確定采樣型非線性濾波器的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)*

劉　煒　楊智勇　叢源材　劉群杰　康宇航

(1.91980部隊(duì)裝備處　煙臺(tái)　264000)(2.海軍航空工程學(xué)院　煙臺(tái)　264001)(3.91515部隊(duì)67分隊(duì)　三亞　572016)

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確定采樣型非線性濾波器的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)*

劉煒1楊智勇2叢源材2劉群杰3康宇航2

(1.91980部隊(duì)裝備處煙臺(tái)264000)(2.海軍航空工程學(xué)院煙臺(tái)264001)(3.91515部隊(duì)67分隊(duì)三亞572016)

摘要UKF、CDKF和CKF是近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外得到廣泛研究和應(yīng)用的一類非線性濾波器,它們具有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是在濾波過(guò)程中通過(guò)一組確定采樣點(diǎn)來(lái)計(jì)算非線性變換后的一二階矩,因此將其統(tǒng)稱為確定采樣型濾波器。論文首先從確定型采樣濾波器的理論發(fā)展與其在導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用出發(fā),介紹了國(guó)內(nèi)外在該領(lǐng)域最新的研究情況。結(jié)合確定采樣型濾波器的特點(diǎn),對(duì)UT變換、插值法則、容積法則三種確定采樣型非線性濾波方法進(jìn)行了介紹。最后,對(duì)確定采樣型濾波器的未來(lái)發(fā)展、應(yīng)用前景作了展望。

關(guān)鍵詞非線性濾波; 確定型采樣; 協(xié)方差; 確定采樣

Research Status and Development of Deterministic Sampling Nonlinear Filters

LIU Wei1YANG Zhiyong2CONG Yuancai2LIU Qunjie2KANG Yuhang2

(1. The Office Equipment, No. 91980 Troops of PLA, Yantai264000) (2. Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai264001)(3. Unit 67, No. 91515 Troops of PLA, Sanya572016)

AbstractUKF, CDKF, and CKF belong to the same kind of nonlinear filters which is used widely in recent years. They are called as certainty sample filter because they have one common feature that calculating the first and second moment by a set of certainty sample points in the filtering process. Firstly, this paper introduces the last research status at home and abroad based on the deterministic sampling nonlinear filters’ theory and its application in the navigation. Then three deterministic sampling nonlinear filters’ method which are UT transform, interpolation principle and volume rule are introduced. At last, this paper makes a prospect of deterministic sampling Nonlinear Filters.

Key Wordsnonlinear filtering, deterministic sampling, covariance, deterministic sampling

Class NumberV488.234

1引言

工程實(shí)際中遇到的大多數(shù)系統(tǒng),其本質(zhì)上都是非線性的。但是大部分成熟的理論都是針對(duì)線性系統(tǒng)的,因此在建立系統(tǒng)模型時(shí),通常會(huì)通過(guò)一些假設(shè)條件(例如對(duì)誤差做小量假設(shè))來(lái)忽略系統(tǒng)的非線性因素,從而建立線性系統(tǒng)模型。然而,當(dāng)假設(shè)條件不滿足時(shí),線性化模型就會(huì)帶來(lái)很大的誤差,此時(shí)就必須采用能反映自身實(shí)際特性的非線性系統(tǒng)模型。

非線性濾波主要解決對(duì)非線性隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)問(wèn)題,例如在導(dǎo)航和目標(biāo)跟蹤的應(yīng)用中,要求根據(jù)含噪聲的量測(cè)量對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行在線實(shí)時(shí)估計(jì)。由于這些系統(tǒng)大部分是非線性的,因此采用非線性濾波方法對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)是這一領(lǐng)域的重要研究方向。從廣義上講,最優(yōu)非線性濾波可以通過(guò)遞推貝葉斯估計(jì)進(jìn)行統(tǒng)一描述,其中心思想是根據(jù)量測(cè)量確定非線性系統(tǒng)狀態(tài)向量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)?；谪惾~斯方法的濾波器以概率密度分布的形式融合了所有可用的信息,通過(guò)后驗(yàn)概率分布獲得概率統(tǒng)計(jì)意義下的最優(yōu)濾波結(jié)果,對(duì)于非線性和非高斯問(wèn)題提供了統(tǒng)一的解決方法[1]。貝葉斯估計(jì)的最優(yōu)解只在特殊情況下才能得到,如針對(duì)線性高斯系統(tǒng)的卡爾曼濾波器(Kalman Filter,KF)[2]。但是,在實(shí)際應(yīng)用中,由于非線性模型和非高斯噪聲的存在,使得貝葉斯估計(jì)難以實(shí)現(xiàn),通常采用近似的方法得到次優(yōu)解[3]。

