探究明理感受數(shù)學(xué)魅力
——《判斷2、3、5的倍數(shù)特征》一課的教學(xué)與說(shuō)明

羅鳴亮

【課前思考】

在一次教學(xué)研討活動(dòng)中，觀摩了一位教師執(zhí)教的《3的倍數(shù)特征》一課。課中有學(xué)生質(zhì)疑“3的倍數(shù)為什么要看各個(gè)數(shù)位上的和”，教師一帶而過(guò)；課后追問(wèn)現(xiàn)場(chǎng)教師是否知道背后的道理，均都搖頭否定。這引起了筆者的思考——師生是不是只要知道3的倍數(shù)特征就行了？這個(gè)道理是否能在課堂上讓學(xué)生明白透徹？

帶著思考，查閱幾套版本教材，發(fā)現(xiàn)教材在教學(xué)2、3、5倍數(shù)特征這一內(nèi)容時(shí)，幾套教材均借助百數(shù)圖，讓學(xué)生通過(guò)觀察，尋找到2、3、5倍數(shù)的特征，但是對(duì)于其特征背后的道理，并無(wú)進(jìn)一步探究，僅是在最后以“你知道嗎”“百花園”等欄目，做簡(jiǎn)單的介紹。再查閱臺(tái)灣版教材，筆者看到教材利用數(shù)形結(jié)合的方式，借助對(duì)方格圖進(jìn)行平均分，讓學(xué)生明白：判斷這個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，就是要把每個(gè)數(shù)位上表示的數(shù)，3個(gè)3個(gè)分，分剩下的再合起來(lái)分進(jìn)行判斷的。141就是把1個(gè)百、4個(gè)十都分別3個(gè)3個(gè)分，分剩下的1和4再加上個(gè)位的1得到“1+4+1”的判斷方法。這樣的處理，從倍數(shù)的本質(zhì)特征入手，不僅讓學(xué)生知道該怎么判斷3的倍數(shù)，而且理解為什么這么判斷的道理，讓學(xué)生明明白白地學(xué)數(shù)學(xué)。

“好的數(shù)學(xué)教學(xué)，是把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想融為一體的教學(xué)?！蔽覀兪欠褚蕴骄窟@一知識(shí)背后的道理為載體，設(shè)計(jì)一節(jié)拓展課，讓學(xué)生深入明白知識(shí)的來(lái)龍去脈。這既是對(duì)已有知識(shí)的有效拓展，又有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究欲望，讓學(xué)生在探究中真正感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，以培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生通過(guò)自主提出問(wèn)題，借助小組討論、舉例說(shuō)等方法，探索解決“為什么判斷2、5的倍數(shù)只要看個(gè)位，而判斷3的倍數(shù)要看各位上數(shù)的和”這一規(guī)律背后的道理。

2.在自主探究、交流互動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展推理能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，滲透抽象、推理、符號(hào)化等數(shù)學(xué)思想。

3.激起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的探究欲望，感受數(shù)學(xué)的理性精神。

【教學(xué)過(guò)程】

一、喚醒舊知，產(chǎn)生新問(wèn)題

師：前不久，我們學(xué)了 2、3、5的倍數(shù)的特征。判斷一個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)，怎么判斷？

生：看一個(gè)數(shù)的個(gè)位上是不是0或5。

師：那么3呢？

生：所有數(shù)位上的數(shù)字相加是3的倍數(shù)。

師：是的，5的倍數(shù)看個(gè)位，3的倍數(shù)看各個(gè)數(shù)位的和，對(duì)比一下，你有新的問(wèn)題產(chǎn)生嗎？

生：它們的公倍數(shù)是誰(shuí)？

師：學(xué)過(guò)了嗎？那就不是問(wèn)題了。還有嗎？

（學(xué)生沉默）

師：剛才說(shuō)過(guò)了，5的倍數(shù)看個(gè)位，3的倍數(shù)看的是各個(gè)數(shù)位，我女兒學(xué)完這節(jié)課以后，她提出了一個(gè)問(wèn)題，你猜她會(huì)提什么問(wèn)題？

