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    整式加減有高招

    2016-03-29 11:48:20朱元生
    初中生天地 2016年28期
    關(guān)鍵詞:高招同類項化簡

    □朱元生

    整式加減有高招

    □朱元生

    整式的加減是一種非常重要的運算,也是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).整式加減的實質(zhì)就是“去括號”和“合并同類項”法則的綜合運用.現(xiàn)就整式加減各個環(huán)節(jié)的解題高招,分類闡述如下.

    一、兩同兩無關(guān)——識別同類項

    例1指出下列多項式中的同類項.

    分析:(1)與-yx3,系數(shù)及字母的排列順序雖然不同,但它們所含的字母及相同字母的指數(shù)分別相同,故為同類項;與-2xy3,系數(shù)不同,但它們所含的字母及相同字母的指數(shù)也分別相同,故為同類項;3與都不含字母,它們是常數(shù)項,也是同類項;

    解:(1)與-yx3是同類項;與-2xy3是同類項;3與是同類項.

    點評:同類項不僅要求所含字母相同,而且相同字母的指數(shù)也應(yīng)分別相同,與字母的排列順序無關(guān),與系數(shù)無關(guān).另外所有的常數(shù)項都是同類項.

    二、一相加二不變——合并同類項

    合并同類項,就是把同類項的系數(shù)相加,所得的結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變.

    例2合并下列多項式中的同類項:

    (1)8x2y-4xy2-2xy+3xy2-8x2y+5xy;

    (2)a2b2+2ab-7a2b2--1+5a2b2.

    分析:首先要找出同類項,然后再按照法則進行合并.在多項式(1)中,8x2y和-8x2y是同類項,它們合并的結(jié)果為0;-4xy2和3xy2是同類項,它們合并的結(jié)果為-xy2;-2xy和5xy是同類項,它們合并的結(jié)果為3xy.在多項式(2)中,a2b2,-7a2b2,5a2b2是同類項,它們合并的結(jié)果為-a2b2;2ab,是同類項,它們合并的結(jié)果為

    解:(1)8x2y-4xy2-2xy+3xy2-8x2y+5xy

    =(8x2y-8x2y)+(-4xy2+3xy2)+(-2xy+5xy)

    =-xy2+3xy.

    (2)a2b2+2ab-7a2b2-ab-1+5a2b2

    =(a2b2-7a2b2+5a2b2)+(2ab-ab)-1

    =-a2b2-ab-1.

    點評:合并同類項的依據(jù)是加法的交換律、結(jié)合律,乘法的分配律和有理數(shù)的加法法則.在合并同類項時,我們可以采用標(biāo)記的方法,在同類項的下方標(biāo)出相同的符號,這樣出現(xiàn)問題也容易查找根源.

    三、負變正不變——運算更簡便

    去括號的法則是:括號前面是“+”號,把括號和它前面的“+”號去掉,括號內(nèi)的各項都不變號;括號前面是“-”號,把括號和它前面的“-”號去掉,括號內(nèi)的各項都要改變符號.

    例3 先去括號,再合并同類項:

    (1)(5a2-2a-3ab+b2)-(5a2-ab);

    分析:分別按照去括號和合并同類項的法則進行運算.

    解:(1)(5a2-2a-3ab+b2)-(5a2-ab)

    =5a2-2a-3ab+b2-5a2+ab

    =-2a-2ab+b2.

    =(6xy-6x)+(-6xy+2y-1)

    =6xy-6x-6xy+2y-1

    =-6x+2y-1.

    點評:當(dāng)括號外面有因數(shù)時,要用這個因數(shù)遍乘括號內(nèi)的各項,然后再根據(jù)去括號法則去掉括號.特別要注意,括號前面是“-”號,把括號和它前面的“-”號去掉,括號內(nèi)的各項都要改變符號,如果有同類項,還應(yīng)合并同類項.

    四、先化簡再求值——事半功倍

    例4先化簡、再求值:

    (1)(4a2-3a)-(2a2+a-1)+(2-a2-4a),其中a=-2.

    (2)4xy-[(x2+5xy-y2)-(x2+3xy-2y2)],其中x=

    分析:整式的加減實質(zhì)上就是“去括號”和“合并同類項”法則的綜合運用.有括號,要先去括號,有同類項,再合并同類項,最后代入求值.

    解:(1)(4a2-3a)-(2a2+a-1)+(2-a2-4a)

    =4a2-3a-2a2-a+1+2-a2-4a

    =a2-8a+3.

    當(dāng)a=-2時,原式的值為(-2)2-8×(-2)+3=23.

    (2)4xy-[(x2+5xy-y2)-(x2+3xy-2y2)]

    =4xy-(x2+5xy-y2)+(x2+3xy-2y2)

    =4xy-x2-5xy+y2+x2+3xy-2y2=2xy-y2.

    點評:化簡實質(zhì)上就是通過去括號和合并同類項,把繁瑣的式子化成最簡形式,這樣再求值就能收到事半功倍的效果.

    五、整體代換——方法獨特

    例5 (1)已知a2+2a+1=0,試求2a2+4a-5的值.

    (2)已知a2+bc=14,b2-2bc=-6,試求3a2+4b2-5bc的值.

    分析:(1)根據(jù)現(xiàn)有知識,無法求得a的值.觀察所求式與已知式,可將它們適當(dāng)變形,再整體代入,比較簡便;

    (2)由已知條件,顯然無法直接求得a,b,c的值,這時可將待求式3a2+4b2-5bc變形,用已知式表示為3(a2+bc)+4(b2-2bc),再把已知條件整體代入,問題則化難為易.

    解:(1)由a2+2a+1=0,可得a2+2a=-1.

    則2a2+4a-5=2(a2+2a)-5=2×(-1)-5=-7.

    (2)3a2+4b2-5bc=3(a2+bc)+4(b2-2bc)=3×14+4×(-6)=18.

    點評:代數(shù)式的條件求值有較強的靈活性和技巧性,解題時往往要采用一些特殊的方法和技巧,而“整體代換”則是條件求值最常用的方法之一.根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點,尋求已知條件與待求式之間的內(nèi)在聯(lián)系,巧妙代換,會使問題化難為易.

    六、特殊值代換——別有洞天

    例6 若(3x+1)4=ax4+bx3+cx2+dx+e,試求a-b+c-d+e的值.

    分析:由已知條件難以求得待求式中字母的具體數(shù)值,也就無法求得代數(shù)式的值,但是我們可以根據(jù)條件,在取值范圍內(nèi)賦予字母特殊值,代入計算,會使問題變簡捷.

    解:取x=-1,

    代入可得[3×(-1)+1]4=a·(-1)4+b·(-1)3+c·(-1)2+d·(-1)+e.

    整理可得:a-b+c-d+e=16.

    點評:這種根據(jù)條件在取值范圍內(nèi)賦予字母的特殊值,再代入計算的方法,也可謂匠心別具.

    其實,條件求值的方法和技巧還有很多,只要大家用心體會,相信隨著知識的不斷積累,同學(xué)們定會掌握越來越多的條件求值的好方法.

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