針對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì),應(yīng)用最廣泛的是擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter,EKF)[4]。EKF需要通過(guò)一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法將非線性系統(tǒng)方程進(jìn)行線性化,因此只適用于弱非線性系統(tǒng)[5]。當(dāng)系統(tǒng)非線性增強(qiáng),估計(jì)誤差增大甚至發(fā)散,因此以UKF(Unscented Kalman Filter)[6～9]為代表的確定采樣近似方法近年來(lái)得到廣泛關(guān)注,不同于粒子濾波隨機(jī)采樣方法,確定采樣型濾波器(Deterministic Sampling Filters,DSFs)通過(guò)一組確定采樣點(diǎn)對(duì)一二階矩進(jìn)行近似計(jì)算,計(jì)算量與EKF相近,估計(jì)精度較EKF有較大提升。

另一類研究較多的非線性濾波器是粒子濾波器(Partical Filter,PF)[10],粒子濾波器基于Monte Carlo模擬方法,通過(guò)統(tǒng)計(jì)采樣對(duì)經(jīng)驗(yàn)條件分布進(jìn)行調(diào)整來(lái)近似后驗(yàn)概率密度。這種方法尚不成熟,還有很多問(wèn)題需要解決,如建議分布的選取、采樣方法以及計(jì)算量大等問(wèn)題[11]。

在線實(shí)時(shí)估計(jì)對(duì)濾波算法的要求是:計(jì)算量小、精度高和穩(wěn)定性好。盡管PF的精度很高,但是由于計(jì)算量太大,不適用于在線實(shí)時(shí)估計(jì)。DSFs和EKF相比,計(jì)算量相當(dāng),DSFs的精度更高。用DSFs取代EKF對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)成為濾波理論研究的一個(gè)重要方向,而目前關(guān)于DSFs的研究多集中在該方法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用,對(duì)該方法本身的精度和穩(wěn)定性的理論研究卻較少。

確定采樣型濾波器在濾波過(guò)程中,采樣點(diǎn)的選取對(duì)濾波器的精度和穩(wěn)定性起著決定性作用,對(duì)選取的采樣點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化可以提高濾波效果。

2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

確定采樣型濾波器的出現(xiàn)可以追溯到1994年,牛津大學(xué)的Julier和Uhlmann[6]從“近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)本身更容易”這一思路出發(fā),提出通過(guò)一組按確定規(guī)則選取的采樣點(diǎn)對(duì)一二階矩進(jìn)行擬合來(lái)完成一二階矩的傳遞。這種被稱為UT變換(Unscented Transform)的一二矩計(jì)算方法不需要計(jì)算雅克比矩陣,而且比一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的線性化具有更高的精度。之后,Julier等對(duì)該方法的采樣策略進(jìn)一步完善,提出了多種不同的采樣策略,包括對(duì)稱采樣,單形采樣[12],3階矩偏度采樣和高斯分布4階矩對(duì)稱采樣等[13]。隨著這一系列的研究,確定采樣型濾波器也應(yīng)運(yùn)而生。目前學(xué)術(shù)界主要研究的確定采樣型濾波器主要有三種,分別為UKF(Unscented Kalman Filter)、CKF(Cubature Kalman Filter)以及CDKF。

2.1UKF

將UT變換與KF相結(jié)合就得到了UKF(Unscented Kalman Filter)。目前,UKF已經(jīng)在諸多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

UKF的成功應(yīng)用,吸引了更多學(xué)者對(duì)UKF算法的理論研究。首先是Julier發(fā)現(xiàn)在應(yīng)用單形采樣和對(duì)稱采樣時(shí),UKF在濾波過(guò)程中出現(xiàn)非局部效應(yīng)和協(xié)方差陣非正定問(wèn)題,提出了對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行比例修正的方法[18],該方法提供了三個(gè)自由參數(shù)來(lái)調(diào)整采樣點(diǎn)到采樣中心的距離和權(quán)值,但并沒(méi)有給出參數(shù)調(diào)整具體方法。