生：為什么5的倍數(shù)只要看個(gè)位就行了，而3的倍數(shù)為什么要看全部位數(shù)？

師：這個(gè)問(wèn)題提的好嗎？

生：好。

師：好在哪？

生：把3和5的倍數(shù)之間的判斷方法之間作了比較，產(chǎn)生新問(wèn)題。

【說(shuō)明：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，從已有的知識(shí)入手，讓學(xué)生在比較中提出新的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力。】

二、感悟判斷5、2倍數(shù)特征的道理

1.初步思考，嘗試尋找答案。

師：我們先看第一個(gè)問(wèn)題，為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)只要看個(gè)位數(shù)？其他數(shù)位都不用看呢？同桌之間先討論一下，說(shuō)一說(shuō)，看看怎么解決這個(gè)問(wèn)題？

師：一組一個(gè)代表，誰(shuí)先來(lái)？

生：比如說(shuō)兩個(gè)5相加，它末尾是0，偶數(shù)個(gè)5相加，得數(shù)的個(gè)位是0；奇數(shù)個(gè)5相加，得數(shù)的個(gè)位是5，所以5的倍數(shù)個(gè)位只能是0或5。

(學(xué)生鼓掌)

師：都同意了？有沒(méi)有不同意見(jiàn)？或者補(bǔ)充呢？

生：我和我的同桌還有一種判斷方法，就是一個(gè)奇數(shù)乘以5，它的個(gè)位一定是5；一個(gè)偶數(shù)乘以5，它的個(gè)位一定是0。

師：想想看，我們提出的問(wèn)題是：為什么判斷這個(gè)數(shù)是不是5的倍數(shù)為什么只看個(gè)位呢？而其他數(shù)位都不用看呢？

生：我認(rèn)為它或許是因?yàn)槭?、百位、千位、萬(wàn)位等位數(shù)都是由個(gè)位進(jìn)過(guò)來(lái)的，所以只需要看個(gè)位。

師：誰(shuí)聽(tīng)明白了？

生：我有補(bǔ)充，就是除了個(gè)位外，其他數(shù)位上的數(shù)表示的末尾都是0，百位表示幾百，末尾有0，十位表示幾十，末尾也有0。有0的就是5的倍數(shù)，而那個(gè)只要看個(gè)位是不是5的倍數(shù)就可以了。

2.舉例講理，初步理解道理。

師：你真聽(tīng)懂了？誰(shuí)能說(shuō)清楚？

生：我認(rèn)為應(yīng)該是可以把它分成幾部分，比如說(shuō)是1995，可以把它分成1000、900、90和5，1000可以被5整除。

師：聽(tīng)懂的請(qǐng)舉手。真好，有些同學(xué)聽(tīng)懂了，有些同學(xué)沒(méi)聽(tīng)懂，怎么辦？想想看，如何讓大家都能聽(tīng)懂？

生：我可以舉個(gè)例子，比如說(shuō)1995，可以把它分成4部分，分別是 1000、900、90、5，然后1000是5的倍數(shù)，900也是5的倍數(shù)，90也是，5也是5的倍數(shù)。

師：聽(tīng)明白了？還有不懂的嗎？重要的事情——

生：說(shuō)三遍。

師：好，你可以到黑板上寫(xiě)一寫(xiě)，掌聲請(qǐng)他。

生：（寫(xiě) 1995），我把 1995分成四部分，然后再用1000除以5，可以算出它是5的倍數(shù)，然后再用900除以5，它也是5的倍數(shù)，然后90和5也是同樣的。

師：那為什么你只看個(gè)位，其他位不用看呢？

生：因?yàn)樗鼈兊膫€(gè)位都是0，都是5的倍數(shù)，所以不用看。

3.數(shù)形結(jié)合，直觀理解道理。

師：我們一起來(lái)理解他所說(shuō)的，這里（十位）寫(xiě)個(gè)1,1是5的倍數(shù)嗎？是還是不是？1怎么會(huì)是5的倍數(shù)呢？

生：因?yàn)檫@個(gè)1在十位上，10是5的倍數(shù)。

師：對(duì)不對(duì)？掌聲送給他！是的，這個(gè)1（課件出示），5個(gè)5個(gè)地分，剛好分完。

師：（在計(jì)數(shù)器上撥3個(gè)珠子）現(xiàn)在呢？是不是5的倍數(shù)？為什么是？

生：因?yàn)樗硎?個(gè)十。

師：現(xiàn)在不讓大家看見(jiàn)，（教師隱藏計(jì)數(shù)器，在十位上撥任意珠子）現(xiàn)在呢？是不是5的倍數(shù)？你沒(méi)看到，怎么知道是呢？

