基于重疊分區(qū)波形松弛法的復(fù)雜多導(dǎo)體系統(tǒng)電磁瞬態(tài)快速計(jì)算方法

劉　欣, 梁永祥, 梁貴書(shū), 覃日升, 薄利明

(1.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003；2.云南電力試驗(yàn)研究院(集團(tuán))有限公司電力研究院，云南 昆明 650217)

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基于重疊分區(qū)波形松弛法的復(fù)雜多導(dǎo)體系統(tǒng)電磁瞬態(tài)快速計(jì)算方法

劉欣1, 梁永祥1, 梁貴書(shū)1, 覃日升2, 薄利明1

(1.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003；2.云南電力試驗(yàn)研究院(集團(tuán))有限公司電力研究院，云南 昆明 650217)

摘要：針對(duì)雷電沖擊等瞬態(tài)激勵(lì)作用下多導(dǎo)體系統(tǒng)的瞬態(tài)計(jì)算問(wèn)題，提出了一種基于靈敏度分析的大規(guī)模多導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)分區(qū)策略及時(shí)域快速波形松弛算法。首先基于部分單元等效電路(PEEC)方法建立多導(dǎo)體系統(tǒng)的精細(xì)電路模型，并運(yùn)用波形松弛法(WR)實(shí)現(xiàn)模型的求解?？紤]到波形松弛法的收斂速度與網(wǎng)絡(luò)分解后各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)間的耦合強(qiáng)弱密切相關(guān)，基于電網(wǎng)絡(luò)靈敏度分析提出了多導(dǎo)體電路參數(shù)的耦合強(qiáng)弱分析方法和分區(qū)技術(shù)，基于該方法結(jié)合重疊分區(qū)技術(shù)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)分解，可加快算法的收斂速度。最后，結(jié)合算例驗(yàn)證了本文建模與計(jì)算方法的正確性，同時(shí)通過(guò)收斂速度分析闡述了該方法的高效性。

關(guān)鍵詞：多導(dǎo)體系統(tǒng)；波形松弛法；重疊分區(qū)技術(shù)；靈敏度分析

0引言

電力系統(tǒng)中包含大量的多導(dǎo)體系統(tǒng)，如變壓器、電抗器及接地網(wǎng)等，由于系統(tǒng)中導(dǎo)體數(shù)量龐大，這類系統(tǒng)將對(duì)應(yīng)一種大規(guī)模耦合復(fù)雜電路模型，從而導(dǎo)致電磁瞬態(tài)仿真運(yùn)算量巨大，瞬態(tài)計(jì)算復(fù)雜度高，快速求解困難。波形松弛法是一種迭代求解方法，其主要思想是通過(guò)將系統(tǒng)分解成若干個(gè)子系統(tǒng)然后迭代求解。由于子系統(tǒng)相對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)規(guī)模小很多，減小了內(nèi)存的占用，從而使得大規(guī)模電路瞬態(tài)仿真成為可能。波形松弛法首次被用于電路分析的是Lelarasmee等人[1]。文獻(xiàn)[2，3]在利用波形松弛法求解RC梯形電路時(shí)發(fā)現(xiàn)算法的收斂速度具有頻率相關(guān)特性，并提出了一種用于改善RC梯形電路低頻收斂特性的改進(jìn)波形松弛法。Gander M J 等人為了改善波形松弛法的收斂速度，提出了基于軸向分解的波形松弛法[4]。 Nakhla M S 教授領(lǐng)導(dǎo)的課題組近年來(lái)針對(duì)印制板互連線系統(tǒng)的高效求解開(kāi)展了一系列研究工作，提出了基于橫向分區(qū)的波形松弛技術(shù)(Waveform Relaxation and Transverse Partitioning, WR-TP)[5-7]。該方法的基本思想是將傳輸線進(jìn)行橫向維數(shù)截?cái)啵磳⒍鄬?dǎo)體傳輸線分解為多根單導(dǎo)體傳輸線，進(jìn)而通過(guò)迭代方式實(shí)現(xiàn)仿真計(jì)算。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中參數(shù)的耦合越強(qiáng)，WR-TP達(dá)到收斂所需要的迭代次數(shù)越大，因此對(duì)于強(qiáng)耦合電路，WR-TP的計(jì)算效率較低[8]。針對(duì)該問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]基于系統(tǒng)分解思想提出了一種基于重疊分區(qū)的強(qiáng)耦合多導(dǎo)體傳輸線系統(tǒng)的新型波形松弛法，該方法根據(jù)導(dǎo)體之間的耦合強(qiáng)弱關(guān)系實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)分解，將耦合較強(qiáng)的導(dǎo)體劃分在同一個(gè)子系統(tǒng)中，子系統(tǒng)間存在重疊區(qū)域，算例分析表明這種重疊分區(qū)的處理方法可加快收斂速度。

