幾何直觀——搭起解決問(wèn)題的腳手架

福建泉州市第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)（362000）麻炳鈴

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幾何直觀——搭起解決問(wèn)題的腳手架

福建泉州市第三實(shí)驗(yàn)小學(xué)（362000）麻炳鈴

［摘要］幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。在教學(xué)上，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比多種方法，挖掘幾何直觀內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀解決問(wèn)題能力培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生梳理探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！倍趯?shí)際教學(xué)中，部分教師在認(rèn)識(shí)上存在著一定的局限性，在課堂教學(xué)中，僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。因此，全面地理解幾何教育的價(jià)值，重視幾何直觀，使學(xué)生能夠靈活地運(yùn)用“以形助數(shù)”這把“利劍”，巧妙地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正有效地提高學(xué)生的幾何直觀能力，這應(yīng)是一線教師努力的方向。

一、巧用對(duì)比，感受幾何直觀價(jià)值

心理學(xué)家皮亞杰根據(jù)兒童的認(rèn)知理論將兒童的認(rèn)知分為四個(gè)階段：感知運(yùn)動(dòng)階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。而小學(xué)階段的學(xué)生正處于第三階段，他們很難理解復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，如果能借助圖形使數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化，那么找到解題的方法相對(duì)也較容易。要想讓學(xué)生主動(dòng)地以形助數(shù)，首先應(yīng)該讓其感受幾何直觀的內(nèi)在價(jià)值，激起他們內(nèi)在的驅(qū)動(dòng)力。這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟圖形的價(jià)值。

通過(guò)對(duì)比方法，借助圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，在“形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)中，將一道復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成求圖形的陰影部分面積，不僅降低了運(yùn)算的難度，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解，同時(shí)也為學(xué)生對(duì)算理的理解打開了一條新的通道。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程不僅能讓學(xué)生感受到豁然開朗的輕松愉悅，也能讓學(xué)生萌發(fā)主動(dòng)應(yīng)用幾何直觀的意識(shí)。

二、適時(shí)操作，積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)

直觀，雖然沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理，卻能有效促進(jìn)人們對(duì)觀察對(duì)象的全貌和本質(zhì)的把握。借助幾何圖形的直觀，常常能發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系，甚至?xí)a(chǎn)生對(duì)相關(guān)數(shù)量之間關(guān)系的猜想。正如“語(yǔ)感”、“數(shù)感”那樣，學(xué)生也只有在平時(shí)的動(dòng)手操作中不斷地積累，才能逐步提高幾何直觀素養(yǎng)。

例如，新北師版四年級(jí)下冊(cè)“優(yōu)化”的教學(xué)片斷。

師：要想盡快吃上餅，至少需要多長(zhǎng)時(shí)間？

生1：只要12分鐘。

生2：只要9分鐘。

師：看來(lái)大家有不同的意見(jiàn)。請(qǐng)把老師提供的圓形紙片當(dāng)做餅，先模擬一下烙餅過(guò)程，再把你的想法在課堂作業(yè)本上表示出來(lái)。（生迫不及待地開始動(dòng)手操作）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎么烙餅的？

生3：假設(shè)數(shù)學(xué)書是“鍋底”，這三張圓形紙片是三個(gè)“餅”。我是先烙第一個(gè)餅的正面和第二個(gè)餅的正面，再烙第一個(gè)餅的反面和第二個(gè)餅的反面，接著烙第三個(gè)餅的正面，最后烙第三個(gè)餅的反面。所以共需要3×4＝12（分鐘）。

生4：我是用圓形紙片表示餅，第一次先烙第一個(gè)餅的正面和第二個(gè)餅的正面，第二次烙第一個(gè)餅的反面和第三個(gè)餅的正面，第三次烙第二個(gè)餅的反面和第三個(gè)餅的反面。所以只要3×3＝9（分鐘）。

