數(shù)學探究性問題剖析

朱廣科++孟凡敏

摘 要：探究性問題讓學生以獨立自主或合作討論為學習形式，運用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發(fā)現(xiàn)等學習方式解決的數(shù)學問題. 在數(shù)學教學中，對問題探究既注重學生數(shù)學實踐應用、動手能力的訓練，又強化數(shù)學思想方法的滲透，同時又兼顧學生閱讀分析、遷移知識解決問題能力的檢測，還改變了學生學習方式與探究問題的方式，凸顯過程性探究，引領過程性教學.

關鍵詞：探究性問題；閱讀理解；拓展遷移；規(guī)律探究

數(shù)學探究性問題是指讓學生以獨立自主或合作討論為學習形式，運用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發(fā)現(xiàn)等學習方式解決的數(shù)學問題. 其呈現(xiàn)方式可分為實踐操作型、規(guī)律探究型、閱讀理解型、拓展遷移型等幾種類型 [1].它一般包含問題的提出、數(shù)學模型的建立、問題的解決、數(shù)學知識的應用、醞釀與形成研究問題的方法等步驟. 這種問題通常以探索、研究、實驗操作等不同形式呈現(xiàn)于中考中，并借助恰當?shù)臄?shù)學素材，或是以幾何圖形為題材，或是以數(shù)學問題為背景等. 通過對相關問題的描述或逐步觀察、操作（包括數(shù)據(jù)分析、整理、運算或作圖、或證明）、歸納、研究等，進而發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)新問題. 試題在注重考查相關基礎知識，基本技能、方法的同時，更注重考查對相關知識的聯(lián)想、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)歸納與創(chuàng)新，是近幾年中考改革中出現(xiàn)的新題型.

一、數(shù)學探究性問題的類型

（一）在閱讀理解中體驗

此類探究性問題通常是給出一段文字，讓學生領會其中的知識內(nèi)容、方法要領，一般用于新定義、方法類比、判斷推理或遷移發(fā)展等類型的問題. 這類試題的結(jié)構(gòu)一般分為閱讀材料和考查目標兩部分，通過閱讀理解，用新定義解決的一個相關問題；或類比提供的材料中所述的過程方法，去解決類似的相關問題；或?qū)μ峁┑牟牧线M行歸納概括，依據(jù)對材料本質(zhì)的理解進行推理，做出解答；或從提供的材料中，通過閱讀理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學模型去解決類似或更高層次的相關問題. 該類試題特點鮮明、內(nèi)容豐富，不僅考查學生的閱讀能力，而且考查學生實現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過程. 解題的關鍵是理解所給材料的作用和用意，核心在于理解.

（二）在拓展遷移中建構(gòu)

此類探究性問題提供一段文字、素材或圖表材料，往往其中蘊含了一種解題思路，或展示一個數(shù)學要領、結(jié)論的形成和應用過程，或一個新數(shù)學公式的推導和應用，或介紹一種解題方法等. 在呈現(xiàn)方式上，問題的結(jié)論往往隱去，改用“是否存在”“是否成立”等問句表述，就可將原問題變成探究型問題. 有些特殊的問題，將其特殊的條件加以推廣，也可以得到該類型的探究型問題. 課本的例題和習題中有不少問題都可以通過增加、變換情境，改變設問方式，將一般性問題改為拓展遷移型問題. 也就是說，解題不是停留在某一問題上，而是就某一問題進行改造，即改變某一個或幾個條件，對原來的問題進行重新探索，作拓展性思考.

例2 （2015年福建莆田卷）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若點P是BF的中點，連結(jié)PC，PE.

特殊發(fā)現(xiàn)：如圖4，若點E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）.

問題探究：把圖4中的△AEF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn).