生：因?yàn)槭簧蠠o(wú)論撥幾個(gè)珠子都能被5整除。

師：為什么？

生：因?yàn)槊總€(gè)十都是由2個(gè)5組成的，十位表示的是有幾個(gè)十，一個(gè)十有2個(gè)5，不管幾個(gè)十都能被5整分。

師：真好。那我現(xiàn)在不在十位撥了，百位是1，是5的倍數(shù)嗎？講道理，為什么？

生：100里面有10個(gè)10，然后10是可以被5整除的，10個(gè)10也能被5整除。

師：對(duì)，猜猜接下來(lái)我會(huì)在哪一位上撥？

生：（興奮地喊）千位。

師：確定？對(duì)不起，你們都猜錯(cuò)了。我為什么不在千位上撥了？

生：千位和百位、十位都一樣，因?yàn)?000是由10個(gè)100組成，而100能被5整除。

師：真好，是的，那么千位還用看嗎？（不用看）猜猜，我接下來(lái)?yè)苣囊晃唬?/p>

生：個(gè)位。

師：（隱藏計(jì)數(shù)器，在個(gè)位上撥任意珠子）現(xiàn)在呢？怎么啦？

生：不一定是5的倍數(shù)。

生：因?yàn)槿绻銈€(gè)位撥了1個(gè)的話，不是5的倍數(shù)，在個(gè)位撥5才能是5的倍數(shù)。

生：或者你沒(méi)撥，就是0，就沒(méi)必要分了，一定是5的倍數(shù)。

師：同學(xué)們說(shuō)得真有道理。我們一起來(lái)看看剛才撥了幾個(gè)？6個(gè)珠子，5個(gè)5個(gè)地分，還余1個(gè)?，F(xiàn)在你明白了為什么判斷是不是5的倍數(shù)只看個(gè)位，其他數(shù)位不用看的道理了嗎？

生：因?yàn)槠渌麛?shù)位上的數(shù)表示的是幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千……，它們一定是5的倍數(shù)，所以不用看。

4.方法遷移，明白判斷2的倍數(shù)特征的道理。

師：5的道理是這樣，想想看，誰(shuí)和5的道理是一樣的？

生：2。

師：為什么？

生：因?yàn)樗氖?，如?個(gè)十的話，它里面就有5個(gè)2，100里面就有50個(gè)2，1000就是500個(gè)2，所以十位、百位、千位都不用看。個(gè)位不撥的時(shí)候，或者撥 2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)，然后才能是2的倍數(shù)，其他都不是2的倍數(shù)。

師：說(shuō)得好嗎？

師：是的，他剛才講的1個(gè)十里面可以分成5個(gè)2，不僅講到百，還講到千了，是吧？所以判斷2的倍數(shù)的道理和5的道理是一樣的。

【說(shuō)明：數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在過(guò)程中實(shí)現(xiàn)，只有經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的精髓，才能感悟數(shù)學(xué)思想和方法，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在此環(huán)節(jié)中，通過(guò)學(xué)生自主探究2的倍數(shù)這一特征的道理，讓其借助舉例、畫(huà)圖等直觀方式，學(xué)生從表述不清晰的說(shuō)理，到結(jié)合舉例實(shí)例說(shuō)理，到最后借助板書(shū)，根據(jù)數(shù)的組成，清楚地表達(dá)出自己的觀點(diǎn)，逐步推理出判斷2的倍數(shù)只要看個(gè)位數(shù)的道理，我們看到學(xué)生的思考在逐步深入，逐步完善?！?/p>