由此可見(jiàn)，基于重疊分區(qū)的波形松弛法其收斂速度與網(wǎng)絡(luò)分解后各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)間的耦合強(qiáng)弱密切相關(guān)，但現(xiàn)有文獻(xiàn)中采用的重疊分區(qū)技術(shù)僅是通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的收斂速度進(jìn)行簡(jiǎn)單討論，并沒(méi)有給出網(wǎng)絡(luò)分區(qū)的方法和依據(jù)。考慮到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)關(guān)于耦合參數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)了耦合參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸出的宏觀影響，本文提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)靈敏度分析的電路耦合強(qiáng)度的判別方法和網(wǎng)絡(luò)分區(qū)技術(shù)，并基于該方法實(shí)現(xiàn)了具有快速收斂速度的多導(dǎo)體系統(tǒng)波形松弛法，最后通過(guò)算例驗(yàn)證了算法的正確性與高效性。

1多導(dǎo)體系統(tǒng)的PEEC模型

PEEC模型是建立多導(dǎo)體系統(tǒng)電路模型的一種非常有效方法[9]，其是將導(dǎo)體視為細(xì)線結(jié)構(gòu)，并依據(jù)導(dǎo)體尺寸與瞬態(tài)激勵(lì)的波長(zhǎng)關(guān)系將各導(dǎo)體劃分為若干線元，線元之間的電磁耦合則通過(guò)部分電感和部分電容進(jìn)行描述。每一段線元的PEEC模型拓?fù)淙鐖D 1所示，其中與電感支路串聯(lián)的受控電壓源表示其它單元與本單元間的互電感耦合，與電容支路并聯(lián)的電流源表示其它單元與本單元的互電容耦合。

圖 1　單元拓?fù)潆娐稦ig.1　Topology of the unit circuit

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的電磁瞬態(tài)分析，可利用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法建立模型的數(shù)學(xué)方程，如(1)所示：

(1)

式中：C為節(jié)點(diǎn)電容矩陣；L為支路電感矩陣；A為關(guān)聯(lián)矩陣；un、ib分別為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓和電感支路電流；is為注入節(jié)點(diǎn)的電流。

2重疊分區(qū)的波形松弛法

重疊分區(qū)技術(shù)可有效提高迭代求解速度[5-7]，其是將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)分解為若干個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)間含有公共導(dǎo)體，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)分解示意圖如圖2所示。

圖2　重疊分區(qū)方式Fig.2　Method of overlapping partitioning

通過(guò)提取導(dǎo)體的電路參數(shù)，可建立網(wǎng)絡(luò)的PEEC模型，相應(yīng)的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法方程如下：

(2)

(3)

為了闡述清晰，本部分僅給出將整體網(wǎng)絡(luò)分解為兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的公式推導(dǎo)過(guò)程，該過(guò)程完全可應(yīng)用于多個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的分解方式。

(4)

式中：X1為子網(wǎng)絡(luò)1的節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流列向量；X2為子網(wǎng)絡(luò)2的節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流列向量。由此，可將方程(4)分解為如下兩個(gè)彼此獨(dú)立的子網(wǎng)絡(luò)方程：

(5)

則tn+1時(shí)刻各子網(wǎng)絡(luò)的迭代求解公式為

(6)

式中：n表示第tn時(shí)刻；r表示第r次迭代。最終可得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)在tn+1時(shí)刻第r+1次迭代的計(jì)算公式：

(7)

(8)

式中：Tl表示第l個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，且0 ≤ ai≤ 1，通?？闪頰i=0.5。

算法的收斂性判斷可根據(jù)PEEC模型的頻域節(jié)點(diǎn)電壓方程進(jìn)行分析，其形式為

(9)