該問題以特殊發(fā)現(xiàn)和問題探究為主線，主要考查全等三角形、相似三角形和旋轉(zhuǎn)等有關知識. 題目設置由特殊到一般，求解的途徑由全等到相似，求解的結(jié)果由具體到抽象，像這樣逐次遞進，既能考查學生所具有的能力，又凸顯了試題良好的區(qū)分度. 試題設計的3個問題由淺入深，特殊發(fā)現(xiàn)給我們暗示了探究的方向和解題方法，問題探究（1）（2）的方法是以特殊發(fā)現(xiàn)為基礎，通過改變點E，F(xiàn)的位置，圖形的形狀雖然發(fā)生了變化，但解決問題的方法不變，△CPB和△MPF的全等關系不變，即問題的本質(zhì)不變. 整個問題的設計循序漸進，環(huán)環(huán)相扣，螺旋上升，解決問題的思路是互逆的，解決方法也是相通的，其核心是找到“變”中的“不變”. 這種以分層遞進的方式探討問題，能較好地考查學生的知識遷移能力和問題解決能力. 所以解決這類問題，首先要增強“用數(shù)學”的意識，解題的關鍵是理解所給材料的作用和用意，抓住題目中的關鍵詞，它一般是啟示我們?nèi)绾谓鉀Q問題或為了解決問題給我們提供工具、素材、方法及解題策略.

通過對拓展遷移型問題的探索，不僅對原問題獲得更深刻認識，同時獲得數(shù)學思維方法，形成數(shù)學能力. 整個探索過程，將原問題變成了一個開放型問題，讓學生利用類比等手法領略到發(fā)現(xiàn)和解決問題后的喜悅. 這也給我們的教學指明了方向，即數(shù)學教學應重視通性通法的落實，重視數(shù)學本質(zhì)的揭示，尊重學生的個性差異，讓學生充分享受學習過程.

（三）在規(guī)律探究中醞釀

規(guī)律探究題是在特定的背景、情境或某些條件下，通過認真分析，仔細觀察，提取相關的數(shù)據(jù)、信息，進行適當?shù)姆治?、綜合歸納，做出大膽猜想，得出結(jié)論，進而加以驗證或解決問題的一類探索題. 它一般先給出前幾項，讓學生探究后面某個或某幾個特定的項，再探索第n項的規(guī)律. 這樣由特殊到一般，由簡單到復雜，逐步深入. 這類問題具有隱蔽性、啟發(fā)性和遷移性，能否結(jié)合提出的問題，提取有價值的信息，排除干擾，從中找出規(guī)律是解決問題的關鍵，一般是通過觀察，聯(lián)想遷移，運用類比推理，以揭示數(shù)學本質(zhì). 它能很好地考查學生的閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文學概括能力、書面表達能力.

例3 （2015年山東青島卷）問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問題探究：

不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結(jié)論.

探究一：（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？此時，顯然能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=3時，m=1.

（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形. 所以，當n=4時，m=0.

（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形；若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=5時，m=1.

（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形； 若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形. 所以，當n=6時，m=1.

綜上所述，可得表：

探究二：（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究……

解決問題：

用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？設n分別等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是整數(shù)，把結(jié)果填在表中.

問題應用：

用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）其中面積最大的等腰三角形每個腰用了 根木棒. （只填結(jié)果）

從字面上看，該問題平淡無奇，屬于規(guī)律探究類問題，但若深入思考，細加品味，就會發(fā)現(xiàn)在平時的“題?！敝杏趾茈y找出原型，需要讓學生經(jīng)歷觀察猜想、歸納結(jié)論、實踐應用以及體驗合情推理等數(shù)學過程. 本題用n根相同的木棒搭等腰三角形的個數(shù)（木棒無剩余），難度較大. 所以，問題從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗證結(jié)論→實踐結(jié)論，靈活應用表格中的數(shù)據(jù)是驗證結(jié)論的依據(jù)，而解決規(guī)律性問題關鍵在于猜想，在于從簡單情形入手，逐個觀察、發(fā)現(xiàn)圖形或數(shù)的變化規(guī)律及內(nèi)在關系式，構(gòu)建相應的數(shù)學模型，探討某些情境中的特殊、簡單情況下存在的某個結(jié)論，然后進一步推廣到一般情況，這是歸納猜想問題的一種經(jīng)驗或一種模式. 為此要求我們能在一定的背景或特定的條件下，通過觀察、分析、比較、歸納、猜想，從中發(fā)現(xiàn)有關數(shù)學對象所具有的某種規(guī)律或不變性的結(jié)論和數(shù)學本質(zhì)的內(nèi)容，進而利用這個規(guī)律或結(jié)論進一步解決相關的實際問題，同時在實踐應用中要注意逆向思維的應用.

