講道理激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訴求

林　琳　羅鳴亮

常有人說數(shù)學(xué)姓“思”，“思”在這兒可作“思考、思維”之意，正所謂“思接千載、視通萬里”。奧加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》一書中也提出“區(qū)別于傳統(tǒng)的教學(xué)，現(xiàn)代教學(xué)的特點(diǎn)在于力求控制教學(xué)過程以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展”。在新課程的視野下，許多教師都意識(shí)到學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展已經(jīng)成為教學(xué)的主要目標(biāo)之一。但是反觀教學(xué)的現(xiàn)實(shí)，我們?nèi)匀荒馨l(fā)現(xiàn)很多“不講理”或“偽講理”的教學(xué)，從而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維功能的僵化的現(xiàn)象。那么，講道理對(duì)激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維究竟有什么樣的影響、能帶來什么樣的幫助呢？

一、直面“規(guī)定”辨“理”，感悟思維的批判性

數(shù)學(xué)上有許多規(guī)定，如：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬能求出長(zhǎng)方形的面積；列小數(shù)加法豎式時(shí)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，而在列小數(shù)乘法豎式時(shí)末位對(duì)齊；在混合運(yùn)算中先算乘除再算加減等等。大都通過符號(hào)、文字或圖形的形式呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)文本上。它既掩蓋了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)，也隱藏了數(shù)學(xué)家經(jīng)歷過的直覺、猜想、錯(cuò)誤、反思、驗(yàn)證等發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過程?？瓷先ミ@些規(guī)定似乎都是硬邦邦的，需要被重復(fù)、被強(qiáng)化。而事實(shí)上，數(shù)學(xué)的許多規(guī)定都是有其道理的。對(duì)于這些規(guī)定雖然不需要學(xué)生一一證明，但正如課標(biāo)指出的：“要讓學(xué)生感受規(guī)定的合理性，并在這個(gè)過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，感悟理性精神?！痹诮虒W(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生以批判的眼光審視“規(guī)定”的合理性，透過關(guān)注數(shù)學(xué)規(guī)定的表面，去思辨數(shù)學(xué)規(guī)定背后隱含的道理。

如《混合運(yùn)算》一課，眾所周知，本課就知識(shí)而言相對(duì)比較簡(jiǎn)單，顯性的目標(biāo)是掌握先乘除后加減的運(yùn)算順序和遞等式的計(jì)算方法，大部分學(xué)生都已懵懂知道“先乘除后加減”的計(jì)算法則，在學(xué)生看似“已經(jīng)會(huì)”的情況下，教師面臨的問題是：如何在看似“平淡”的“未學(xué)先知”的計(jì)算教學(xué)中組織學(xué)生參與、互動(dòng)，并獲得心智、能力以及數(shù)學(xué)思考的發(fā)展？現(xiàn)在的計(jì)算教學(xué)不再是單純的程序性訓(xùn)練，每個(gè)學(xué)生所用的計(jì)算方法應(yīng)該建立在學(xué)生深刻理解的數(shù)學(xué)觀念的基礎(chǔ)之上。教師在教學(xué)“先乘除后加減”的算法時(shí)應(yīng)更重視促進(jìn)學(xué)生從算理層面理解算法，這樣學(xué)生對(duì)算法的掌握才不再是簡(jiǎn)單的模仿、機(jī)械的套用，而是理解后的應(yīng)用。

（創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境）

師：你們?cè)诙昙?jí)時(shí)就已經(jīng)知道了，但現(xiàn)在是四年級(jí)，四年級(jí)的同學(xué)是會(huì)講道理的。應(yīng)該要怎么才能讓我女兒明白先算除法是有道理的呢？同桌先商量商量。

（學(xué)生對(duì)照具體的購(gòu)物經(jīng)驗(yàn)，說出了為什么先算30÷2的道理。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從“頭”想問題。要求找回多少元，必須要先求出用去多少錢，因此先要算30÷2，求出一個(gè)的價(jià)錢）

師：我女兒又去了文具店。請(qǐng)看（出示墨水10元、文具盒7元、記事本3元、鋼筆7元、毛筆5元、圓珠筆3元）

師：她會(huì)買什么呢？買的東西總價(jià)格列式為7+3×2，你猜她買了些什么？

生：一個(gè)文具盒、一本記事本和一支圓珠筆。

生：一個(gè)文具盒和2支圓珠筆。

……

師：請(qǐng)想一想，為什么先算3×2是有道理的?