式中：Uk(s)，Ik(s)(k=1,2,… ,n)分別為n根導(dǎo)體的節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流列向量，參數(shù)矩陣Y可分解為

(10)

代入式(9)可得：

(11)

(12)

即當(dāng)?shù)仃嚨氖諗堪霃溅?Q)<1時(shí)，方程(11)收斂[12]。

3基于靈敏度的多導(dǎo)體系統(tǒng)耦合強(qiáng)度分析

3.1導(dǎo)體耦合參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)沖擊特性的靈敏度分析

網(wǎng)絡(luò)靈敏度[13-14]是指“網(wǎng)絡(luò)函數(shù)”對(duì)“元件參數(shù)”的敏感程度，網(wǎng)絡(luò)中導(dǎo)體間互電感和互電容等耦合參數(shù)的靈敏度大小反映了耦合參數(shù)對(duì)沖擊特性的影響。絕對(duì)靈敏度定義如下：

(13)

由于絕對(duì)靈敏度不能確切的表明參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)特性的影響程度，所以通常采用相對(duì)靈敏度，其為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的相對(duì)變化量與元件參數(shù)的相對(duì)變化量的比值，即：

(14)

網(wǎng)絡(luò)靈敏度的計(jì)算方法一般有伴隨網(wǎng)絡(luò)法、導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)法等方法，前者更加適合大型網(wǎng)絡(luò)，所以本文基于伴隨網(wǎng)絡(luò)法推導(dǎo)了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)關(guān)于耦合參數(shù)的靈敏度計(jì)算公式。

伴隨網(wǎng)絡(luò)法是以特勒根定理的差分形式為基礎(chǔ)，特勒根定理差分形式如下：

(15)

其標(biāo)量形式為

(16)

對(duì)于多導(dǎo)體系統(tǒng)有

(17)

當(dāng)系統(tǒng)中參數(shù)有偏差時(shí)，則：

U+ΔU=ZI+ΔZI+ZΔI

(18)

式中：U為導(dǎo)體電壓列向量；I為導(dǎo)體電流列向量；Z為系統(tǒng)阻抗矩陣；ΔU，ΔI和ΔZ分別代表前三者的變化量。

設(shè)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

(19)

由式(16)、(17)、(18)可得：

(20)

為消去ΔI，令伴隨網(wǎng)絡(luò)方程為

(21)

則：

(22)

綜上，導(dǎo)體之間互電感Mi,j(i≠j)靈敏度為

(23)

導(dǎo)體之間互電容靈敏度為

(24)

3.2靈敏度分析

以文獻(xiàn)[15]中的接地網(wǎng)為例進(jìn)行分析，該接地網(wǎng)尺寸為60 m2，埋于地下0.6 m處，導(dǎo)體網(wǎng)格為10 m2，導(dǎo)體半徑為6.54 mm，大地電阻率為100 Ω·m，相對(duì)介電常數(shù)為36，其結(jié)構(gòu)如圖3所示，相應(yīng)的接地網(wǎng)導(dǎo)體和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖4所示。

根據(jù)伴隨網(wǎng)絡(luò)法分別計(jì)算互電容和互電感在20 kHz，200 kHz和2 MHz頻率下的靈敏度(歸一化后的值)如圖5和圖6所示。

從互電感和互電容的靈敏度分析可以發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中在以田字格型方塊內(nèi)的導(dǎo)體之間耦合較強(qiáng)，如圖7所示。因此，在對(duì)網(wǎng)絡(luò)分區(qū)時(shí)應(yīng)將此強(qiáng)耦合區(qū)域置于同一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)中，即子網(wǎng)絡(luò)之間的重疊區(qū)域應(yīng)包含此強(qiáng)耦合區(qū)。

圖3　接地網(wǎng)立體圖Fig.3　Three-dimensional graphics of grounding grid

圖4　接地網(wǎng)導(dǎo)體和節(jié)點(diǎn)編號(hào)Fig.4　Conductor and node number of grounding grid