三、明晰判斷3的倍數(shù)的道理

1.反思總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)。

師：5、2的道理都明白了，但是判斷3的倍數(shù)為什么不能只看個(gè)位呢？

生：因?yàn)?個(gè)3個(gè)分結(jié)果是不確定的，可能是0，可能是1，可能是2等等，所以不能看個(gè)位，得總體來(lái)看。

師：為什么不確定？為什么要總體來(lái)看呢？

生：就是因?yàn)?0不能被3整除，100不能被3整除，1000也不能被3整除。它有余數(shù)，所以必須和最后的個(gè)位加起來(lái)判斷。

師：你聽(tīng)懂了沒(méi)有？他說(shuō)的和你說(shuō)的有什么不一樣？

生：他是從10出發(fā)來(lái)考慮的，因?yàn)?0可以組成百、千、萬(wàn)等等。

師：真好！你解讀好了，他為什么懂得從10考慮，你怎么沒(méi)想到？

生：大概是我沒(méi)反應(yīng)過(guò)來(lái)吧，沒(méi)結(jié)合2和5，所以我以后考慮問(wèn)題應(yīng)該全面點(diǎn)。

師：會(huì)反思的孩子，掌聲送給他！

2.合作探究，互動(dòng)說(shuō)理。

師：這位同學(xué)結(jié)合2和5的經(jīng)驗(yàn)來(lái)思考。你看，10個(gè)珠子3個(gè)3個(gè)分？剩1個(gè)，那就產(chǎn)生了我們要解決的第二個(gè)問(wèn)題，是什么？想自己研究嗎？（想）你準(zhǔn)備怎么研究？

生：舉例子，尋找規(guī)律。

師：真好，會(huì)用剛才的方法來(lái)探究了。我已經(jīng)給大家準(zhǔn)備了探究單，在抽屜里，請(qǐng)拿出來(lái)，先獨(dú)立思考，再同桌商量，最后小組交換意見(jiàn)。

師：好，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你們的想法？

生1：我先舉個(gè)例子，比如說(shuō)12，我們先把10拆分開(kāi)，用10除以3它還余下了1，這個(gè)1再加上個(gè)位上的2就等于3，可以被3整除，所以12這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。

師：聽(tīng)懂的請(qǐng)舉手，有什么問(wèn)題要問(wèn)他的嗎？

生2：是所有十位以上的整數(shù)都是除以3后余下1嗎？

生1：是每個(gè)十除以3都余下1。

生2：那300呢？

生 1：300可以分成 3個(gè)100，100除以3余下了1個(gè)1，3個(gè)100就余下了3個(gè)1。

師：這個(gè)同學(xué)不得了，你舉的12，他一下子舉出更大的數(shù)。沒(méi)關(guān)系，我們先來(lái)看看12，剛才把12分成10和2,，你看，10個(gè)珠子，把10個(gè)珠子3個(gè)3分余下1個(gè)，為什么要加2？

生：因?yàn)閭€(gè)位還沒(méi)有算，所以要1＋2。

師：哦，1加2的1表示什么？這個(gè)1是哪來(lái)的？

生：是10除以3之后余下來(lái)的1。

師：余下的這個(gè)1有沒(méi)有被分掉？那為什么要加2呢？

生：因?yàn)閭€(gè)位上有個(gè)2，再加10除下來(lái)的1，又可以湊起來(lái)。

師：聽(tīng)懂了嗎？那好，22我們是怎么判斷的？

生：首先把這個(gè)22的20分成2個(gè)10，1個(gè)10除以3后它就會(huì)余下1個(gè)1，2個(gè)10除以3后也會(huì)余下來(lái)2個(gè)1，然后加上個(gè)位的2，2+2=4，4不能被3整除，所以4不是3的倍數(shù)。

師：同意嗎？這個(gè)同學(xué)還用框框表示出，這里的兩個(gè)2是不一樣的。一個(gè)表示2個(gè)十，一個(gè)表示分剩下的2個(gè)一再加2個(gè)。掌聲祝賀她，你可以驕傲地走回去。

師：要不要來(lái)個(gè)大一點(diǎn)的？42我們?cè)趺磁袛?？?加2）

生：4個(gè)十3個(gè)3個(gè)分，就余4個(gè)1,4個(gè)1加上個(gè)位上的2，是6,6可以被3整除，就是3的倍數(shù)，

師：同意嗎？

生：我想給他補(bǔ)充一下，4個(gè)10它能分成4個(gè)9，4個(gè)9加4。9是能被3整除的，所以4乘9肯定能被3整除的。余下來(lái)的4加上末尾的2是6，6也能被3整除。所以他們表述的4個(gè)1，是40剩下來(lái)的4個(gè)1。

師：你們有沒(méi)有聽(tīng)明白？為什么大家都覺(jué)得同意了，他還要補(bǔ)充呢？補(bǔ)充的和它有什么不一樣呢？3個(gè)十怎么會(huì)余3呢？

