高中生立體幾何空間觀念培養(yǎng)有效途徑探究
——基于空間觀念的發(fā)展階段特點

鄧　靚

（喀什大學(xué)，新疆　喀什　844000）

?

高中生立體幾何空間觀念培養(yǎng)有效途徑探究
——基于空間觀念的發(fā)展階段特點

鄧靚

（喀什大學(xué)，新疆喀什844000）

摘要：空間觀念是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，同時貫穿高中生立體幾何學(xué)習(xí)的整個過程.本文主要闡述了空間觀念的五個發(fā)展階段，教師進行教學(xué)時，應(yīng)充分關(guān)注這五個階段，適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、結(jié)合經(jīng)驗、發(fā)展想象、聯(lián)系實際等方式有效發(fā)展空間觀念.

關(guān)鍵詞：空間觀念；觀察；經(jīng)驗；想象

立體幾何在整個幾何知識體系中占有舉足輕重的地位，它以平面幾何知識為基礎(chǔ)，是對平面幾何知識的一種延生，在知識理解度上難于平面幾何.新課標(biāo)提出，高中階段開設(shè)立體幾何有著重要的意義：它能夠發(fā)展學(xué)生對于空間理解和認識的能力，培養(yǎng)人的直覺思維與創(chuàng)新精神，同時對立體幾何的學(xué)習(xí)這個過程，學(xué)生的邏輯推理能力也會得到發(fā)展，學(xué)生將會運用立體幾何中所形成的思維去解決實際生活中遇到的問題.而要想學(xué)好立體幾何，我們則要注重學(xué)生空間觀念的培養(yǎng).空間觀念是人們對物體大小、形狀及其物體相互間的位置關(guān)系在頭腦中形成的表象，空間觀念的形成是從物體的二維空間到三維空間的過渡，是人們從平面幾何向立體幾何的過渡.

1　高中生空間觀念的發(fā)展階段及表現(xiàn)

在數(shù)學(xué)能力中，空間觀念是較為特殊的一種能力.它不僅具有數(shù)學(xué)能力發(fā)展的一般特點，還有其自身的特殊性，它將直覺建立在空間與圖形上，通過直覺勾畫出物體的空間結(jié)構(gòu).空間觀念的發(fā)展跟隨數(shù)學(xué)其他能力一起發(fā)展.高中階段整個立體幾何學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生空間觀念發(fā)展由淺至深經(jīng)過五個階段：

1.1感知及辨認圖形階段

該階段為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的初級階段.教學(xué)上一般采用的是將立體幾何圖形用實物等方式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生的感知由抽象的圖形到現(xiàn)實生活中具體圖形的轉(zhuǎn)變，從而建立兩者間的聯(lián)系.這一階段要求學(xué)生能夠根據(jù)立體圖形的大概輪廓辨別出圖形，同時能夠?qū)D形語言轉(zhuǎn)化為文字語言并描述出來.這一階段注重學(xué)生對立體幾何圖形的觀察、觸摸、操作（畫圖等），從而形成感知，然后在頭腦中形成圖形的基本輪廓.

1.2認知和分析圖形階段

在高中立體幾何學(xué)習(xí)階段，完成對幾何體辨認之后則是對立體幾何圖形概念、定義、特性等的學(xué)習(xí).立體幾何是建立在平面幾何知識基礎(chǔ)上的更加抽象的圖形，高中生具備了一定的平面幾何基礎(chǔ)，因此通過對立體幾何初步的觀察、感知及辨認后，以平面幾何知識為基底，進行簡單猜想，同時能夠?qū)D形特征進行簡單的總結(jié)并定義等.

1.3推理論證圖形階段

這一階段是學(xué)生空間觀念形成及發(fā)展的關(guān)鍵階段.當(dāng)學(xué)生經(jīng)過前面兩個階段對圖形感知辨認以及認知分析的思維訓(xùn)練之后，則進入到了推理論證圖形階段.處于該階段的學(xué)生通過定義、定理等知識對立體幾何進行進一步的推理論證，將他們在前兩個階段所掌握的知識、形成的觀念進一步深化及理解，推進空間觀念的進一步發(fā)展，此時則能夠初步形成幾何直觀能力.

