在比較和發(fā)現(xiàn)中探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)
——《倍數(shù)和因數(shù)》教學(xué)新設(shè)計(jì)

任衛(wèi)兵（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第30～31頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、準(zhǔn)備

課前，每位學(xué)生獨(dú)立、自主完成“倍數(shù)和因數(shù)”研究學(xué)習(xí)。

（材料單類似于教材第30至31的內(nèi)容，只是在找出36的所有因數(shù)時(shí)，材料中僅提供了一種“列舉除法算式”的方法，另外材料中也沒(méi)有直接呈現(xiàn)出一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)有什么特點(diǎn)。材料單的最后，還精心設(shè)計(jì)了三個(gè)閱讀提示：1.學(xué)習(xí)材料中有三道例題，每一道例題講的是什么？2.如有興趣，可以嘗試完成例題和“試一試”。3.在閱讀的過(guò)程中，如有發(fā)現(xiàn)可以寫在相應(yīng)的地方）

二、匯報(bào)

師：課前，我們已就“倍數(shù)和因數(shù)”進(jìn)行了閱讀，這節(jié)課我將和同學(xué)們一起繼續(xù)深入閱讀。這部分內(nèi)容有三道例題，說(shuō)一說(shuō)每道例題講的是什么？

生：第一道例題講了“4×3＝12,4和3都是12的因數(shù)，12是4的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)”。

師：簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是什么是倍數(shù)和因數(shù)。

生：第二道例題介紹了怎樣找出3的倍數(shù)。

生：第三道例題講了怎樣找出36的所有因數(shù)。

（結(jié)合學(xué)生回答，板書(shū)：1.什么是倍數(shù)和因數(shù)？2.怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)？3.怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)）

師：今天我們將圍繞這三個(gè)方面作進(jìn)一步的探究。

三、探究

1.什么是倍數(shù)和因數(shù)？

師：既然同學(xué)們都進(jìn)行了課前閱讀，那就請(qǐng)你們先舉一道乘法算式，對(duì)照算式說(shuō)一說(shuō)，什么是倍數(shù)和因數(shù)？

生：2×5＝10,10是 2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)。2和5都是10的因數(shù)。

師：在課前閱讀中，同學(xué)們一定看到了這樣一段話“4×3=12，12是 4的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)，4和3都是12的因數(shù)”，那如果說(shuō)“12是倍數(shù)，4和3是因數(shù)”對(duì)不對(duì)呢？

生：這樣說(shuō)不對(duì)。比如12是1的倍數(shù)，也是2的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)，它不是所有數(shù)的倍數(shù)。

生：倍數(shù)和因數(shù)是相對(duì)的。比如12和3，12是3的倍數(shù)；12和24，12卻是24的因數(shù)。所以說(shuō)“12是倍數(shù)”是不對(duì)的。

師：我們?cè)谡f(shuō)倍數(shù)（或因數(shù)）時(shí)，必須說(shuō)明誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)（或因數(shù)），不能單獨(dú)說(shuō)誰(shuí)是倍數(shù)（或因數(shù)）。倍數(shù)和因數(shù)是一種相互依存的關(guān)系，不能單獨(dú)存在。（板書(shū)：相互依存）

師：接下來(lái)請(qǐng)同桌的兩個(gè)人，每人寫一道乘法算式，讓同桌說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)？

（教師巡視了解學(xué)生完成的情況。如發(fā)現(xiàn)有學(xué)生編寫了“0乘一個(gè)數(shù)等于0”的算式，則相機(jī)強(qiáng)調(diào)：為了方便，我們?cè)谘芯勘稊?shù)和因數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)）

師：（課件出示：20÷4＝5、3＋4＝7）這里的兩個(gè)算式，你能從中選一個(gè)，說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)或倍數(shù)嗎？

生：我選第一個(gè)算式，20是4的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，4和5都是20的因數(shù)。

生：我也選第一個(gè)算式，根據(jù)“20÷4＝5”，我們就可以想到“4×5＝20”。而“3＋4＝7”是一個(gè)加法算式，不能說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)或因數(shù)。

生：如果把第二個(gè)算式改成“3＋3＝6”或者“4＋4＝8”，我們就能說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)或因數(shù)了。

師：剛才幾個(gè)同學(xué)的回答非常精彩！倍數(shù)和因數(shù)是建立在乘法或除法的基礎(chǔ)上的。關(guān)于“什么是倍數(shù)和因數(shù)”，都弄明白了吧？我們來(lái)看第二道例題。

2.怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)？

師：通過(guò)閱讀，相信大家要找到一個(gè)數(shù)的倍數(shù)并不難，難就難在能不能有順序地找出來(lái)？下面我們來(lái)比一比：在10秒鐘的時(shí)間里，看誰(shuí)寫出的3的倍數(shù)最多？

