過(guò)度離散型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模擬與分析

李榮　陳莉　王平鮮

摘 要 針對(duì)車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)經(jīng)常出現(xiàn)的過(guò)度離散問題，采用數(shù)值模擬的方法，分別使用泊松模型（Poisson）、負(fù)二項(xiàng)回歸模型（NB）以及廣義泊松模型（GP）對(duì)不同程度的過(guò)度離散車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并用均方誤差、偏差以及AIC和BIC準(zhǔn)則對(duì)Poisson、NB、GP三種模型的優(yōu)良性進(jìn)行比較分析，得到了不同條件下三種模型的優(yōu)良性，并針對(duì)不同的條件給出了模型選擇的建議.

關(guān)鍵詞 過(guò)度離散；車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)；負(fù)二項(xiàng)模型；廣義泊松模型

中圖分類號(hào) O212.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

保險(xiǎn)公司在進(jìn)行費(fèi)率厘定時(shí)，需要建立索賠次數(shù)模型與索賠強(qiáng)度模型，在實(shí)際應(yīng)用中，車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)常常出現(xiàn)過(guò)度離散現(xiàn)象，亦即觀察值方差大于均值的情況.刻畫車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)最常用的是泊松模型，但當(dāng)數(shù)據(jù)存在過(guò)度離散現(xiàn)象時(shí)，泊松模型不再適用，這時(shí)可以用負(fù)二項(xiàng)模型或者廣義泊松模型替代泊松模型，結(jié)果能從一定程度上改善過(guò)度離散問題，但不是所有的情況都適用.楊肇和朱凱旋針（2003）、郭海強(qiáng)等（2005）對(duì)logistic回歸中的過(guò)度離散現(xiàn)象，通過(guò)調(diào)整協(xié)方差以及用估計(jì)的離散參數(shù)影響參數(shù)估計(jì)和參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤來(lái)調(diào)整回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果，結(jié)論得到一定的改善[1-，2]；Noriszura Tsmail和Abdul Aziz Jemain（2007）用負(fù)二項(xiàng)模型與廣義泊松模型作了實(shí)證研究，他們對(duì)一組特定的理賠次數(shù)找到了合適的模型[3]；同年，Richard Berk和John MacDonald對(duì)泊松模型和負(fù)二項(xiàng)模型進(jìn)行了討論，得出，在犯罪學(xué)應(yīng)用中用負(fù)二項(xiàng)模型去替代泊松模型不是任何情況都適用[4]；之后的一些文獻(xiàn)討論了過(guò)度離散現(xiàn)象的檢驗(yàn)，也將過(guò)度離散模型運(yùn)用到了不同的領(lǐng)域，楊娟（2013）等基于一組真實(shí)的B2C商務(wù)數(shù)據(jù)，比較了泊松模型、負(fù)二項(xiàng)模型、Tweedie模型對(duì)此數(shù)據(jù)的擬合效果、預(yù)測(cè)效果以及對(duì)過(guò)度離散的刻畫[5]；可見，過(guò)度離散現(xiàn)象在理賠次數(shù)中是普遍存在的，因此，為數(shù)據(jù)尋求合適的模型是必要的.

本文將考慮在不同過(guò)度離散程度條件下，基于均方誤差準(zhǔn)則、偏差準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則與BIC準(zhǔn)則，對(duì)Poisson，NB，GP三種模型的優(yōu)良性進(jìn)行比較研究，為過(guò)度離散數(shù)據(jù)尋求合適的模型.

2 基本模型

2.1 泊松回歸模型

對(duì)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析通常采用的最基本的模型是泊松模型，設(shè)隨機(jī)變量Y服從Poisson分布，記為Y～Poisson（μ），則概率密度函數(shù)為：