1.4聯(lián)系建構(gòu)圖形階段

經(jīng)過前三個階段學(xué)生的空間觀念得到了更大的發(fā)展，在能夠形成幾何直觀能力的情況下，空間觀念又將不斷完善.該階段的學(xué)生由于能夠?qū)⒁欢ǖ某橄髱缀误w在頭腦中形成具體的圖形，因此他們對于立體幾何圖形的探索則會有更深厚的興趣.他們能夠體會到推理和證明的邏輯樂趣，能夠運用從前所學(xué)的有關(guān)于幾何體的知識解答問題；能夠?qū)⑵矫鎺缀沃械乃倪呅闻c立體幾何中的四面體聯(lián)系起來，同時可以分析出相同點與差異性，建構(gòu)出多種四面體；能夠靈活運用數(shù)學(xué)方法，探索立體幾何圖形的特征與數(shù)量的關(guān)系；能夠舉一反三，探索發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律等.

1.5想象及創(chuàng)造階段

經(jīng)過前面四個階段對立體幾何知識的不斷學(xué)習(xí)，學(xué)生對于幾何體有了一定的了解，幾何直觀能力也不斷的加強，在這一過程中，學(xué)生的空間觀念不斷成熟，他們不僅能夠辨別幾何體，分析及總結(jié)特征等，其空間想象能力及邏輯推理能力也在不斷加強.他們會獨立的在頭腦中建構(gòu)與幾何體有關(guān)聯(lián)的一切知識點，并能夠重新排列分類，拓展出與原來知識結(jié)構(gòu)體系類似的特征、性質(zhì)，運用不同的方法對同一幾何問題進行嚴密的推理論證.

空間觀念的發(fā)展是具有階段性的，但是每一階段間卻又不存在明顯的界限.根據(jù)前四個階段的發(fā)展可知，空間觀念的發(fā)展與幾何認知水平發(fā)展的次序性一樣，前一階段發(fā)展的完成為下一階段的發(fā)展提供保證.因此高中生在培養(yǎng)空間意識時，應(yīng)該充分關(guān)注其次序性，要重視每一階段的培養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，才能夠更好的培養(yǎng)空間觀念.

2　高中立體幾何教學(xué)中空間觀念培養(yǎng)的有效途徑

學(xué)生進入高中階段，數(shù)學(xué)教材中第一次系統(tǒng)的介紹立體幾何知識，此時，學(xué)生在日常生活中，已經(jīng)對事物的立體圖形有了一定的直觀接觸，但是卻未形成系統(tǒng)的空間能力.因此，要想在高中階段建立起空間觀念，則需對空間圖形有豐富的感知認知，通過觀察、觸摸等方式建立幾何直觀能力.根據(jù)前面所闡述的空間觀念發(fā)展的五個階段可知，對立體圖形的最基本的觀察、觸摸等是空間觀念能否發(fā)展及空間觀念發(fā)展的如何的基礎(chǔ).高中階段教師應(yīng)該給予學(xué)生多種途徑感知和認識立體圖形，如在課堂中，將書本上的空間圖形與現(xiàn)實生活中的圖形聯(lián)系起來，將抽象的圖形具體化；可以讓學(xué)生自己動手制作空間圖形，通過分解重組的方式，掌握圖形的特征，在頭腦中形成與自己原有認知相聯(lián)系的知識等.通過鼓勵學(xué)生多動手操作，培養(yǎng)他們對立體圖形的感知，加深他們對于抽象幾何圖形的理解，形成更加完備的空間觀念.

2.1有目的的引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等方式，感知空間圖形，儲備空間表象

空間觀念的形成，往往和直觀的空間圖形有密切的關(guān)系.高中學(xué)生在初步接觸立體幾何時，對于抽象的幾何圖形總難以理解，無法由抽象的圖形轉(zhuǎn)變到具體的圖形.而根據(jù)空間觀念的發(fā)展階段看，學(xué)生空間觀念的形成，是由視覺上的沖突再到對具體圖形的觸摸，形成感知，再通過實際的動手操作，這一系列的過程之后，學(xué)生頭腦中才能夠形成對該空間圖形的一個基本的輪廓，即有具體到抽象的轉(zhuǎn)變過程.在這一過程中，學(xué)生通過看一看，摸一摸，折一折，畫一畫等實踐活動形成感知，對空間圖形有了一個比較清晰及豐富的認知，經(jīng)過時間的沉淀以及對不同具體圖形表象的積累，將會有利于高中生空間觀念的形成.