（讓學(xué)生在草稿本上寫出3的倍數(shù)。并請(qǐng)寫得多的學(xué)生進(jìn)行口頭匯報(bào)）

師：寫得多的同學(xué)肯定有他獨(dú)到的方法，我們請(qǐng)寫得最多的兩個(gè)同學(xué)介紹一下他們各自的方法。

生：我是用3依次去乘1、2、3、4、5 的。

生：我是用3依次加上3的，3加3等于6，6加3等于9……

師：如果老師也來(lái)和你們一起比賽，那我可能只需要5秒鐘，就能寫得比你們中的任何一個(gè)人都要多，你們信嗎？

（學(xué)生倒數(shù)5秒，教師板書(shū)——3的倍數(shù)：3，6，9，12，15……學(xué)生一開(kāi)始“認(rèn)為”老師“投機(jī)取巧”，漸漸地“明白”了老師獲勝的“理由”）

師：由于一個(gè)數(shù)的倍數(shù)永遠(yuǎn)也寫不完，因此我們?cè)趯懸粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，通常只要按順序依次寫出4、5個(gè)，再在后面添上——

生：省略號(hào)。

師：請(qǐng)大家用這種方法，分別寫出2的倍數(shù)和5的倍數(shù)。

（指名讓學(xué)生匯報(bào)）

3 的倍數(shù)有 3，6，9，12，15……

2 的倍數(shù)有2，4，6，8，10……

5 的倍數(shù)有：5，10，15，20，25……

（課件出示：觀察上面的例子：這三個(gè)數(shù)的倍數(shù)有些什么共有的特點(diǎn)）

師：觀察上面的例子，找一找這三個(gè)數(shù)的倍數(shù)有些什么共同的特點(diǎn)？

生：這三個(gè)數(shù)的倍數(shù)都有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：這個(gè)同學(xué)關(guān)注的是一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的“個(gè)數(shù)”。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。（板書(shū)：無(wú)限的）

生：我發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)中，最小的就是它自己。

師：他關(guān)注的是一個(gè)數(shù)的“最小”的倍數(shù)。一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)就是它本身。（板書(shū)：最小它本身）

師：由“最小”，自然會(huì)想到“最大”。那一個(gè)數(shù)有沒(méi)有最大的倍數(shù)呢？

生：因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以沒(méi)有最大的。

（教師完成板書(shū)：倍數(shù) 最小 它本身；最大 沒(méi)有；個(gè)數(shù)無(wú)限）

3.怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)？

（1）分工合作。

師：怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)？學(xué)會(huì)了。那怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)呢？

師：當(dāng)你們閱讀到這一句“你能找出36的所有因數(shù)嗎”，你是直接往下看材料上的答案，還是先不看自己主動(dòng)嘗試的呢？

（有一部分學(xué)生是直接閱讀的，也有一部分學(xué)生是先自主嘗試的）

師：請(qǐng)舉例說(shuō)一說(shuō)，哪些是36的因數(shù)？

師：看來(lái)，找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)也不難。有什么好辦法能夠不重復(fù)、不遺漏地找出36的所有因數(shù)呢？

（出示小組活動(dòng)要求：①討論：怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地找出36的所有因數(shù)？②把思考的過(guò)程用算式表示出來(lái)，填寫學(xué)習(xí)單。③嘗試：有沒(méi)有其它的方法）

（2）小組交流。

第一組學(xué)生：我們是用列乘法算式的方法，1×36＝36、2×18＝36、3×12＝36、4×9＝36、6×6＝36。因?yàn)閮蓚€(gè)“6”相同，我們只要寫一個(gè)“6”，36的因 數(shù) 有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

師：聽(tīng)了他們的匯報(bào)，你還有什么想說(shuō)的？

生：我覺(jué)得每寫出一個(gè)乘法算式，我們就可以找到36的兩個(gè)因數(shù)。這樣一對(duì)一對(duì)地找，比較方便。

生：我補(bǔ)充一下，如果兩個(gè)數(shù)相同，比如“6×6＝36”，那我們只能找到36的一個(gè)因數(shù)是“6”。

師：剛才兩位同學(xué)，一個(gè)總結(jié)得好，一個(gè)補(bǔ)充得好。除了這種方法外，還有沒(méi)有其他的方法？

第二組學(xué)生：我們用的是列除法算式的方法，36÷1＝36、36 ÷2 ＝18、36 ÷3 ＝12、36÷4＝9、36÷6＝6。36 的因數(shù)有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。

師：兩組同學(xué)，一乘一除，方法雖有所不同，但也有一些是相同的。

生：他們都是一對(duì)一對(duì)找的。

生：當(dāng)兩個(gè)因數(shù)相同時(shí)，我們只要寫一個(gè)就行了。

生：在寫出36的所有因數(shù)時(shí)，都是按從小到大的順序依次寫的。

（3）自主嘗試。

師：請(qǐng)大家在草稿本上直接寫出15、16的所有因數(shù)。

（學(xué)生匯報(bào)）

（課件出示：36的因數(shù)有1，2，3，4，6，9，12，18，36。15 的因數(shù)有 1，3，5，15。16 的因數(shù)有1，2，4，8，16。）

