直觀表征：讓計(jì)算教學(xué)打上數(shù)學(xué)化的烙印

李春娟

摘 要：計(jì)算教學(xué)承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要任務(wù)。計(jì)算教學(xué)提倡并且強(qiáng)調(diào)算理的探索，算法的建構(gòu)已經(jīng)成為教學(xué)研究的共識(shí)。小學(xué)生的思維水平處于形象思維向抽象思維發(fā)展與過(guò)渡，扎實(shí)有效的計(jì)算教學(xué)離不開(kāi)直觀表征的形式化，真正把握住算理和算法雙翼，促進(jìn)數(shù)學(xué)化的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算教學(xué)；直觀表征；算理；算法；數(shù)學(xué)化

計(jì)算教學(xué)承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要任務(wù)。在實(shí)際的計(jì)算教學(xué)中，我們強(qiáng)調(diào)算理的探索、算法的建構(gòu)、規(guī)律的認(rèn)識(shí)，這些都離不開(kāi)計(jì)算中提供的直觀表征的形式化。實(shí)現(xiàn)兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的實(shí)際需要成為一種最大成功的標(biāo)志。下面結(jié)合一些教學(xué)實(shí)例和分析，談?wù)劰P者的體會(huì)和做法。

■一、困惑——堅(jiān)持只擺不移，失去牽引力。

一次教學(xué)研討活動(dòng)，一個(gè)青年教師講述困惑：因?yàn)閷W(xué)生擺不成教材所給的圖示（如圖1左圖所示），需要教師自己非常生硬地引導(dǎo)為教材中的樣子。如何把學(xué)生的擺法引導(dǎo)到教材呈現(xiàn)的結(jié)果，這本身就是一個(gè)教學(xué)調(diào)控的問(wèn)題，其實(shí)這就是學(xué)生思維是如何生發(fā)的軌跡。筆者提出反問(wèn)：要是學(xué)生真擺成3捆放到一邊，不能把3捆放到4捆下面，那能很快得出結(jié)果嗎？是否需要再動(dòng)一動(dòng)，而這動(dòng)一動(dòng)的過(guò)程就是先算40+30=70，再算70+5=75，這里還可以肯定小朋友的操作經(jīng)驗(yàn)，能把整捆的先合并，再和單根合并，變成魔術(shù)一樣，變成幾十加幾十再加幾，就是轉(zhuǎn)化成了學(xué)過(guò)的整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)、整十?dāng)?shù)加一位數(shù)的加法。困惑在于需要建立具體運(yùn)算到形式運(yùn)算之間的過(guò)渡和解釋?zhuān)?jīng)歷具體到抽象的過(guò)程，并完成數(shù)學(xué)化。再說(shuō)教學(xué)對(duì)策，也可以采用比較，把學(xué)生擺的和教材所示的對(duì)比，再追問(wèn)，為什么不同，需要怎樣去操作就行了，也同樣可以經(jīng)歷過(guò)程，并完成數(shù)學(xué)化。由此，操作的模式化，經(jīng)歷的數(shù)學(xué)化過(guò)程，就是思維的核心，對(duì)應(yīng)相同計(jì)數(shù)單位計(jì)數(shù)，算法的抽象過(guò)程是從對(duì)象到結(jié)果的再現(xiàn)。

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圖1

由此引發(fā)的問(wèn)題：（1）操作和演示，面向全體的演示，操作直觀中，觀察和操作分析，操作的本質(zhì)是揭示具體運(yùn)算到形式運(yùn)算之間的過(guò)渡與發(fā)展，能否表象分析出過(guò)程程序性指令？（2）算珠圖演示操作，多種操作是互補(bǔ)、解釋?zhuān)€是并列、遞進(jìn)關(guān)系？（3）多樣化中是否要指出優(yōu)化，是否真的被接受？（4）個(gè)體差異是“理解”通向“記憶”，還是“記憶”通向“理解”，練習(xí)中有反思的必要性嗎？（5）沒(méi)有操作演示，產(chǎn)生空隙，是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的發(fā)展，而不是生活中建構(gòu)支撐的說(shuō)明，依靠邏輯本身的發(fā)展推動(dòng)，而不是生活外部的動(dòng)力。為什么只擺不移，這是否意味著失去了最大的牽引力？

因?yàn)樵摻處熣f(shuō)出公開(kāi)課后的困惑，筆者給出了處方，自己也面臨著去下藥的準(zhǔn)備。課堂的應(yīng)對(duì)、思考的意義就是把學(xué)生的思維如何真正地生發(fā)出來(lái)，成為牽引力，完成教學(xué)預(yù)設(shè)和生成之間的定奪。