圖5　各頻率下的互電容靈敏度Fig.5　Mutual capacitance sensitivity at each frequency

圖6　各頻率下的互電感靈敏度Fig.6　Mutual inductance sensitivity at each frequency

圖7　強(qiáng)耦合分布圖Fig.7　Strong coupling profile

4算例驗(yàn)證

4.1接地網(wǎng)瞬態(tài)電壓計(jì)算

在上述算例中的接地網(wǎng)中心A點(diǎn)施加峰值為1 kA、上升時(shí)間/半波時(shí)間分別為1/20 μs的雙指數(shù)雷電波，經(jīng)計(jì)算獲得A、B和C點(diǎn)的導(dǎo)體電位如圖8所示，實(shí)線表示的是本文的計(jì)算值，虛線表示文獻(xiàn)[13]中的計(jì)算值，兩者吻合良好驗(yàn)證了該方法求解接地網(wǎng)瞬態(tài)響應(yīng)的正確性。

圖8　接地網(wǎng)暫態(tài)電位響應(yīng)Fig.8　Transient voltage response of grounding grid

為了討論分區(qū)方式對(duì)收斂速度的影響，驗(yàn)證本文分區(qū)方法的有效性，本文按照三種分區(qū)方式將接地網(wǎng)分成4子網(wǎng)絡(luò)，如圖9所示，圖9(a)將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)平均分為4個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)絡(luò)之間沒(méi)有重疊部分；圖9(b)將網(wǎng)絡(luò)分為4個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)絡(luò)之間的重疊部分大小正好與強(qiáng)耦合區(qū)域相同；圖9(c)也是將網(wǎng)絡(luò)分為4個(gè)子網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)絡(luò)之間重疊部分較多，大于強(qiáng)耦合區(qū)。

圖9　接地網(wǎng)分區(qū)圖Fig.9　Partitioning of grounding grid

表1給出了在相同計(jì)算精度下的三種分區(qū)方式迭代次數(shù)，三種分區(qū)方法均可收斂且可以得到較好的計(jì)算精度。方式二和方式三迭代次數(shù)明顯少于方式一，但由于方式三重疊部分較多占用內(nèi)存較大，總體看來(lái)方式二的分區(qū)方式計(jì)算效率最高。上述分析表明，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的靈敏度的計(jì)算，能夠準(zhǔn)確快速的確定分區(qū)，提高計(jì)算效率，從而驗(yàn)證了本文提出的分區(qū)方法的正確性。

表1　達(dá)到收斂需要的平均迭代次數(shù)

4.2電抗器瞬態(tài)過(guò)電壓計(jì)算

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在分析緊密導(dǎo)體系統(tǒng)(強(qiáng)耦合)的有效性，本部分以一自制100匝實(shí)驗(yàn)繞組為例對(duì)其進(jìn)行計(jì)算分析。該實(shí)驗(yàn)繞組為采用圓形截面紗包線繞制成的近似圓形繞組，如圖10所示，圖中同時(shí)給出了實(shí)驗(yàn)接線以及測(cè)量所用儀器。

圖10　實(shí)驗(yàn)示意圖(注：①實(shí)驗(yàn)繞組，②③高速采樣示波器，④為屏蔽盒封裝的皮爾遜寬頻電流傳感器，⑤浪涌發(fā)生器。)Fig.10　Experimental schematic(①Winding, ②③ High-speed sampling oscilloscope ④Current Sensors ⑤Surge generator)

通過(guò)靈敏度分析發(fā)現(xiàn)每8匝導(dǎo)體之間的耦合參數(shù)相對(duì)于系統(tǒng)輸出的靈敏度較大，因此整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的分解可以8匝的重疊區(qū)域進(jìn)行分區(qū)，本文將繞組整體劃分為4個(gè)子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算。

在繞組首端施加波前和半波時(shí)間為1.2/50 μs的雷電波激勵(lì)，波形如圖11所示。圖12給出了此激勵(lì)下繞組第31、51、71匝電位的測(cè)量與計(jì)算結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可以看出，無(wú)論是全波波形還是波頭波形，計(jì)算值均與測(cè)量結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

圖11　激勵(lì)電壓波形Fig.11　Impulse voltage waveform

圖12　測(cè)量與計(jì)算各匝電壓波形Fig.12　Measurement and calculation of the voltage waveform