2.1.1學(xué)會觀察，積累空間表象素材

觀察是一種目的明確、積極主動、時間持續(xù)的有計劃的思維活動，在高中階段，是學(xué)生積累空間表象素材的重要方法之一.學(xué)生通過對具體實物細致的觀察，總結(jié)出實物的特征，同時能夠發(fā)現(xiàn)與實物對照相同或者相似的立體幾何圖形也有想類似的特性，在這一過程中，不斷積累相似圖形，獲得與之有關(guān)的幾何圖形的表象，從而樹立正確的立體幾何概念，促進空間觀念的形成.如在學(xué)習(xí)空間幾何體時，對于長方體、正方體、圓柱體等的認識，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)的有這些體型的物體進行觀察，比如從近處的課桌、書本、燈管等到大而抽象的樓房等，讓學(xué)生概括總結(jié)不同物體的特征，如長方體的書桌、書本都有六個面，12條棱等，讓學(xué)生親眼看一看，摸一摸，通過感官的觸動，使具體的實物與抽象的空間體的形象能夠在大腦中得到反映，此時學(xué)生對于反映在大腦中的對于與長方體相同特征的實物都能夠快速的反映出來.這樣，學(xué)生對于“體”這個概念就有了相對形象具體的了解，通過不斷地對具體實物的觀察，再在大腦中形成表象，在積累到一定程度時，學(xué)生則可以離開具體實物，抽象出空間物體，形成空間觀念.

2.1.2動手操作，感知空間圖形結(jié)構(gòu)

高中階段學(xué)習(xí)立體幾何時，觀察是培養(yǎng)空間觀念的第一步，通過觀察，積累空間表象的素材，第二步則是在觀察的基礎(chǔ)上，通過實際的動手操作，感知空間圖形從抽象的書面圖形到具體的實物間的變化，總結(jié)其不同于相同點.皮亞杰曾說過空間觀念的形成也離不開實際的動手操作過程.動手操作其實也是學(xué)生對于原來觀察的圖形在頭腦中形成表象后的一種推理驗證的嘗試過程，驗證在自己腦中反映的圖形與實際的圖形間是否存在預(yù)設(shè)的關(guān)系，在不斷的假設(shè)——操作——推翻假設(shè)——調(diào)整——操作——驗證假設(shè)的過程中，積累直接經(jīng)驗，建立起空間觀念.教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該多鼓勵學(xué)生動手操作實際物體.如在講授長方體時，教師可以結(jié)合教具，首先讓學(xué)生仔細觀察，例舉日常生活中的長方體；接下來則可以讓學(xué)生摸一摸長方體，如課桌、書本，引導(dǎo)學(xué)生對長方體的特征進行總結(jié)，量一量長方體每條棱的長度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)實物中的長方體的12條棱并不在一個平面內(nèi)，使他們明白相對棱的關(guān)系等；還可以組織學(xué)生用白紙板制作長方體，這樣學(xué)生能夠在制作的過程中發(fā)現(xiàn)長方體對面，對邊間的關(guān)系，能夠發(fā)現(xiàn)長方體也是長方形的組合.通過實際動手操作，由二維到三維的轉(zhuǎn)變，由抽象到具體再到抽象的轉(zhuǎn)變，學(xué)生在感知具體圖形的過程中，頭腦中也能夠形成空間體的大致結(jié)構(gòu)關(guān)系，空間表象和空間觀念就會不斷地發(fā)生并漸漸形成.