由于選取采樣點(diǎn)需要使用協(xié)方差矩陣的平方根矩陣,當(dāng)協(xié)方差矩陣出現(xiàn)非正定時(shí),無(wú)法獲得采樣點(diǎn)。為了解決這一問(wèn)題,Merwe[14]在2001年提出在濾波過(guò)程中采用協(xié)方差矩陣的平方根矩陣代替協(xié)方差矩陣,這種方法避免了濾波過(guò)程中對(duì)協(xié)方差矩陣的分解,但是導(dǎo)致協(xié)方差矩陣非正定的因素并沒(méi)有消除。協(xié)方差矩陣出現(xiàn)非正定,主要是因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)權(quán)值中存在負(fù)值,因此Lefebvre[15]在2002年提出增加一個(gè)權(quán)值為1的中心采樣點(diǎn)來(lái)增大協(xié)方差矩陣從而保證協(xié)方差矩陣正定,但是這種方法可能會(huì)降低濾波器精度。Xiong[16]在2006年提出通過(guò)人為增大系統(tǒng)噪聲矩陣增加濾波器的穩(wěn)定性,這種方法其實(shí)就是保證了協(xié)方差矩陣的正定性,與Lefebvre的方法是等價(jià)的,同樣是以犧牲精度為代價(jià)提高穩(wěn)定性。

2.2基于球面徑向容積法的CKF

在2009年提出了基于球面徑向容積法的CKF(Cubature Kalman Filter)[17]。雖然CKF通過(guò)球面徑向容積法則獲取的采樣點(diǎn)可以看作是UKF采樣點(diǎn)的特例,但是其獲得采樣點(diǎn)的方法為實(shí)現(xiàn)高精度的采樣點(diǎn)提供了理論基礎(chǔ)。從數(shù)值積分的角度,2011年哥倫比亞大學(xué)的Jia[18]提出了減少采樣點(diǎn)數(shù)目的GHF,隨后2012年在此基礎(chǔ)上提出的SGQF(Sparse-Grid Quadrature Filter)[19]和2013年提出的高階CKF[20],提高了濾波器的精度(事實(shí)上,兩種方法所選取的采樣點(diǎn)是相同的)。CKF的提出解決了UKF中出現(xiàn)采樣點(diǎn)權(quán)值為負(fù)的問(wèn)題,但同時(shí)也帶來(lái)了非局部效應(yīng),即采樣點(diǎn)離采樣中心的距離會(huì)隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加而增大,從而限制了CKF在高維系統(tǒng)中的應(yīng)用。針對(duì)這一問(wèn)題,Chang[21]巧妙地構(gòu)建了一個(gè)正交矩陣,通過(guò)對(duì)CKF的采樣點(diǎn)進(jìn)行正交變換的方法得到了一組新的采樣點(diǎn),這組采樣點(diǎn)離采樣中心保持固定的距離,不會(huì)隨系統(tǒng)維數(shù)的改變而變化,由此消除了非局部效應(yīng)。

2.3CDKF

與UKF提出的目的一樣,為了避免雅可比矩陣的計(jì)算,Schei[22]在1997年提出基于插值法則的非線性濾波方法,將狀態(tài)協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解后得到的平方根矩陣看作是在狀態(tài)向量空間各個(gè)方向上的擾動(dòng),然后通過(guò)積分中值定理得到非線性變換后的協(xié)方差矩陣的平方根矩陣,從而完成協(xié)方差矩陣的傳遞。這種方法最大的優(yōu)勢(shì)就是避免了雅克比矩陣的求解,雖然在精度上并沒(méi)有多大提升,但是提供了一種解決非線性濾波問(wèn)題的新思路。2000年,N?rgaard等[23]在此基礎(chǔ)上提出了DDF(Divide Difference Filter),采用基于Sterling多項(xiàng)式差值法則的中心差分方法代替Jacobian/Hessian矩陣對(duì)非線性函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行多項(xiàng)式近似;與此同時(shí),Ito提出了基于數(shù)值積分近似的CDF(Central Difference Filter)[5]。CDF和DDF的出發(fā)點(diǎn)都是對(duì)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的近似,在本質(zhì)上是相同的,因此Merwe[24]將其統(tǒng)稱為CDKF,并在其博士論文中證明了CDF與DDF的等價(jià)關(guān)系[25]。