生：因?yàn)橐罂偣不硕嗌馘X，先要算出2件3元文具的價(jià)錢，然后再加上7元。

生：先算3×2就是先算3+3。

師：好，請(qǐng)用線段圖把這個(gè)算式表示出來。結(jié)合線段圖想一想還可以怎么列式？可以怎樣計(jì)算？

生：7+3+3。

生：先用7加3等于10,10再加3等于13。

師：（出示：7+3+3+3+3+3+3）現(xiàn)在呢？你們是怎么算出來的？

生：因?yàn)檫@道算式里有6個(gè)3，所以先算6×3，然后再加上7等于25。

師：有不同算法嗎？為什么都不從左往右連加呢？

生：太麻煩了！

師：對(duì)，先算后面的6個(gè)3簡(jiǎn)便多了。

師：（100-5-5-5-5-5 -5-5）這個(gè)算式呢？

生：100連續(xù)減去7個(gè)5，就是先把7乘5等于35，再用100減去35等于65。

師：對(duì)，這一題可以先算7個(gè)5，好，現(xiàn)在回過頭看看7+3×2，你又會(huì)怎么說出先算3×2的道理呢？

生：3×2是2個(gè)3相加，先求2個(gè)3的和，再加7。

生：先求出2件3元的總價(jià)錢，再加上7元。

師：（小結(jié)）其實(shí)每一個(gè)算式背后都有一定的故事，而混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事，乘法和除法都是在完成其中的一個(gè)故事。

從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，加減是數(shù)量變化的低級(jí)形式，也是運(yùn)算上最基本的算法。先有了加減，然后在相同數(shù)遞加或遞減的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了乘除。所以，乘法是連加同一數(shù)的簡(jiǎn)便算法；除法是遞減同一數(shù)的簡(jiǎn)便算法。這就是說，乘除比加減已經(jīng)高了一級(jí)，在計(jì)算效果上，也提高了一步。因此，為了簡(jiǎn)化問題，計(jì)算方便，就自然地產(chǎn)生了盡量先運(yùn)用乘除的規(guī)定。

在這個(gè)案例的教學(xué)中非常好地做到了兩點(diǎn)：其一就是讓學(xué)生能夠結(jié)合具體情境來理解“為什么要先乘除后加減”；同時(shí)更挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生能結(jié)合算式本身的意義來理解算理。具體來說就是先將情境抽象為線段圖，再提升到乘除法的意義，一步步引導(dǎo)學(xué)生通過已學(xué)的知識(shí)分析、探討，并解釋新知算理，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了從現(xiàn)象到本質(zhì)，從局部到整體的過程，層層遞進(jìn)，深入理解運(yùn)算順序的規(guī)定是有其深層意圖的。

對(duì)于數(shù)學(xué)中的規(guī)定，我們可以從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的視角加以審視，從直接經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極作用加以考慮。學(xué)生經(jīng)過親歷數(shù)學(xué)規(guī)定形成與發(fā)展的過程，學(xué)會(huì)在思維活動(dòng)中善于估計(jì)思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信，就能實(shí)現(xiàn)自我對(duì)思維活動(dòng)各環(huán)節(jié)、各方面的調(diào)整、校正。

二、鼓勵(lì)“生疑”追“理”，追溯思維的深刻性

心理學(xué)研究表明：學(xué)生思考的積極性和深刻性，往往來自于一個(gè)對(duì)他們來講充滿疑問的情境。因此，在課堂上有時(shí)我們可以故意留點(diǎn)疑問，露點(diǎn)破綻，或在講解過程中設(shè)置誤區(qū)，引起學(xué)生的質(zhì)疑，盡量為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生思潮涌動(dòng)、追根究底。

以《四邊形的分類》一課為例。教師出示一個(gè)信封，讓學(xué)生自由猜測(cè)，當(dāng)學(xué)生猜可能是正方形、長(zhǎng)方形、菱形、等腰梯形、平行四邊形時(shí)，教師露出信封中圖形的一個(gè)角，通過讓學(xué)生觀察，再猜信封里可能裝的是什么圖形？學(xué)生從最初的泛泛而問到提出要告訴“有幾組對(duì)邊互相平行”這一條件的補(bǔ)充，同時(shí)說清為什么需要這個(gè)提示，初步感知等腰梯形和平行四邊形之間既有共同之處，又有本質(zhì)區(qū)別。看似簡(jiǎn)單的猜測(cè)，實(shí)際背后卻隱藏著豐富的思考。當(dāng)學(xué)生根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行的圖形是平行四邊形時(shí)，教師拿出的卻是長(zhǎng)方形，此時(shí)，學(xué)生又陷入了思維沖突中。教師適時(shí)拋出一個(gè)問題串：它是平行四邊形嗎？為什么？為什么又說是特殊的平行四邊形？特殊在哪？這個(gè)長(zhǎng)方形也要擺到黑板上去，應(yīng)該擺在哪？為什么？繼續(xù)猜下一個(gè)也是兩組對(duì)邊分別平行且四條邊都相等，當(dāng)學(xué)生根據(jù)提示都激動(dòng)地?fù)尨鹗钦叫螘r(shí)，教師及時(shí)追問：正方形應(yīng)該擺在黑板上的哪個(gè)位置？隨著教師拿出的卻是菱形，鼓勵(lì)學(xué)生反思為什么猜錯(cuò)了。