生：每個(gè)十余1，3個(gè)十就余3。

師：那這個(gè)3不是還可以分嗎？

生：現(xiàn)在先不分，把它留到最后面分。

師：所以你一直要強(qiáng)調(diào)？

生：把它分成4個(gè)9余4。

師：在大家的互相補(bǔ)充中，我們又有些新的認(rèn)識(shí)，要不要換個(gè)大一點(diǎn)的數(shù)？

師：誰(shuí)來(lái)講道理？142怎么判斷？為什么呢？

生：因?yàn)?00除以3，除不盡，有余數(shù)。（停頓思考）

師：對(duì)了，那“142”里的這個(gè)1與底下的“1+4+2”的1一樣嗎？

生：不一樣。

師：有什么不一樣？

生1：上面的1表示的是1個(gè)百，下面的1表示的是余下來(lái)的1。

生2：1個(gè)百3個(gè) 3個(gè)分，分了99個(gè)，還余1個(gè)。

師：這里的4呢？

生：1個(gè)十3個(gè)3個(gè)分，余1個(gè)，4個(gè)十就余4。

師：那你明白“1+4+2”的道理了嗎？

生：就是1個(gè)百3個(gè)3個(gè)分余1個(gè)，4個(gè)十3個(gè)3個(gè)分余4個(gè)，把余下來(lái)的1個(gè)、4個(gè)還有個(gè)位的2個(gè)合起來(lái)再一起分，如果能分完就是3的倍數(shù)，如果不能分完就不是3的倍數(shù)。

3.符號(hào)抽象，明晰道理。

（教師板書(shū)：abc）

師：這個(gè)數(shù)咱們?cè)趺磁袛嗍遣皇?的倍數(shù)呢？同桌之間先小聲地說(shuō)一說(shuō)。

師：孩子你上來(lái)。（掌聲）

生：先算a除以3等于多少，看它余下來(lái)多少，再算b除以3等于多少，看它余下來(lái)多少，最后看c除以3等于多少，看它余下來(lái)多少。

生：a個(gè)百余下來(lái)是a，b個(gè)十就是余下來(lái)b,c個(gè)一就是余下來(lái)c。

師：為什么要把它加起來(lái)呢？

生：合在一起分，看看是不是能分完，就能判斷是不是3的倍數(shù)。

【說(shuō)明：學(xué)生經(jīng)歷5、2倍數(shù)特征的道理探究后，再探究3的倍數(shù)特征時(shí)，已具有研究經(jīng)驗(yàn)和研究方法做支撐，探究就變得有道可循。為此，本環(huán)節(jié)在學(xué)生合作探究、交流中，加上教師關(guān)鍵的追問(wèn)，得出為什么3的倍數(shù)要看各位上數(shù)的和的道理。讓學(xué)生在反思、抽象、概括中，內(nèi)化為自身的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最后借助符號(hào)總結(jié)歸納，完成論證推理過(guò)程，從中獲取成功的喜悅?！?/p>

四、反思總結(jié)

師：想想看，今天這節(jié)數(shù)學(xué)課與平時(shí)有不同的地方嗎？

生：平時(shí)的數(shù)學(xué)課不往里面挖的，這節(jié)課我知道了為什么3的倍數(shù)這樣判斷。我知道了它里面究竟是什么意思，我也知道了2和5的倍數(shù)的意思，我覺(jué)得我這節(jié)課收獲挺大的。

生：我覺(jué)得平時(shí)我們上數(shù)學(xué)課老師直接教我們方法，這節(jié)課我們是尋找為什么要這樣做。刨根問(wèn)底，歸納方法。

生：……

【說(shuō)明：借助反思，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不僅要知其然，還要知其所以然，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獨(dú)特魅力?！?/p>

【課后思考】

教學(xué)的最高境界是在教給學(xué)生知識(shí)與方法的同時(shí)，還要讓學(xué)生在探究知識(shí)的過(guò)程中感悟和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)態(tài)度、數(shù)學(xué)精神。令學(xué)生悟之得“智”，真正變得聰慧起來(lái)。教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)該借助具體的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，讓學(xué)生在探究知識(shí)的來(lái)龍去脈中，領(lǐng)略、感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力！