壁或柱子）”與“空隙（墻壁或柱子的間隔）”這樣性質不同的長度混雜在一起的“不自然”也是一個困擾。如此說來，將“物體”與“空隙”混合起來的“不自然”的尺寸標記方法，即便在當時的測量方法中并非不可能實現(xiàn)，也應該是太困難了。

那么，為什么會困難呢？筆者思考過幾個理由，其中一個是，當時沒有小數(shù)，只有整數(shù)與分數(shù)。

5 喬凡尼·貝利尼（Giovanni Bellini, 1425/30-1516）的作品《天使宣告耶穌降臨》（Annunciata, Angelo annunciante）

6 萊奧納爾多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）繪制的草圖。地板上可以看見多條輔助線。（5.6圖片來源：作者掃描）

5　建筑與音樂中使用分數(shù)的表達

阿爾伯蒂（L. B. Alberti）或塞巴斯蒂亞諾·塞利奧（Sebastiano Serlio）這些文藝復興時期的建筑師在理論書中依據(jù)比例表示建筑各部分長度的尺寸，那些記述中常常會見到用分數(shù)表示的情況。阿爾伯蒂的《建筑論》（De Re Aedificatoria）中，第7書第7章的有關多立克式柱礎的記載里有“圓盤比其厚度的一半只多突出1/8”這樣的表達[3]。塞利奧也使用過托斯卡納的柱徑“上部只（比下部的直徑）小1/4”[4]VIIv、愛奧尼式柱徑“上部縮小1/6”[4]XXXVIIr這樣的表達。

現(xiàn)在從附點音符中可以窺見音樂中使用過分數(shù)的痕跡（附點四分音符是將一個四分音符延長原時值的一半）。其起源為14世紀的新藝術（Ars nova）中的“音符附加”（punctus additionis），現(xiàn)在雖然只剩下這一種附點音符（A比B的1/2大），至16世紀后半段卻存在著這種類型的多個規(guī)則，例如A比B“小1/3”，或者“小1/4”這樣的。

現(xiàn)在的我們看了這樣的表達，覺得它們不自然而且有些繞圈子，但或許在當時卻不會顯得不自然。那是因為與“A＝ （1±1/a）×B”相當?shù)臄?shù)的關系，在伯丘斯（Boetius）或帕喬利（Luca Pacioli）說的傳統(tǒng)數(shù)比分類中也可以看到3）。那種比例理論就是整數(shù)與分數(shù)的世界。

6　數(shù)值化

然而對現(xiàn)代的我們來說，顯示某段長度時，省略使用分數(shù)的計算過程、只顯示計算結果的“數(shù)值”的方法是更清楚明了的。

在建筑上最初采用那種方法的是維尼奧拉（Jacopo Barozzi da Vignola）。他在《建筑五種柱式規(guī)范》（Regola delli Cinque Ordini d'Architettura）中只以一種長度單位作為基準來確定所有部分的尺寸[5]。通過這種做法，所有部分的長度都可以作為“數(shù)值”被顯示出來，圖上實際標出的就是數(shù)值（圖8）。在音樂中，如阿德里亞諾·班基耶里（Adriano Banchieri）用圖示說明各種音符時，實際在圖旁邊也記上數(shù)值[6]（圖9）。也就是說，無論建筑還是音樂，在近代都到達了空間和時間中的長度被數(shù)值化的階段4）。

今天我們使用的，統(tǒng)一單位再將長度用數(shù)值表示的方法中，“數(shù)值”（長度）通過“乘法”與“單位”連結。通過這個方法，補足1/2（加法），或者減去1/3（減法）這些計算將消失（基于“＋1/a”這種“分數(shù)的加法”或“-1/a”這種“分數(shù)的減法”表示的關系，可以改寫為一次“加法”）。這是維尼奧拉或班基耶里使用過的將長度用數(shù)值表達的方法。他們省略了在他們之前的著者們記述的計算過程，只保留了計算結果。

7　作為連續(xù)體的數(shù)

話說回來，加上或者減去“1/a”的表達對于現(xiàn)代的我們來說不僅很麻煩，看起來也覺得很奇妙。為什么這么說呢？因為空間或時間的長度明明是連續(xù)的，而這種操作看起來好像將長度作為非連續(xù)的存在處理一樣。從這種意義來講，音樂的樂譜中見到的“散亂顆?！卑愕囊舴螒B(tài)，正是“凝固的時間”被視覺化的結果。

筆者深感興趣的是，實際上當時的時代中數(shù)字本身不能被認為是連續(xù)和均質的。現(xiàn)在的我們雖然認為時間和空間都是連續(xù)存在的，中世紀或文藝復興時期的數(shù)字還是“越與均質的時間或空間這種概念相提并論的話，就越不被視為均質的”[2]111。

16世紀的數(shù)學家西蒙·斯泰芬（Simon Stevin）發(fā)現(xiàn)，數(shù)這種東西不是像整數(shù)這樣的散點的存在，而是連續(xù)體[7]。他通過引入十進制小數(shù)而被人們知曉。他曾明確提出“數(shù)是連續(xù)的量”，指出“依據(jù)實數(shù)的概念，時間性或空間性變量的數(shù)學法則化會成為可能，研究測量的嚴密科學也會誕生”[8]。