綜合上述，探究性問題與一般學習內(nèi)容比較，更具綜合性、實踐性和探索性，它以解決問題的活動為主線，充分運用已學過的知識和數(shù)學方法，經(jīng)過歸納、類比、聯(lián)想，構(gòu)建相應的數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，尋找隱含其中的規(guī)律或相關的結(jié)論，使結(jié)論盡可能與實際情況相吻合，并且滲透探究性學習的思想和方法. 解決問題的核心是通過“操作、觀察、猜想、討論、說理、歸納”等手段，讓學生主動探究，勇于創(chuàng)新，不僅使學生掌握知識，也使學生獲得解決問題的能力. 在探究過程中，注重讓學生獲得解決問題的方法和策略——嘗試、猜想和操作驗證的過程[2] .

二、數(shù)學探究性問題的教學啟示

從數(shù)學層次上看，探究性問題為學生提供了親身經(jīng)歷“用數(shù)學”“做數(shù)學”的過程，在這個探究的過程中，學生經(jīng)歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程，對自己的發(fā)現(xiàn)進一步尋求證據(jù)，給出證明，無形中就把知識技能、思想方法很好地融進了學生的動手探究中. 在考試中，既考查學生對知識的把握水平，又切實了解學生過程性目標的達成情況，這對今后學生的學習與教師的教學起到了一個引領和示范作用. 因此，探究性問題的意義不僅在于考查相應的知識，更在于考查學生的數(shù)學活動過程，在自主探索與合作交流的過程中真正理解數(shù)學知識，形成技能，獲得數(shù)學思想和方法，擁有廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)良好的數(shù)學素養(yǎng)，能夠自主探索和創(chuàng)新，有可持續(xù)發(fā)展的能力，也有利于改變“重視知識結(jié)論，輕視知識形成過程”的教學狀況. 它暗示了教師在設計探究性問題時，要注意了解學生的關注點和興趣點，要盡可能地了解學生的生活實際，在生活中尋找知識的原型，讓學生在問題的探究過程中以積極的心態(tài)調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗，嘗試解決問題，同化新知識，并積極建構(gòu)新知識. 它要求師生在以后的數(shù)學教學活動中，高度關注知識生成和發(fā)展的過程，積極倡導學生參與其中，盡可能地讓學生通過觀察、操作、思考、交流、探究等形式主動參與學習，展現(xiàn)基本概念的抽象和概括過程、數(shù)學問題的提出過程、解題思路的探索和形成全過程、基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)過程，力爭做到“知其然，更要知其所以然”，從而積累解決問題的經(jīng)驗和策略，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

數(shù)學的創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn)并不神秘，只要我們遵循數(shù)學研究的基本規(guī)律，從已有的具體問題出發(fā)，將特殊問題一般化，或一般問題特殊化，或?qū)σ延袉栴}作橫向和縱向的類比，或?qū)栴}逆向思考，總會發(fā)現(xiàn)、提出新問題，并通過合情推理或演繹推理等加以解決. 所有這些都要求我們課堂教學應注重探究知識的形成過程，培養(yǎng)學生自主探究的能力. 教學中在重視知識傳授的同時，更要重視數(shù)學思想方法的滲透，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、探究問題、解決問題的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和應用意識.

參考文獻：

[1] 陳洪遠. 初中數(shù)學探究題集錦 [M]. 杭州：浙江教育出版社，2006.

[2] 伍友平. 2010年江西省南昌市中考試題“課題學習”評析 [J]. 中國數(shù)學教育，2011（5）：16-18.