■二、實(shí)施——忽略小棒選擇，還原制動(dòng)力。

基于問(wèn)題討論陳述和筆者個(gè)人的思考，看待教材的設(shè)置，如何過(guò)渡，幫助學(xué)生從直觀手段上突破對(duì)抽象算理的建立。學(xué)情分析，兒童的思維如何發(fā)生，直觀和動(dòng)作思維，形式思維需要一個(gè)清晰呈現(xiàn)層次。帶著課前的思考筆者進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

用筆者的課堂實(shí)際來(lái)說(shuō)明，課堂上學(xué)生的反應(yīng)是先想40+30=70，再想70+5=75，理由是根據(jù)算式之間的推想，建立在整十?dāng)?shù)加法的基礎(chǔ)上來(lái)推算出兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)的方法，這樣的基礎(chǔ)是數(shù)的組成和數(shù)的順序，正確合理。接著補(bǔ)充，學(xué)生用計(jì)數(shù)器來(lái)?yè)?，?0，要撥到十位上，對(duì)應(yīng)撥，就是表示先算40+30=70。兩種方法都出現(xiàn)了，可是學(xué)生還沒(méi)出現(xiàn)小棒圖，基于算法的探索，學(xué)生從推理的角度演繹，從圖示的表征上聯(lián)結(jié)都是正確可行的，為什么學(xué)生不回到小棒圖了？有必要回到小棒圖嗎？筆者覺(jué)得有必要，所以在課堂上肯定了兩種方法后，就提出了還有一種方法沒(méi)想到，是什么呢？知道看書(shū)的小朋友立刻回答是小棒圖，于是大家一起去利用多媒體的演示擺圖去了，擺圖時(shí)先擺4個(gè)整捆和5個(gè)單根后，3捆擺了，怎么看出是75呢？顯然要移動(dòng)，就表示對(duì)應(yīng)擺，這樣對(duì)應(yīng)擺就是正確的方法，也是關(guān)鍵，表示先算40+30=70，也是小朋友先推想得到的想法，再合著看，是75。這樣對(duì)應(yīng)擺，對(duì)應(yīng)撥，就是數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)算，45+30時(shí)，十位上對(duì)應(yīng)加。同樣處理45+3時(shí)，怎么擺，怎么撥，怎么算？有了算理的分析，直觀形象，抽象過(guò)渡，形式歸納，對(duì)應(yīng)的思想深刻而簡(jiǎn)單，透明而清晰。

■三、剖析——組織直觀材料，尋求支撐力。

教學(xué)中重視組織直觀材料，不僅是計(jì)算教學(xué)中算法探索的需要，也是學(xué)生堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)技能化的提醒。計(jì)算中錯(cuò)誤的發(fā)生，回到最初學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)上，是非常有必要的。筆者想用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下。

一是筆者曾經(jīng)教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)兩位數(shù)除以一位數(shù)商是兩位數(shù)的除法，整個(gè)教學(xué)中學(xué)生對(duì)筆者的教學(xué)節(jié)奏非常不適應(yīng)，連后面的“想一想、做一做”做得讓筆者都不忍心批閱，學(xué)生根本不理睬筆者采用的圖示來(lái)分解計(jì)算步驟，習(xí)慣用一個(gè)對(duì)應(yīng)的法則來(lái)計(jì)算。后來(lái)，筆者把糾正放到對(duì)除法算式的意義上，分一分，記一記，減一減，程序性指令的設(shè)計(jì)才能解決每一個(gè)不同的算式步驟所需的一般操作方法求解的問(wèn)題。

二是最近教學(xué)中，部分學(xué)習(xí)困難的孩子對(duì)于數(shù)字觀察比較模糊，或者學(xué)習(xí)的心向不足，對(duì)計(jì)算的厭倦反而助長(zhǎng)了思維的不清晰。對(duì)于計(jì)算的錯(cuò)誤，筆者讓幾個(gè)孩子訂正作業(yè)時(shí)，想一想當(dāng)初學(xué)習(xí)的時(shí)候課堂上老師和大家是怎么分享意見(jiàn)的，結(jié)果學(xué)生很快便做對(duì)了。問(wèn)過(guò)后，筆者知道了原來(lái)他們想到小棒圖或算珠圖了，返回到用直觀材料的組織上，再利用，不斷地再利用，也就順利解決錯(cuò)誤了。

