隱函數(shù)形式曲線的曲率和撓率的計算

黃　瑞，儲亞偉（阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽236037）

?

隱函數(shù)形式曲線的曲率和撓率的計算

黃瑞，儲亞偉
（阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽236037）

摘要：利用隱函數(shù)定理將平面曲線和空間曲線的一般方程化為微分幾何中研究曲線的一元向量函數(shù)的形式，并使用微分幾何中研究曲線的方法，將此類曲線的曲率和撓率的計算轉(zhuǎn)化為實函數(shù)的偏微商的計算，從而實現(xiàn)對一般方程形式的曲線研究.

關(guān)鍵詞：隱函數(shù)定理；曲率；撓率

0　引言

平面曲線和空間曲線是曲線論的兩大研究對象，通過對曲線在一點處的漸近展開，曲線在該點處的曲率和撓率完全決定了曲線在該點鄰近的近似形狀，因此曲率和撓率是曲線的兩個重要數(shù)字特征.在微分幾何中，研究曲線時總是假設(shè)曲線的方程為一元向量函數(shù)的形式，文［1］給出形如r=(x(t),y(t))的平面曲線的曲率的計算公式，文［2］給出形如r=(x(t),y(t),z(t))的空間曲線的曲率和撓率的計算公式，文獻［3，4］研究了具有某種特征的空間曲線的曲率和撓率.然而曲線的方程未必都能化為一元向量函數(shù)的形式，因此對一般方程形式的曲線的研究具有一定意義.本文將給出一般形式的曲線的曲率和撓率的計算公式及其在具體問題中的應用.

1　平面曲線(c):F(x,y)=0的曲率

設(shè)二元實函數(shù)F(x,y)在P(x,y)點的小鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理［5］，不妨設(shè)Fy(x,y)≠0，則F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)確定了唯一連續(xù)可導的隱函數(shù)y=f(x)，從而得到平面曲線(c):F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)的一元向量函數(shù)形式.

證明不妨設(shè)平面曲線(c):F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)可化為一元向量函數(shù)的形式r=(x,f(x))，其中y=f(x)為F(x,y)=0在x的小鄰域內(nèi)確定的隱函數(shù).則

特別地，當a=b=r時，帶入上式得到半徑為r的圓的曲率為需要說明的是，平面曲線的曲率的符號反映了曲線的單位正法向量在單位圓周上的轉(zhuǎn)動方向，單位正法向量逆時針轉(zhuǎn)動時，曲率為正，單位正法向量順時針轉(zhuǎn)動時，曲率為負.

設(shè)曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0相交，則交線為，也即是空間曲線的一般方程.設(shè)(c)在P(x,y,z)的小鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組定理的條件［5］，不妨設(shè)在P點的小鄰域內(nèi)確定了唯一連續(xù)可微的隱函數(shù)組x=φ(z),y=ψ(z)，從而空間曲線（c）在P點的小鄰域內(nèi)化為一元向量函數(shù)的形式r=(φ(z),ψ(z),z).

從而得到

從而

代入定理2得

方法（二）.文［6］給出維維安尼曲線的一元向量函數(shù)的形式r=(acos2t,acostsint,asint)，并得到

3　結(jié)束語

根據(jù)隱函數(shù)存在唯一性定理和可微性定理，文中將隱函數(shù)形式的曲線轉(zhuǎn)化為微分幾何中研究曲線的一元向量函數(shù)的形式，從而將曲線的曲率和撓率的計算轉(zhuǎn)化為數(shù)學分析中的偏微商的計算，實現(xiàn)了對一般形式的曲線的研究.事實上，借助于這種轉(zhuǎn)化，還能夠求出隱函數(shù)形式的空間曲線在一點處的Frenet標架、切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面和法平面等幾何量.

參考文獻：

［1］陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學出版社，2006：73.

［2］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2008：42－43.

［3］劉學泳，滕超，肖前軍.曲線的基本向量組合成的曲線的曲率和撓率的計算［J］.湘潭師范學院學報（自然科學版），2005，27（4）：17-20.

［4］崔鳳午.一般螺線曲率中心軌跡的曲率與撓率［J］.白城師范學院學報，2009，23（6）：1-4.

［5］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001：146-148.

［6］王亞玲.維維安妮曲線的曲率、撓率及伏雷內(nèi)公式［J］.長春師范學院學報，2012，31（3）：19-21.

The Calculation of the Curvature and the Torsion of the Curve of Implicit Function Form

HUANG Rui，CHU Yawei
（School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Teachers College，236037，F(xiàn)uyang，Anhui，China）

Abstract：Implicit function theorem is applied to change the general equation of the plane curve and space curve into the form of unitary vector function in studying the curve of differential geometry，and this method is used to convert the calculation of curvature and torsion into the calculation of partial derivative of real function，and thereby，to conduct the curve research of the general equation.

Key words：implicit function theorem；curvature；torsion

作者簡介：黃瑞（1985-），女，安徽阜陽人，碩士，助教，研究方向：微分幾何.

基金項目：國家特色專業(yè)建設(shè)項目（TS11496）；安徽省質(zhì)量工程項目

收稿日期：2015-09-08

中圖分類號：O 186.1

文獻標識碼：C

文章編號：2095-0691（2016）01-0072-03