師：為什么生4比生3所用的時(shí)間少呢？

生5：因?yàn)樯?在第三次和第四次烙餅的時(shí)候，沒(méi)有同時(shí)烙兩個(gè)餅，浪費(fèi)了空間。

師：生4所用的時(shí)間會(huì)是最少的嗎？

生6：會(huì)，因?yàn)樗看味祭觾蓚€(gè)餅，沒(méi)有浪費(fèi)空間。

……

在操作中，學(xué)生用圓形紙片替代餅，再將圓形紙片抽象成圓形符號(hào)，經(jīng)歷了“實(shí)物直觀→替代物直觀→符號(hào)直觀”的抽象過(guò)程。正因?yàn)榻柚庇^圖形，并動(dòng)手操作，學(xué)生才能輕而易舉地把烙餅過(guò)程抽象成圖形符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)生既明白了怎樣烙餅才能更省時(shí)間的道理，抽象思維又得到了發(fā)展，在一定程度上積累了幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。

三、挖掘本質(zhì)，凸顯幾何直觀內(nèi)涵

運(yùn)用幾何直觀研究問(wèn)題，通常要先把研究的“對(duì)象”抽象成“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，從而把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問(wèn)題，然后借助圖形進(jìn)行思考、分析，從而找到解題思路。因此，教師應(yīng)在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問(wèn)題的意識(shí)與能力上下工夫，這就意味著，對(duì)幾何直觀的教學(xué)，教師要關(guān)注學(xué)生表述問(wèn)題的過(guò)程，以及表述之后的反思與頓悟。沒(méi)有反思與頓悟，學(xué)生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得“幾何直觀”的能力。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，大多數(shù)教師都采用“先讓學(xué)生在100以內(nèi)的數(shù)表中圈出是3的倍數(shù)的數(shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)有哪些共同特點(diǎn)，進(jìn)而探索出3的倍數(shù)特征——各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)”。這樣的課給人感覺(jué)缺少一點(diǎn)“深度”，即對(duì)“3的倍數(shù)特征本質(zhì)”的挖掘。教師不妨再追問(wèn)學(xué)生兩個(gè)問(wèn)題——

師：為什么3的倍數(shù)的特征是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和呢？（生表示疑惑）。

師：我們用小棒數(shù)量來(lái)表示數(shù)43（4捆小棒加3根小棒），每捆小棒都有10根，3根3根地分，每捆還剩下幾根？

生1：還剩下1根。

師：這樣4捆共剩下幾根？

生2：4根。

師：這時(shí)只要把這4根小棒再加上個(gè)位上的3根小棒，所以要看43是不是3的倍數(shù)只要看十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和。

師（再次追問(wèn)）：如果這個(gè)數(shù)是三位數(shù)，你能解釋其中的道理嗎？

生3：也是一樣的道理。百位上的數(shù)字如果是“6”，表示600根，每100根一捆，3根3根地分以后，也還是剩下1根，6捆總共剩下6根，所以只要用百位上的數(shù)字“6”加十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字，即各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和。

師：這位同學(xué)條理非常清楚，相信同學(xué)們也能用同樣的方法解釋更大的數(shù)。

通過(guò)追問(wèn)學(xué)生兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“為什么3的倍數(shù)的特征是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和？”和“如果這個(gè)數(shù)是三位數(shù)，你能解釋其中的道理嗎？”進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。學(xué)生借助直觀的小棒，能夠發(fā)現(xiàn)：“4捆小棒就是表示十位數(shù)中的40，單獨(dú)的3根小棒表示個(gè)位的數(shù)字3。緊接著要判斷是不是3的倍數(shù)只要看每捆中剩下的小棒與單獨(dú)小棒的總數(shù)之和。”學(xué)生不僅知其然，還能知其所以然，在觀察、分析中學(xué)生的幾何直觀能力得到了提升。

“冰凍三尺，非一日之寒。”培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力同樣需要一個(gè)長(zhǎng)期、循序漸進(jìn)的過(guò)程，需要教師在教學(xué)中長(zhǎng)期關(guān)注，有意識(shí)地滲透，不斷地將學(xué)生的思維引向深處，真正提高學(xué)生的幾何直觀能力。

（責(zé)編童夏）

［中圖分類號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）05-076