可見(jiàn)，計(jì)算教學(xué)中程序性的設(shè)計(jì)，操作化的指令是一個(gè)思維的導(dǎo)向的聯(lián)結(jié)，這種聯(lián)結(jié)依賴(lài)于學(xué)生頭腦中有可設(shè)計(jì)的材料，能夠組織化，而且還能得到自我糾正，提高元認(rèn)知策略，尋求出來(lái)了支撐力，促進(jìn)意義的建構(gòu)。

■四、啟示——依托表征意義，架設(shè)平衡力。

針對(duì)直觀材料意義的組織，解釋、分解、化解、設(shè)計(jì)、轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)、聯(lián)結(jié)的過(guò)程需要依托表征意義，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的平衡力。對(duì)直觀材料的表征意義，需要對(duì)計(jì)算教學(xué)做出一些嘗試。

首先，直觀與抽象，突出意義。加法突出合并，減法突出去掉，乘法突出連加，除法突出連減，按群計(jì)數(shù)的遷移，這是程序性設(shè)計(jì)過(guò)程的大前提。如教學(xué)兩位數(shù)除以整十?dāng)?shù)時(shí)，40÷20商的書(shū)寫(xiě)位置的確定，如何定位商，就要結(jié)合擺小棒圖，得到40里面有幾個(gè)20呢？分一分，看一看，想一想，從直觀的驗(yàn)證上確立結(jié)果。分?jǐn)?shù)的加減教學(xué)，同分母分?jǐn)?shù)的加減也是通過(guò)正方形圖片，利用幾個(gè)幾分之一的分?jǐn)?shù)單位來(lái)計(jì)量的。直觀通向抽象中，突出意義，把握住思維的起點(diǎn)源頭。

其次，探究與訓(xùn)練，突出回歸。探究中需要利用直觀材料找到原型的依據(jù)，如小數(shù)的加減法計(jì)算，直觀中呈現(xiàn)出元、角、分對(duì)應(yīng)的位置，對(duì)應(yīng)的法則有一個(gè)背景和由來(lái)。練習(xí)鞏固中更是對(duì)學(xué)習(xí)探究到的知識(shí)和方法的檢驗(yàn)，如對(duì)應(yīng)乘法計(jì)算，把求幾個(gè)幾拓展到分?jǐn)?shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)，再如除法計(jì)算，把求一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)幾，包含除，或是把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少，等分除，都能有符號(hào)的表示，而且可以借助操作演示，每一次的回歸是為了更好地向前躍進(jìn)，有理想中的收獲。

最后，監(jiān)督與內(nèi)省，突出評(píng)價(jià)。計(jì)算教學(xué)中，面對(duì)學(xué)生計(jì)算中的錯(cuò)誤，常規(guī)教學(xué)中提供機(jī)會(huì)展示，除分析道理外，還需要適當(dāng)?shù)亟⒃u(píng)價(jià)機(jī)制。用送上小提醒的方式，來(lái)追問(wèn)為什么錯(cuò)了，應(yīng)該怎么想？如教學(xué)一年級(jí)口算中，面對(duì)兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)、一位數(shù)時(shí)，有學(xué)生要把兩位數(shù)減一位數(shù)也看成先減十位了，發(fā)生的錯(cuò)誤，用一個(gè)規(guī)則道理說(shuō)服不夠，課堂上學(xué)生說(shuō)到了減的時(shí)候本來(lái)是要減個(gè)位的，這才是關(guān)鍵。

利用嘗試性的建議，回到上面引發(fā)的5個(gè)問(wèn)題，算理的探索和算法的建構(gòu)有著心理的扭轉(zhuǎn)與變化、適應(yīng)與發(fā)展過(guò)程，體現(xiàn)出直觀到抽象之間形式化的運(yùn)作，實(shí)物、替代、符號(hào)的使用抽象出模型，形成遞進(jìn)式的思維方式，多樣中的優(yōu)化是自然選擇的結(jié)果，“理解”和“記憶”反復(fù)之間是量到質(zhì)的不斷變化，依靠數(shù)學(xué)思維內(nèi)部流量加工成學(xué)習(xí)策略。

綜上所述，數(shù)學(xué)是思維體操，組織直觀材料的使用，可以促進(jìn)計(jì)算教學(xué)中數(shù)學(xué)化的聯(lián)結(jié)。小學(xué)生的思維發(fā)展正處于直觀形象和抽象思維之間的過(guò)渡，重視直觀表征，自我搭建腳手架，幫助學(xué)生把握住算理和算法的雙翼，為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)提供了保障，開(kāi)啟了數(shù)學(xué)化烙印。