3確定采樣濾波器主要采樣方法

確定采樣型濾波器在非線性高斯濾波框架下通過(guò)對(duì)一二階矩近似實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計(jì),濾波過(guò)程如下:

2) 狀態(tài)傳遞方程:

χi=f(σi)

(1)

(2)

(3)

3) 量測(cè)更新方程:

ξi=h(χi)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

目前得到應(yīng)用廣泛的UKF、CDKF和CKF,都是采用這一濾波過(guò)程,它們的不同之處在于選取不同的采樣點(diǎn)計(jì)算一二階矩。下面對(duì)它們的采樣方法進(jìn)行介紹。

3.1UT變換

UKF采用一種被稱為UT變換的方法對(duì)一二階矩進(jìn)行擬合,在1994年牛津大學(xué)的Julier和Uhlmann[6]提出該算法的時(shí)候并沒(méi)有詳細(xì)的理論依據(jù)和推導(dǎo)過(guò)程,只是出于近似概率分布比近似非線性方程更容易的考慮。隨后作者發(fā)表了一系列文章對(duì)該算法進(jìn)行完善,在2004年[8]發(fā)表的文章中對(duì)關(guān)于該算法做了完整的總結(jié),建議采用對(duì)稱采樣和比例修正采樣。

3.2插值法則

CDKF是Ito[26]提出的CDF和N?rgaard[14]提出的DDF的統(tǒng)稱,都是基于多項(xiàng)式函數(shù)擬合的方法來(lái)計(jì)算一二階矩。

1997由Schei[22]首先提出了采用差分公式來(lái)代替EKF中的非線性方程求導(dǎo),雖然只采用了一階近似,精度沒(méi)有提高,但是提供了一條濾波器發(fā)展的思路。2000年,N?rgaard在Schei的多項(xiàng)式差值近似基礎(chǔ)上,受UKF的啟發(fā),提出了DD1和DD2,即DDF。與此同時(shí),Ito從數(shù)值積分近似狀態(tài)后驗(yàn)分布得到了CDF。多項(xiàng)式差值近似和數(shù)值積分近似在本質(zhì)上都是基于多項(xiàng)式函數(shù)擬合的思想。

3.3容積法則

對(duì)狀態(tài)后驗(yàn)分布的數(shù)值積分近似是非線性濾波器發(fā)展的一個(gè)重要方向,Arasaratnam在2009年提出的CKF[20]就是基于數(shù)值積分的近似方法對(duì)一二階矩進(jìn)行計(jì)算。CKF采用球面徑向法則,通過(guò)2n個(gè)采樣點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。

4未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)

UKF、CKF和CDKF的采樣點(diǎn)和一二階矩的計(jì)算中有很多共同點(diǎn),它們的核心思想可以統(tǒng)一歸納為[27]:首先根據(jù)狀態(tài)先驗(yàn)分布按照一定的規(guī)則選取一定數(shù)量的采樣點(diǎn);然后將這些采樣點(diǎn)經(jīng)非線性變換后按照一定的規(guī)則進(jìn)行組合來(lái)逼近經(jīng)非線性變換后的狀態(tài)分布。因此,可以將其統(tǒng)稱為確定采樣型濾波器。它們的不同之處就在于采樣點(diǎn)的選取和組合規(guī)則的不同,在處理不同的非線性系統(tǒng)時(shí),會(huì)得到不同的結(jié)果。通過(guò)建立采樣點(diǎn)與數(shù)值積分節(jié)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,就可以對(duì)這一類濾波器進(jìn)行精度分析,這是確定采樣型濾波器未來(lái)發(fā)展的方向之一。

除了精度比較之外,關(guān)于確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性的分析也是判斷濾波器適用范圍的重要依據(jù)。目前關(guān)于這一類濾波器的穩(wěn)定性分析的結(jié)論主要是在泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)線性化條件下得到的,北京航空航天大學(xué)的Xiong[16]對(duì)UKF穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,給出了濾波器穩(wěn)定的條件,由于UKF對(duì)初始誤差非常敏感,當(dāng)初始誤差較大時(shí),會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散,因此提出在協(xié)方差矩陣中增加一個(gè)正定的誤差矩陣,可以降低對(duì)初始誤差的要求,從而提高UKF的穩(wěn)定性,但是如果誤差矩陣設(shè)定過(guò)大會(huì)導(dǎo)致精度下降。為了保證濾波器的穩(wěn)定性,需要增大噪聲協(xié)方差矩陣,Lefebvre[15]指出這種做法會(huì)導(dǎo)致濾波收斂速度減慢和精度下降。