2.2與原有的認知經(jīng)驗相結(jié)合，進行簡單猜想，建立空間觀念

數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活，新課標(biāo)強調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上”.高中階段的立體幾何是建立在平面幾何知識基礎(chǔ)上的，因此，對于高中初學(xué)立體幾何的學(xué)生而言，而空間觀念的發(fā)展同樣也離不開學(xué)生原有的認知經(jīng)驗.這種經(jīng)驗可以是學(xué)生學(xué)習(xí)的平面幾何知識為基礎(chǔ)，即已有的幾何知識經(jīng)驗；也可能是日常生活中所累積起來的與空間幾何體有關(guān)的具體圖形在腦海中形成的表象等，即生活經(jīng)驗；還可以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中積累的經(jīng)驗.

2.2.1充分運用已有的經(jīng)驗，產(chǎn)生觀念沖突與聯(lián)系

根據(jù)空間觀念發(fā)展的五個階段可知，高中生空間觀念的形成與學(xué)生已有的幾何認知經(jīng)驗有密切的關(guān)系.高中生擁有了一定的平面幾何知識基礎(chǔ)，同時也累積了豐富的空間表象素材，因此教師在進行立體幾何教學(xué)時，要重視教學(xué)設(shè)計與學(xué)生已有的幾何經(jīng)驗間的內(nèi)在聯(lián)系，要考慮如何激發(fā)學(xué)生原有的認知與新知識的沖突與聯(lián)系，從而使新知識與原有認知能夠自然的得到發(fā)展.如在教授正方體時，教師應(yīng)該將正方體分解成六個正方形，從學(xué)生熟悉的平面幾何知識入手，引導(dǎo)學(xué)生以原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，嘗試著認識新的正方體.在這一過程中，學(xué)生的認知會產(chǎn)生沖突，如為什么正方形能夠組合成正方體？正方體與正方形之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？啟發(fā)學(xué)生準(zhǔn)確的形容正方體的特征，使學(xué)生對立體幾何圖形的認知更加深刻.

2.2.2進行簡單猜想與驗證，形成空間觀念

高中生以一定的原有知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對于新的知識，即立體幾何學(xué)習(xí)時，應(yīng)該與原有幾何經(jīng)驗相結(jié)合，大膽嘗試猜想，并加以驗證.在猜想——驗證的過程中，認識新的立體幾何圖形，分析猜想的結(jié)果與實際結(jié)果間的差異，及時進行調(diào)整糾正，逐步形成空間觀念.如學(xué)生在學(xué)習(xí)三視圖的過程中，對于不同空間圖形以不同方式呈現(xiàn)出來時，學(xué)生應(yīng)該積極的將該圖形與頭腦中已有的圖形表象相結(jié)合，大膽猜想它的呈現(xiàn)方式，之后結(jié)合實際的動手操作及觀察，驗證自己的猜想是否正確，在這一過程中根據(jù)所學(xué)的知識點分析支持以及否定猜想的各種條件，最后得出結(jié)論.這個反復(fù)的驗證分析過程，有助于空間觀念的逐步形成.

2.3發(fā)揮想象能力，發(fā)展空間觀念

想象是促進思維發(fā)展的推進器，空間觀念的發(fā)展自然離不開空間想象能力.高中階段，當(dāng)學(xué)生積累了豐富的空間表象素材，有了較為牢固的直觀能力時，適時地通過想象，將腦海中形成的實物表象運用更進一步的思維活動內(nèi)化，促進空間觀念的發(fā)展.空間想象能力實則是建立在豐富的感知基礎(chǔ)之上的，即通過對實物的細致觀察、觸摸、操作、驗證，再與已有的知識經(jīng)驗想結(jié)合，在大腦中形成的新空間體的思維過程.教師應(yīng)該有目的、有意識的引導(dǎo)學(xué)生大膽的發(fā)揮其想象能力，能夠在頭腦中有抽象圖形的反映，并且可以及時的通過語言或者繪畫的方式將頭腦中想象出的結(jié)構(gòu)用幾何語言表述出來，這種訓(xùn)練將更進一步的促進空間觀念的發(fā)展.如在學(xué)習(xí)“點、線、面”的相關(guān)知識時，對于“直線與平面的位置關(guān)系”與“平面與平面的位置關(guān)系”這一知識點的學(xué)習(xí)，學(xué)生剛接觸時可能無法準(zhǔn)確地理解，此時教師則應(yīng)該鼓勵學(xué)生將這一位置關(guān)系在頭腦中想象出來，可以想象成一張紙上有一條直線穿過，兩張紙相互交叉等，然后再將實物抽象出圖形來，并在腦海中能夠清晰的想象出此時紙與直線、紙與紙相交時的圖像，這樣不僅能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}形象化，加深了學(xué)生的理解，同時通過想象——呈現(xiàn)的這一過程，也是表象內(nèi)化的過程.

