一個(gè)實(shí)數(shù)不等式在矩陣論中的推廣

胡　汭（銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵244000）

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一個(gè)實(shí)數(shù)不等式在矩陣論中的推廣

胡汭
（銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵244000）

摘要：文章是將一個(gè)實(shí)數(shù)不等式及其變形形式演變到Hermite矩陣的范數(shù)領(lǐng)域，并演算到該范數(shù)形式的推廣形式.

關(guān)鍵詞：Hermite矩陣；跡；實(shí)數(shù)；不等式；范數(shù)

半個(gè)世紀(jì)以來，近代科學(xué)家在矩陣領(lǐng)域的研究有了更大和更深入的突破，矩陣?yán)碚撛谧匀豢茖W(xué)、工程技術(shù)與社會(huì)經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)有初步的應(yīng)用，并得到一些重要的理論成果如Neumann不等式，酉算子和Hermite矩陣等.這些新成果不僅在社會(huì)實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用，且已經(jīng)成為矩陣?yán)碚撨M(jìn)一步發(fā)展的一種理論工具，本文就是運(yùn)用實(shí)數(shù)不等式和矩陣論中的相關(guān)知識(shí)，將一個(gè)簡單的實(shí)數(shù)不等式和它的新的變形形式推廣到矩陣論中的矩陣跡及其矩陣范數(shù)等領(lǐng)域，并且進(jìn)一步得到矩陣范數(shù)不等式的推廣形式.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1［1］為n階復(fù)方陣，定義，則它是一個(gè)矩陣范數(shù)，稱它為Schatten p-范數(shù).當(dāng)p=2時(shí)，稱之為Hilbert-Schmite范數(shù)，且知是酉不變范數(shù)，即對(duì)任意的酉矩陣U，V有||UBV||2=||B||2成立.

定義2B=()

bij為n階復(fù)方陣，則稱該矩陣的主對(duì)角線元素之和為矩陣B的跡，記為trB，即

n若k1,k2,…,kn為B的特征值，則

引理1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有不等式x2+3≥|3x|成立.

引理2對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有不等式x2+4≥|4x|成立.

2　主要結(jié)果及證明

證明設(shè)B的特征值為η1≥η2≥…≥ηn，則B2+3I的特征值為

由引理1，

證畢.

證明存在酉矩陣U和V，使得B=U?ΛU,且以及X=V?MV，則

所以

又因?yàn)?/p>

由引理2

證明存在酉矩陣U和V，使得B=U?ΛU，以及X=V?MV，則

所以

設(shè)UV?M=Y=(yij)，則因?yàn)橛喜蛔兎稊?shù)，故有

又因?yàn)?/p>

參考文獻(xiàn)：

［1］BHATIA R.Matrix analysis［M］.NewYork：Spring-Verlag，1997.

［2］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2006.

［3］ZHAN X Z.Matrix Inequalities［M］.Berlin：Spring-Verlag，2002.

On the Application of a Real Inequality in Matrix

HU Rui
（School of Mathematics and Computational Science，Tongling Teachers College，244000，Tongling，Anhui，China）

Absract：In this paper，a real number inequality and its deformation are extended to the norm of Hermite matrix，and the generalized form of the norm is given.

Key words：Hermite matrix；trace；real number;inequality；rorm

作者簡介：胡汭（1985-），女，安徽舒城人，碩士，助教，研究方向是矩陣和算子理論.

收稿日期：2015-09-06

中圖分類號(hào)：O 178

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C

文章編號(hào)：2095-0691（2016）01-0075-03