7 五線譜的垂直方向表示音高，水平方向表示時間。（圖片來源：作者繪制）

8 維尼奧拉（Jacopo Barozzi da Vignola）所著《建筑五種柱式規(guī)范》（Regola delli Cinque Ordini d'Architettura）的內頁局部。尺寸被用數(shù)值記錄。

9 阿德里亞諾·班基耶里（Adriano Banchieri）所著《花腔唱法、領唱法及對位法音樂集》（Cartella Musicale nel Canto Figurato, Fermo ＆ Contrapunto, 1614）的內頁局部各個音符的旁邊都有用數(shù)字表示的時間。（8.9圖片來源：作者掃描）

8　以地球為基準的空間與時間的單位

開頭提到的迪朗的“圖表一樣的空間坐標”和“m這種單位”，與一直以來數(shù)的概念的變化相關。

抽象的空間坐標在文藝復興的透視法中已被畫了出來，為了將其引入建筑圖紙，就一定要畫出從“物體”和“空隙”這種物質性區(qū)分中獨立出來的“客觀”的空間坐標。為了實現(xiàn)它，必須采用“客觀”且“抽象”的單位，同時基于那個單位的所有長度都可以被輕易測量的“數(shù)”也變得必要。隨著數(shù)作為連續(xù)量的概念成立，小數(shù)也出現(xiàn)了，這使得空間或時間的長度可以作為連續(xù)的事物被容易地測量。這是因為如果有了小數(shù)，29.681m這樣的即便用整數(shù)除不盡的不整的長度，也變得可以被自由地處理，從比例的束縛中解放了出來。

尋求“抽象”且“普遍”的長度單位的結果是，無論在空間還是時間中，地球都成為其依據(jù)的來源。迪朗的建筑圖紙的右下方標有以m為單位的刻度尺，1m長即“通過巴黎的子午線從北極到赤道的長度的1/107”，即以地球為基準。在音樂上，古時人們用脈搏測量音符的長度，17世紀的馬蘭·梅森（Marin Mersenne）第一次使用音樂振子，1816年尼古勞斯·馮·溫克爾（Nicolaus van Winkel）和約翰·內波穆克·梅爾策爾（Johann Nepomuk M?lzl）發(fā)明了節(jié)拍器[9]，這都是基于地球重力的原理。近代樂譜中也添加了?＝60這個記號，它的意思是“一分鐘相當于?的60倍長度”，也就是基于地球自轉的長度。

因此，無論記錄在紙上的建筑還是音樂，都由地球導出的長度與世界相連?！?/p>

注釋：

1）代表性研究有威特科爾·魯?shù)婪虻摹度宋闹髁x時代的建筑原則》（Wittkower Rudolf, Architectural Principles in the Age of Humanism, Norton, 1971）。2）關于小節(jié)線的成立，在五十嵐太郎與菅野裕子合著的《建筑與音樂》（馬林譯，華中科技大學出版社，2012年）第7章中有詳細敘述。

3）從古代到中世紀再經(jīng)過文藝復興，被傳承或討論的比例理論中大多數(shù)都有類似體系，其起源可以追溯至古希臘。當時被類型化的多種解釋比例的文字中有“加上1/a”這樣的表達，例如：廷克托里斯·約翰內斯的《音樂中的比例》（Tinctoris Johannes, Proportinale Musices）、帕喬利·盧卡的《神圣的比例》（Pacioli Luca, De Divina Proportione）、波愛修的《算術入門》（Boetius Anicius Mnlius Segerinus, De Istitutione Arithemetica）。

4）關于這部分內容，在前文提到的五十嵐太郎與菅野裕子合著的《建筑與音樂》的第5章中有詳細敘述。

參考文獻:

[1] Panofsky, Erwin. Perspective as Symbolic Form. Sone Books, 1991: 57-58.

[2] Crosby, Alfred W.. The Measure of Reality. Cambridg University Press, 1977.

[3] Alberti, L.B.. De re aedi fi catoria. Firenze, 1485.

[4] Serlio, Sebastiano. L'Architettura. Libro Quarto, 1537.

[5] Jacopo Barozzi da Vignola. Regola delli Cinque Ordini d'Architettura. Roma, 1562.

[6] Banchieri, Adriano. Cartella Musicale nel Canto Figurato, Fermo ＆ Contrapunto. Venetia, 1614. repr. Bologna. Forni, 1968: 37.

[7] Stevin, Simon. De Thiende. 1585//The Principal Works of Simon Stevin, Vol. II, ed. Struik, D. J., C. V. Swets ＆ Zeitlinger, 1958.

[8] 山本義隆. シモン·ステヴィンをめぐって//科學革命の先駆者 シモン·ステヴィン. 朝倉書店，2009: 367-442.

[9] Sachs, Curt. Rhythm and Tempo : A Study in Music History. Norton, 1953.

收稿日期：2015-12-15

作者單位：橫濱國立大學