具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的平衡信度估計(jì)

程兵　陳萍

摘 要 在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，風(fēng)險(xiǎn)之間具有一定的相依結(jié)構(gòu). 通過(guò)考慮保費(fèi)的目標(biāo)估計(jì)來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)進(jìn)行了研究，采用正交投影的方法求解了最優(yōu)問(wèn)題，在平衡損失函數(shù)下得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的齊次和非齊次信度估計(jì). 結(jié)果表明得到的信度估計(jì)具有經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式.

關(guān)鍵詞 信度估計(jì)；等相關(guān)；正交投影；平衡損失函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào) F840.69；O211.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

在非壽險(xiǎn)中，主要用信度理論給保費(fèi)定價(jià)，這一方法得到了廣泛的應(yīng)用.信度理論的主要思想是利用先驗(yàn)信息與索賠經(jīng)歷對(duì)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)進(jìn)行估計(jì)，將未來(lái)保費(fèi)制定為樣本信息和先驗(yàn)信息的加權(quán)和.信度理論起源于1918年，經(jīng)典的無(wú)分布的信度理論則始于Bühlmann[1]，該模型在20世紀(jì)70年代得到了大大的推廣，之后在1970年，Bühlmann和Straub[2]從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)保單索賠的自然權(quán)重，得到了BühlmannStraub模型.在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，廣大學(xué)者都是在風(fēng)險(xiǎn)間相互獨(dú)立以及在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)時(shí)，歷史索賠是條件獨(dú)立同分布這一假設(shè)下展開(kāi)的.然而，由于現(xiàn)實(shí)生活的復(fù)雜性，這些獨(dú)立性的假設(shè)有時(shí)候是不成立的.保險(xiǎn)合同間具有較強(qiáng)的相依性，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)間相依模型的研究在20世紀(jì)90年后期逐步被重視，在風(fēng)險(xiǎn)間存在共同效應(yīng)的信度理論研究主要是用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)間的共同效應(yīng)，具體見(jiàn)文獻(xiàn)[3]. Wen[4]在風(fēng)險(xiǎn)分布無(wú)要求的前提下，得到了更一般的具有共同效應(yīng)的信度估計(jì).溫利民[5]建立了風(fēng)險(xiǎn)相依情況下的Bühlmann信度模型，并得到了相應(yīng)的非齊次與齊次信度估計(jì).之后，有學(xué)者研究了風(fēng)險(xiǎn)間存在等相關(guān)性的信度模型，并得到保費(fèi)的非齊次和齊次信度估計(jì)，具體見(jiàn)Wen[6]. Zhang[7]研究了具有通脹因子的風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型.

另一方面，保險(xiǎn)公司在制定未來(lái)保費(fèi)時(shí)，往往希望與某個(gè)目標(biāo)相差較小，例如與上一年的保費(fèi).在經(jīng)典的信度模型中，采用平方損失函數(shù)來(lái)估計(jì)通常是達(dá)不到要求的，因此，近年來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出利用平衡損失函數(shù)來(lái)對(duì)保費(fèi)估計(jì)，而且，當(dāng)權(quán)重為0時(shí)，包含了平方損失函數(shù)，所以它得到了廣泛的應(yīng)用.對(duì)該損失函數(shù)下的信度理論可以參考GómezDéniz[8]得到的未來(lái)保費(fèi)的貝葉斯估計(jì).溫利民[9]給出了BühlmannStraub信度估計(jì).張強(qiáng)[10]在平衡損失函數(shù)下討論了指數(shù)形式的信度估計(jì). 最近，張強(qiáng)[11]在平衡損失函數(shù)下，考慮風(fēng)險(xiǎn)之間存在等相關(guān)結(jié)構(gòu)，得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的Bühlmann信度估計(jì).結(jié)合已有的研究成果，本文在平衡損失函數(shù)下研究了具有風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)的BühlmannStraub信度模型，得到了多合同保單的齊次和非齊次信度估計(jì)，推廣了文獻(xiàn)[6，11]的結(jié)果.

4 結(jié) 論

本文在平衡損失函數(shù)下，采用轉(zhuǎn)換概率分布，研究了風(fēng)險(xiǎn)間具有等相關(guān)性的多個(gè)合同保單的BühlmannStraub信度估計(jì)，得到了μ（Θi）的非齊次與齊次信度估計(jì).一方面滿(mǎn)足了保險(xiǎn)公司在制定未來(lái)保費(fèi)時(shí)希望的目標(biāo)保費(fèi)，另一方面可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來(lái)的誤差過(guò)高或過(guò)低的不足.推廣了經(jīng)典的信度模型及文獻(xiàn)[6， 11]的結(jié)果，給非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司制定下期保費(fèi)提供了理論依據(jù).

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