由“數(shù)學(xué)問題生活化”想到“應(yīng)讓問題解決數(shù)學(xué)化”

董偉忠

摘 要：“讓數(shù)學(xué)問題生活化”是目前普遍的教學(xué)口號，我們認(rèn)為生活中的數(shù)學(xué)問題必須充分?jǐn)?shù)學(xué)化，只有教師堅守數(shù)學(xué)思維這塊陣地，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)和提出問題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去分析與解決問題，不斷地教給學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察、用數(shù)學(xué)的策略探究，不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與提升，數(shù)學(xué)問題才能在生活化的基礎(chǔ)上回歸到數(shù)學(xué)的本源。

關(guān)鍵詞：問題解決；抽象思維；生活化；數(shù)學(xué)化

在當(dāng)前的課堂中，教師普遍重視讓數(shù)學(xué)問題生活化，“生活化”成了教師的常用語。不經(jīng)意間，我們又發(fā)現(xiàn)不少生活問題與數(shù)學(xué)教學(xué)卻遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)，學(xué)生在教師的表揚聲中往往糾纏于“數(shù)學(xué)”之外的東西孜孜以求。有時我們滿懷希望等待學(xué)生提出“有價值”的數(shù)學(xué)問題，但結(jié)果往往是我們失望的，其原因是學(xué)生缺乏一種數(shù)學(xué)的“眼光”。因此，我們應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程，本文嘗試在“數(shù)學(xué)問題的生活化”的基礎(chǔ)上來個更為理性的探討。

■一、讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)和提出問題，讓問題立足數(shù)學(xué)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“要讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠初步運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的問題?！蔽覀冋J(rèn)為，這個生活中的問題理應(yīng)站在數(shù)學(xué)的角度而不是生活情境的角度。

1. 提供問題情景，感受生活中的數(shù)學(xué)問題

教師應(yīng)該有意識地從生活中選取具有特定數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實背景，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有效的問題情景，感受生活中的數(shù)學(xué)問題。

例如：“求簡單的平均數(shù)”一課，在學(xué)生理解“平均數(shù)”意義后，教師出示了這樣一道題：一片海域（出示圖片），平均水深5米，有一艘輪船，吃水深度4米，這艘輪船能不能安全通過這片海域？為什么？這一問題情景旨在讓學(xué)生理解平均數(shù)并非具體數(shù)據(jù)的特定情況：雖然平均深度5米超過輪船吃水深度4米，但是有的地方水的深度超5米，有的地方又會不足5米，甚至連4米都不到，當(dāng)水深不足4米的時候，輪船就無法通過了。這道題的設(shè)計打破了學(xué)生“5大于4”的慣性思維，促進(jìn)了學(xué)生對平均數(shù)概念的理解，既是生活中的數(shù)學(xué)問題，又不乏數(shù)學(xué)思維的參與過程。

2. 收集現(xiàn)實信息，經(jīng)歷生活中的數(shù)學(xué)問題

由于學(xué)生沒有提出問題的能力，數(shù)學(xué)問題都是教師設(shè)計并提出的，這種方式雖然也能把問題當(dāng)做教學(xué)的出發(fā)點，卻忽視了學(xué)生主體的內(nèi)在需求?，F(xiàn)實教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生圍繞主題進(jìn)行相關(guān)信息材料的收集，在對信息的篩選和比較的過程中獲得了經(jīng)歷和體驗，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識與自主意識。

比如在多位數(shù)的讀寫的教學(xué)中，教師可以安排學(xué)生通過上網(wǎng)搜索資料、找課外書、請教成人等方法搜集有關(guān)多位數(shù)的信息資料，還有助于學(xué)生在獲取相關(guān)知識的同時拓展知識面。再如在教學(xué)百分?jǐn)?shù)的意義時，教師可以讓學(xué)生收集衣服標(biāo)簽中的原料含量、飲料中的成分比例等材料，作為學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的前期準(zhǔn)備。

■二、讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去分析和解決問題，借生活體驗數(shù)學(xué)

在“問題解決”中，學(xué)生必須綜合所學(xué)得的知識，并把它應(yīng)用到新的、未知的情境中去，這就需要學(xué)生使用恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗浴?/p>

1. 形成解決問題的基本方法。

（1）操作發(fā)現(xiàn)

動手操作能讓動作帶動形象思維，促進(jìn)抽象邏輯思維的形成。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加強學(xué)生的操作活動，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)動手、動腦、動口與動眼的機會，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如：“三角形的面積公式推導(dǎo)”，是通過操作將新的圖形（教材提供的是兩個完全相同的直角、銳角或鈍角三角形）轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形并建立相互間的聯(lián)系推導(dǎo)出三角形面積的計算公式。而在實際的教學(xué)中，我們可以進(jìn)一步拓展學(xué)生探究的空間，提供更多的操作材料：其中有完全相同的、不相同的三角形若干，讓學(xué)生選擇其中的一個或幾個，轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，再來研究轉(zhuǎn)化后圖形與原來三角形的關(guān)系。學(xué)生在這個過程中經(jīng)歷了剪、拼、移、折等多種操作活動，在多次嘗試的失敗、艱苦的思考、同伴的幫助下，最后才能享受到成功的喜悅。