3.3 結(jié)果分析

首先，在均方誤差與偏差準(zhǔn)則下對(duì)3個(gè)模型進(jìn)行比較研究，如圖1所示，當(dāng)n=50，μ=1時(shí)，Poisson模型、NB模型、GP1模型的均方誤差都隨著離散程度的增大逐漸減小，且3個(gè)模型的均方誤差完全相等，其值都非常??；偏差在零的附近波動(dòng)，且3個(gè)模型的偏差完全相等，其值接近于零，可以得出，3個(gè)模型對(duì)于參數(shù)估計(jì)，效果都很好，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，擇一即可.隨著樣本量n以及均值μ的增大，亦即n=50，μ=2、n=100，μ=1、n=100，μ=2的情況，結(jié)論與n=50，μ=1時(shí)類似，說(shuō)明3個(gè)模型在參數(shù)估計(jì)上差別不顯著，如果只是針對(duì)參數(shù)估計(jì)，那么3個(gè)模型擇一即可.而就Poisson模型來(lái)講，針對(duì)過(guò)度離散車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，雖然其參數(shù)估計(jì)值與NB模型、GP1模型差別不明顯，但它會(huì)低估參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與增大參數(shù)的顯著性水平，所以在數(shù)據(jù)存在過(guò)度離散現(xiàn)象時(shí)，Poisson模型要慎用[5].

其次，對(duì)3個(gè)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如圖2所示，當(dāng)n=50，μ=1時(shí)，Poisson模型、GP1模型的AIC值逐漸減小且隨著離散程度的增大趨于平穩(wěn)，NB模型的AIC值逐漸增大且隨著離散程度的增大也逐漸趨于平穩(wěn)；GP1、NB模型整體優(yōu)于Poisson模型；當(dāng)θ<0.5時(shí)，NB模型優(yōu)于GP1模型，當(dāng)0.5<θ<0.8時(shí)，NB模型與GP1模型幾乎無(wú)差別，當(dāng)θ>0.8時(shí)，NB模型優(yōu)于GP1模型.樣本量n=50不變，均值增大到μ=2時(shí)，結(jié)論如圖3所示，可以看出，模型AIC值變化趨勢(shì)和μ=1時(shí)一致，說(shuō)明數(shù)據(jù)均值變化對(duì)模型的優(yōu)良性沒有影響，同樣，當(dāng)n=100，μ=1、n=100，μ=2的情況，結(jié)論也類似，說(shuō)明樣本量n的變化對(duì)模型的優(yōu)良性也沒有影響.對(duì)于BIC值，其變化趨勢(shì)與AIC值大致相同，這里不再贅述.

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用Monte Carlo模擬方法比較研究了Poisson模型、NB模型、GP1模型對(duì)于不同離散程度的車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的擬合效果，并且對(duì)3個(gè)模型的優(yōu)良性進(jìn)行了比較研究.得出以下結(jié)論：1）從模型參數(shù)估計(jì)值來(lái)看，Poisson模型、NB模型、GP1模型3個(gè)模型之間沒有顯著的區(qū)別，如果只是參數(shù)估計(jì)，三者擇一即可，但當(dāng)數(shù)據(jù)存在過(guò)度離散現(xiàn)象時(shí)，用Poisson模型去擬合過(guò)度離散數(shù)據(jù)會(huì)低估參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與增大參數(shù)的顯著性水平，出現(xiàn)較大的模型偏差，所以Poisson要慎用；2）由模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)來(lái)看，NB模型與GP1模型整體優(yōu)于Poisson模型，當(dāng)θ<0.5時(shí)，NB模型優(yōu)于GP1模型，此時(shí)選擇NB模型較好；當(dāng)0.5<θ<0.8時(shí)，NB模型與GP1模型幾乎無(wú)差別，二者擇一即可；當(dāng)θ>0.8時(shí)，NB模型優(yōu)于GP1模型，此時(shí)選擇NB模型較好；并且模型選擇與樣本量n、均值μ的大小無(wú)關(guān).

參考文獻(xiàn)

[1] 楊肇，朱凱旋.Logistic回歸分析中的過(guò)度離散現(xiàn)象及糾正[J].中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，2003（4）：48-49.

[2] 郭海強(qiáng)， 程大麗，黃德生，等.Logistic回歸中數(shù)據(jù)過(guò)度離散及其軟件處理[J].中國(guó)醫(yī)科大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（2）：144-145+166.

[3] Noriszura ISMAIL， Abdul Aziz JEMAIN. Handing overdispersion with negative binomial and generalized poission regression models[C]//Proceedings of Casualty Actuarial Society Forum，2007：102-158.

[4] Richard BERK， John M.MACDONALD. Overdispersion and Poisson regression [J]. Journal of Quantitative Criminology， 2008，24 （3）：269-284.

[5] 楊娟，謝遠(yuǎn)濤.基于過(guò)度離散廣義線性模型的來(lái)電量預(yù)測(cè)[J].統(tǒng)計(jì)與決策， 2013（6）：33-36.

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