2.4運用于實際，深化空間觀念

根據(jù)空間觀念發(fā)展的五個階段可知，高中生的空間觀通過觀察、感知、操作、猜想、驗證的一系列活動，有了較大的發(fā)展，但是對于抽象的文字語言如立體幾何相關(guān)的概念、定理等，仍然是高中生學(xué)習(xí)立體幾何知識一個最大的障礙，在這種情況下，學(xué)生的文字語言無法準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化成圖形語言，在腦海中沒有與之相對應(yīng)的空間表象，這種障礙也會對其空間觀念的進一步發(fā)展造成影響.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，并將這種思想與實際生活聯(lián)系起來，作用于實際生活.因此，教師適當(dāng)?shù)墓膭顚W(xué)生帶著目標(biāo)參加實踐活動，總結(jié)實踐經(jīng)驗，這不僅有助于鞏固發(fā)展空間觀念，同時在將已建立的空間觀念、數(shù)學(xué)思想運用作用于實際生活，解決實際問題時，也能夠讓學(xué)生認識到所學(xué)所想在實際生活中的價值，從而能夠?qū)W(xué)習(xí)立體幾何又動力和興趣.

教師可以在講授了長方體、正方體等空間幾何體的基本概念、定理定義等的基本知識之后，組織學(xué)生進行一次班內(nèi)的動手實踐活動，嘗試制作小收納盒、小課桌、小板凳等.學(xué)生在動手制作的過程中，則會遇到收納盒需要多大面積的材料才能做好？這時學(xué)生會將計算空間體表面積的公式加以運用；制作小課桌如何才能將四條桌腿與課桌平面正好結(jié)合？學(xué)生會自己動手量一量，思考解決方法等.活動過程實際上是將所學(xué)運用于實際生活，將知識進行內(nèi)化的過程.可見，當(dāng)高中生掌握了一定的空間幾何知識時，適當(dāng)?shù)淖饔糜趯嶋H，不僅加深了其對知識的理解度，同時也鞏固了學(xué)生的空間觀念.

總之，高中生空間觀念的形成和發(fā)展，要注重空間觀念形成的每一階段，把握住每個階段的重點、各階段間的內(nèi)在聯(lián)系，只有上一個階段的能力得到充分發(fā)展時，下一階段的能力才能夠得到順利發(fā)展.因此，教師在高中階段，不僅要注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、猜想、驗證等一系列活動培養(yǎng)空間觀念，同時也要重視空間觀念的階段性，知識的掌握、能力的培養(yǎng)以及思維的發(fā)展需要循序漸進，這樣才能最大程度的發(fā)展空間觀念，學(xué)生的空間觀念得到發(fā)展，對于立體幾何抽象的知識理解將會更加透徹，其數(shù)學(xué)思維能力也就自然而然的得到了深化.

參考文獻：

〔1〕李玉龍，朱維宗.小學(xué)初步空間觀念及其培養(yǎng)［J］.現(xiàn)代中小學(xué)教育，2008（10）.

〔2〕劉曉玫.構(gòu)建促進學(xué)生空間觀念發(fā)展的幾何課程——基于小學(xué)生空間觀念發(fā)展水平的研究［J］.課程.教材.教法，2008（10）.

〔3〕韓龍淑，呂傳漢.空間觀念的含義和特征及其教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（6）.

〔4〕王林全.空間觀念的基本構(gòu)成與培養(yǎng)——兼談美國如何發(fā)展學(xué)生的空間觀念［J］.數(shù)學(xué)通報，2007（10）.

中圖分類號：G642

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）05-0269-03

收稿日期：2016-03-19