（2）估計估算

估計和估算是一種非常重要的數(shù)學(xué)思維方式，是在學(xué)生已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上用定量的方法來幫助解決問題，有助于對問題的整體把握。

如：看到一個房間，學(xué)生會自覺地進(jìn)行估計和估算，有的學(xué)生直接憑借頭腦中建立的面積單位的表象估計房間的大小，有的學(xué)生則先通過目測估計房間的長和寬，再經(jīng)過簡單的計算估算出房間面積。這樣可以更加快捷地加深對問題的認(rèn)識，強化學(xué)生的數(shù)感和空間觀念，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決問題的能力。

（3）合情推理

人的思維形式不是單一的，在生活實踐中解決數(shù)學(xué)問題，除去了邏輯思維以外，還需要合情的推理、必要的直覺思維等的參與。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握與基本能力的形成階段，引導(dǎo)學(xué)生用多種思維方式去思考，重視讓學(xué)生在原有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上對新問題進(jìn)行猜想、估計和假設(shè)，并學(xué)會驗證、探究原因。

■

圖1

如現(xiàn)實中有不少對幾何圖形大小比較的情形，如果教師能提前讓學(xué)生在雙基教學(xué)時打下基礎(chǔ)、學(xué)會推理，在解決生活問題的時候就能有效借鑒與遷移相關(guān)策略。如學(xué)習(xí)圓的面積，可先出示圖1，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓面積和小正方形面積的大小關(guān)系進(jìn)行猜想：圓的面積比4個小正方形的面積小，而比3個小正方形的面積大，即3r2

■三、讓學(xué)生從反思的視角提升問題解決的策略，讓數(shù)學(xué)高于生活

通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能初步形成反思的意識。反思能使學(xué)生真正深入數(shù)學(xué)規(guī)律的深層，為后繼的學(xué)習(xí)積淀方法和經(jīng)驗。

1. 學(xué)會評價他人，善于反思自己

教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生樂于傾聽同學(xué)的意見、學(xué)會分享他人的學(xué)習(xí)成果。如學(xué)生探究活動后引導(dǎo)學(xué)生想：我學(xué)會了什么，我是怎樣學(xué)會的？在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，計算■+■，學(xué)生在自主探索、合作交流后全班展示算法：

（1）■ + ■→ ■ （■）

（2）■+■=0.5+0.25=0.75

（3）■+■=■+■=■

在傾聽和理解他人意見的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，“我的方法與他們的有什么不同之處”、“我怎么沒想到”、“他們的方法對我有什么啟發(fā)”等。教師在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生討論、分析比較，把優(yōu)化的過程變成學(xué)生反思的過程，讓學(xué)生親身“悟”出最佳方法，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

2. 積極組織互動式學(xué)習(xí)反思

“一個好漢三個幫”，反思必須在互動中完善。筆者上過一堂讓學(xué)生運用畫圖法解決問題的課，全課的小結(jié)時，筆者問學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲。有的學(xué)生回答畫圖法能讓數(shù)學(xué)題清楚明白，有助理解題意；有的學(xué)生說畫圖法更有助于面積計算類的問題；有的學(xué)生則說要是碰到難以理解的題目時，可以把其中的一些數(shù)量關(guān)系抽象成線段或者一個圓，然后進(jìn)行比較分析。這樣的總結(jié)就會學(xué)生今后運用畫圖法埋下了伏筆、提升了動機。

3. 為學(xué)生提供反思的平臺

我們要引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)⑸钪械臄?shù)學(xué)現(xiàn)象加以歸納與改編，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)問題。目前很多教師都在做的讓學(xué)生寫數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)日記、編數(shù)學(xué)故事等等教學(xué)形式，有助于學(xué)生通過童眼看世界，記錄下智慧增值的過程。

比如讓學(xué)生學(xué)習(xí)“圓柱的體積”后，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中很多容器（如水杯、茶葉筒）一般都是基于圓柱體的結(jié)構(gòu)設(shè)計的。如果教師僅僅教會學(xué)生計算這些物體的表面積與體積，那是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教法，而如果教師拿它們與同底面積等高的長方體比較就會發(fā)現(xiàn)：兩者體積相同，但后者更浪費制作的材料，這些認(rèn)識可以通過數(shù)據(jù)的觀察讓學(xué)生歸納并總結(jié)出來，將有助于學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)能解決生活問題，生活需要數(shù)學(xué)來優(yōu)化”。這樣數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值就會滲透到學(xué)生的心底，增強他們學(xué)習(xí)的自覺性。

綜上所述，生活中的數(shù)學(xué)問題必須充分?jǐn)?shù)學(xué)化，只有教師堅守數(shù)學(xué)這方沃土，不斷地教給學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察、用數(shù)學(xué)的策略探究，不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與提升，才能讓數(shù)學(xué)問題的解決在日益生活化的今天結(jié)出“原汁原味”的數(shù)學(xué)“果子”。