我思考：

觀察上面的例子：這三個(gè)數(shù)的因數(shù)有些什么共同的特點(diǎn)？

師：剛才我們是從哪三個(gè)方面來(lái)概括一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特點(diǎn)的？那一個(gè)數(shù)的因數(shù)又有什么特點(diǎn)呢？

生：一個(gè)數(shù)的最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。

（根據(jù)學(xué)生回答，完成板書(shū)：因數(shù) 最小 1；最大 它本身；個(gè)數(shù) 有限）

四、總結(jié)

師：通過(guò)大家的交流，你對(duì)“倍數(shù)和因數(shù)”又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

生：我知道了倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。

生：我們還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的特點(diǎn)。

五、拓展

師：古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密?！边@句話是什么意思？這里的220與284又有怎樣的關(guān)系？你們知道嗎？

生：好像220與284有一種你中有我、我中有你的關(guān)系。

生：可能與它們的因數(shù)有關(guān)。

師：那我們一起來(lái)探尋它們之間的秘密吧。

（課件播放：原來(lái)，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，在自然數(shù)220與284之間，有一種非常奇妙的關(guān)系。220共有12個(gè)不同的因數(shù)：1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，220。如果不算220它自身這個(gè)因數(shù)，那么，220所有因數(shù)的和正好等于284。

284共有6個(gè)不同的因數(shù)：1，2，4，71，142，284。如果不算284它自身這個(gè)因數(shù)……）

師：猜一猜，如果不算284它自身這個(gè)因數(shù)，那么284所有因數(shù)的和可能等于多少？

（學(xué)生不約而同地算起來(lái)，并相繼說(shuō)出和是220）

（課件繼續(xù)播放：你的真因數(shù)之和等于我，我的真因數(shù)之和又正好等于你，這對(duì)奇異的數(shù)真像一對(duì)親密無(wú)間的朋友。數(shù)學(xué)上，把具有這樣特征的自然數(shù)叫做“親和數(shù)”。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的220和284，是人類認(rèn)識(shí)的第一對(duì)親和數(shù)，也是最小的一對(duì)親和數(shù)。古時(shí)候，親和數(shù)也被涂上了神秘的色彩。人們常把這兩個(gè)數(shù)分別寫在兩個(gè)護(hù)身符上，認(rèn)為佩帶這種護(hù)身符的兩個(gè)朋友，就能保持良好而長(zhǎng)久的友誼。近百年來(lái)，不斷有新的親和數(shù)被發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在，人們找到的親和數(shù)已經(jīng)超過(guò)了1200多對(duì)……）

（在學(xué)生不斷發(fā)出的驚嘆聲中，新課告一段落）

【教學(xué)設(shè)想】

1.《倍數(shù)和因數(shù)》一課的教學(xué)，采用了一種新的課堂結(jié)構(gòu)，改變了原來(lái)固有的教學(xué)模式。從我準(zhǔn)備、我匯報(bào)、我探究、我總結(jié)，到我拓展，突出了學(xué)生的主體地位，做到了真正放手讓學(xué)生去思考。圍繞課前提煉的三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論、交流，不斷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

2.《倍數(shù)和因數(shù)》一課的教學(xué)，體現(xiàn)了教者努力構(gòu)建數(shù)學(xué)故事課程的思想。把數(shù)學(xué)的知識(shí)、道理、法則等融入學(xué)生所喜聞樂(lè)見(jiàn)的故事中，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的人文特性。引入“畢達(dá)哥拉斯”的一句名言，讓學(xué)生通過(guò)猜疑、想象、嘗試、驗(yàn)證，最終理解了其中的意蘊(yùn)。把數(shù)學(xué)的知識(shí)、道理、思想等寓于故事中，更易走進(jìn)學(xué)生的內(nèi)心，更易被學(xué)生所接受。

3.《倍數(shù)和因數(shù)》一課，詮釋出一種新型的教學(xué)設(shè)計(jì)觀。“知識(shí)”層面，簡(jiǎn)單地說(shuō)，哪些知識(shí)是不需要學(xué)生探究的，就放手讓學(xué)生自學(xué)；哪些知識(shí)是需要經(jīng)歷獨(dú)立思考、相互交流、教師引導(dǎo)才能加深理解的，則要大張旗鼓地進(jìn)行導(dǎo)學(xué)。“自主”層面，我們倡導(dǎo)的“自主”并不是完全意義上的自主，而是在教師指導(dǎo)、幫助下的自主?！叭宋摹睂用妫覀儾粌H要通過(guò)教師的言行舉止，給學(xué)生積極的暗示、正向的影響，還要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容鏈接相關(guān)素材，給學(xué)生真、善、美的啟迪，知、思、行的改變與擴(kuò)展。