要對(duì)這一類濾波器進(jìn)行精度和穩(wěn)定性分析,必須要建立一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)。從確定采樣型濾波器的推導(dǎo)過(guò)程看,濾波器結(jié)構(gòu)可以從不同的角度得出。各種確定采樣型濾波器可以通過(guò)遞推貝葉斯估計(jì)得到統(tǒng)一的濾波器結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[5]中,Ito將條件概率密度假設(shè)為高斯分布,通過(guò)貝葉斯法則建立了高斯濾波器結(jié)構(gòu),利用對(duì)貝葉斯法則的有效數(shù)值積分實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)的遞推濾波,通過(guò)濾波增益和量測(cè)信息對(duì)均值和協(xié)方差的預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正從而得到狀態(tài)估計(jì)值。對(duì)于濾波過(guò)程中用到的均值和協(xié)方差可以通過(guò)數(shù)值積分的近似方法得到,因此在該結(jié)構(gòu)下確定采樣策略與數(shù)值積分的結(jié)合可以將濾波器精度轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分的精度問(wèn)題。

Lefebvre[15]利用統(tǒng)計(jì)線性回歸的方法推導(dǎo)出了統(tǒng)計(jì)線性回歸卡爾曼濾波器,并指出UKF和CDKF均屬于這種濾波器。Arasaratnam在文獻(xiàn)[3]中同樣是基于統(tǒng)計(jì)線性回歸的濾波器結(jié)構(gòu),采用數(shù)值積分的方法計(jì)算一二階矩,得到了QKF。該結(jié)構(gòu)采用的是通過(guò)一二階矩將非線性方程線性化的方法從而直接套用KF的濾波公式。這種結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)點(diǎn)就是可以用關(guān)于KF穩(wěn)定性的成熟理論來(lái)分析確定采樣型濾波器的穩(wěn)定性。

目前對(duì)于確定采樣型濾波器的改進(jìn)主要是將傳統(tǒng)的針對(duì)KF和EKF的方法與現(xiàn)有濾波方法的結(jié)合,如文獻(xiàn)[28]將自適應(yīng)估計(jì)技術(shù)和UKF和DDF結(jié)合,對(duì)濾波過(guò)程中的線性化誤差以及系統(tǒng)建模誤差進(jìn)行補(bǔ)償。當(dāng)前已有文獻(xiàn)大都集中于確定采樣型濾波的應(yīng)用研究,理論上還有很多問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。

5結(jié)語(yǔ)

本文主要基于模糊控制理論,對(duì)航跡跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行研究和設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)了基于模糊控制的飛機(jī)傾斜姿態(tài)控制器,在此基礎(chǔ)上,以飛機(jī)傾斜姿態(tài)控制器為內(nèi)回路,設(shè)計(jì)了飛機(jī)橫側(cè)向航跡跟蹤控制器。通過(guò)與傳統(tǒng)PID控制器比較表明,模糊控制方案無(wú)論在穩(wěn)定性還是控制精度上都有所提高,體現(xiàn)了模糊控制的優(yōu)越性。通過(guò)仿真驗(yàn)證,說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)航跡的精確跟蹤,該方案是切實(shí)可行的。

參 考 文 獻(xiàn)

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中圖分類號(hào)V488.234

DOI:10.3969/j.issn.1672-9730.2016.01.041

作者簡(jiǎn)介:劉煒,男,工程師,研究方向:自動(dòng)控制。楊智勇,男,博士,副教授,研究方向:模式識(shí)別。叢源材,男,博士,助理工程師,研究方向:導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。劉群杰,男,助理工程師,研究方向:測(cè)控技術(shù)與儀器?？涤詈?男,博士,研究方向:導(dǎo)航制導(dǎo)與控制。

*收稿日期:2015年7月10日,修回日期:2015年8月26日