我們可以將自己置身其中想想：假設(shè)自己作為學(xué)生，遇到這樣的情境，以這樣幾個(gè)“為什么”的問題串作為思考的導(dǎo)向，將會(huì)收獲什么呢？毫無疑問，在擁有了思考探索的空間后，充分經(jīng)歷了探究、思考、再探究再思考……一浪接著一浪的思維沖擊！這樣的“生疑”追“理”巧妙地認(rèn)知了菱形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形之間的關(guān)系，同時(shí)大大地提升了數(shù)學(xué)思維水平。

研究證明，單純的行為參與方式并不能促進(jìn)學(xué)生高層次能力的發(fā)展，只有以積極的情感體驗(yàn)和深層次的思考為核心的學(xué)習(xí)方式，才能促進(jìn)學(xué)生的主體發(fā)展。學(xué)生只有經(jīng)常追問為什么，才有可能將問題的研究引向深入，才能觸及數(shù)學(xué)的核心。宋朝朱熹曾經(jīng)說過：“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。”作為教師，首先要營(yíng)造民主寬松的教學(xué)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難；其次要引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)地求證，幫助學(xué)生釋疑解難。這樣一來，學(xué)生就可以通過對(duì)教師、對(duì)他人、對(duì)自己、對(duì)教材的質(zhì)疑，冷靜地觀照、審視數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而使得自己的思維走向深刻。

三、徜徉“多樣”明“理”，激活思維的創(chuàng)造性

每個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的學(xué)習(xí)個(gè)體，他們所擁有的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)不盡相同，這使得學(xué)生間的爭(zhēng)鳴變得不可避免。馬克思說：“真理是由爭(zhēng)論確立的?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地引入爭(zhēng)鳴，能引發(fā)學(xué)生競(jìng)相迸發(fā)智慧的火花，閃現(xiàn)創(chuàng)新的光芒。

以《長(zhǎng)方形的面積》為例，在通過測(cè)量長(zhǎng)和寬計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積為20平方厘米并闡述理由之后，猜面積是20平方厘米的長(zhǎng)方形還可以是怎樣的形狀，長(zhǎng)可以是幾？寬是幾？

師：老師家里也有一個(gè)長(zhǎng)方形，面積一樣（20平方厘米），但形狀不一樣，猜猜看我家那個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可能分別是多少？

生：長(zhǎng)是20厘米，寬是1厘米。

師：你是怎么想的？

生：長(zhǎng)是20厘米，寬是1厘米，面積就是20平方厘米。

師：你怎么知道面積是20平方厘米？說出你的道理。

生：擺一行，一行20個(gè)。

生：還可以長(zhǎng)是10厘米，寬是2厘米。

（教師出示課件：）

師：我家的長(zhǎng)方形很苗條，你覺得是哪個(gè)？為什么？我家的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有可能比20厘米還長(zhǎng)嗎？

生：不能，已經(jīng)是20平方厘米，再擺下去就是21、22、23……已經(jīng)是極限了。

生：能的，只要寬改成0.5厘米，長(zhǎng)改成40厘米。

師：我家長(zhǎng)方形的長(zhǎng)有可能比40厘米還長(zhǎng)嗎？

生：有可能，長(zhǎng)80厘米，寬0.25厘米。

生：只要把寬再變短，長(zhǎng)就會(huì)更長(zhǎng)。

師：那我家長(zhǎng)方形的長(zhǎng)會(huì)有多長(zhǎng)？

生：把寬分下去，長(zhǎng)可以很長(zhǎng)很長(zhǎng)，無法計(jì)算。

長(zhǎng)方形面積計(jì)算的核心問題是“求長(zhǎng)方形的面積為什么要‘長(zhǎng)×寬’”，為了讓簡(jiǎn)單的素材發(fā)揮最大的效益，以“猜面積是20平方厘米的長(zhǎng)方形還可以是怎樣的形狀？”引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度對(duì)話。作為教師，在課堂上沉下心蹲下身給更多學(xué)生發(fā)言的機(jī)會(huì)而不做過早的裁判，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去觀察問題、分析問題，學(xué)生在互動(dòng)交流中重構(gòu)面積推導(dǎo)的關(guān)鍵因素，不斷地被推向了思維的“風(fēng)口浪尖”，閃動(dòng)創(chuàng)新之苗。

數(shù)學(xué)思維過程就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)作“工具”解決問題的過程,我們應(yīng)重視知識(shí)的形成過程，以有效活動(dòng)為支撐，引導(dǎo)學(xué)生深思隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的那些深層次的數(shù)學(xué)之“理”，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)自我把握的確證與表征，從而有效促進(jìn)“數(shù)學(xué)理解”，活化“數(shù)學(xué)思維”。