為了說(shuō)明本文所提分區(qū)方法的正確性，分別采用不重疊，重疊8匝，重疊18匝和重疊28匝四種分區(qū)方法進(jìn)行計(jì)算。圖13給出了上述四種分區(qū)方法達(dá)到收斂所需要的迭代次數(shù)對(duì)比圖。

圖13　四種分區(qū)方式達(dá)到收斂所需要的迭代次數(shù)Fig.13　Number of iterations required

可以看出，采用重疊8匝的分區(qū)方式與采用重疊18、28匝的分區(qū)方式迭代次數(shù)非常接近，且三者收斂速度明顯優(yōu)于非重疊分區(qū)方式，考慮到重疊8匝的分區(qū)方式計(jì)算復(fù)雜度最低，因此，此種方法效率高于其它方式，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的分區(qū)方式的有效性。

5結(jié)論

波形松弛法的主要思想就是將大網(wǎng)絡(luò)分成多個(gè)子網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行迭代計(jì)算，但分區(qū)應(yīng)盡可能不破壞導(dǎo)體之間的強(qiáng)耦合關(guān)系。雖然重疊分區(qū)能夠很好地保留導(dǎo)體之間的耦合，重疊部分越多收斂速度越快，但重疊區(qū)域越多將導(dǎo)致各子個(gè)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算復(fù)雜度增加，因此合理的重疊大小能夠進(jìn)一步提高計(jì)算效率。本文基于靈敏度分析提出的多導(dǎo)體系統(tǒng)瞬態(tài)計(jì)算的分區(qū)方法，可有效判別導(dǎo)體之間的強(qiáng)弱耦合關(guān)系，基于這種強(qiáng)弱耦合關(guān)系對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分區(qū)，并結(jié)合波形松弛法進(jìn)行迭代計(jì)算，能夠大大的提高計(jì)算效率。本文方法的正確性和高效性均通過(guò)算例和實(shí)驗(yàn)得到了驗(yàn)證。

本文方法可直接應(yīng)用于求解如變壓器、電抗器繞組、變電站地網(wǎng)、高速鐵路綜合接地系統(tǒng)等含有大規(guī)模多導(dǎo)體系統(tǒng)的電磁瞬態(tài)計(jì)算。此外，由于網(wǎng)絡(luò)分解后各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部求解相互獨(dú)立，可結(jié)合并行計(jì)算進(jìn)一步加快求解速率，這也是本文后續(xù)將開(kāi)展的工作。

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Fast Time Domain Algorithm for Complex Multi-conductor Systems Transient Analysis Based on Overlapping Partitioning Waveform Relaxation Method

LIU Xin1, LIANG Yongxiang1, LIANG Guishu1, QIN Risheng2, BO Liming1

(1.School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China; 2.Electric Power Research Institute, Yunnan Electric Power Test & Research Group CO. LTD, Kunming 650217, China)

Abstract:A partitioning technology and fast time domain algorithm is proposed for the electromagnetic transient analysis of the multi-conductor systems excited by the lightning, etc. Based on the partial element equivalent circuit (PEEC) method, a circuit model of multi-conductor systems can be established and solved by the waveform relaxation (WR) method in order to reduce the computation complexity. Because of the close correlation between the coupling intensity of each sub-network and the convergence speed of WR method, a coupling analysis method of the multi-conductor circuit parameters and the partitioning technology is proposed based on the sensitivity analysis. Combining with the overlapping partitioning technology, the convergence speed of the algorithm can be accelerated greatly. Finally, the accuracy of the algorithm is verified and the efficiency is also discussed by the analysis of the convergence speed.

Key words：multi-conductor system; waveform relaxation method; overlapping partitioning technology; sensitivity analysis

作者簡(jiǎn)介：劉欣(1980-)，男,副教授，主要從事電力系統(tǒng)電磁瞬態(tài)計(jì)算，電力系統(tǒng)電磁兼容及電力系統(tǒng)過(guò)電壓數(shù)值計(jì)算方面的研究；梁永祥(1989-)，男，碩士研究生，主要從事電力系統(tǒng)電磁瞬態(tài)計(jì)算方面的研究。

中圖分類號(hào)：TM133

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-2691(2016)01-0007-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51407073)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51177048).

收稿日期：2015-05-29.

doi:10.3969/j.ISSN.1007-2691.2016.01.02