探尋有意義的數(shù)學學習

魏俊晨+周衛(wèi)東

[摘 要]“小研究”學習材料能幫助學生理清學習和研究的方法，激活學生已有的知識和經(jīng)驗，引領學生進行數(shù)學活動。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，闡述學生在“小研究”學習材料的引領下，通過獨立思考、合作交流和自主歸納，獲得知識，最終實現(xiàn)有意義的學習。

[關鍵詞]“小研究”學習材料 公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 教學實踐 數(shù)學學習

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）08-004

“小研究”學習材料作為自主學習的載體，能幫助學生理清學習方法和研究方法，促使他們自主探究，并在互動交流中解決問題、獲取知識。這樣的數(shù)學學習，不但能促進學生迅速成長，還能讓學生實現(xiàn)有意義的學習。下面以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，談在教學中運用“小研究”學習材料的實踐與思考。

一、多法探求：自主中尋求突破

【教學片斷1】認識公倍數(shù)的概念后——

師：請大家一起研究找兩個數(shù)的公倍數(shù)的方法。

（出示學習要求；學生小組合作，嘗試著完成小研究）

師：通過剛才的研究，你有沒有什么要和大家交流的？

生1：我用列舉法找6和9的公倍數(shù)，我先列舉6的倍數(shù)，再列舉9的倍數(shù)，在這個基礎上找它們公有的倍數(shù)。

生2：我也是用列舉法求6和9的公倍數(shù)。不過我是先列舉6的倍數(shù)，再從6的倍數(shù)中找出9的倍數(shù)。這樣的數(shù)就是它們公有的倍數(shù)。

生3：我贊同先寫出其中一個數(shù)的倍數(shù)，再從中找出另一個數(shù)的倍數(shù)的方法。不過我認為我的方法更簡便一些。我是先把9的倍數(shù)列舉出來，再在其中找6的倍數(shù)。

師：這三種方法有什么相同和不同的地方？

生4：三種方法都采用了列舉的方法，在找兩個數(shù)的公倍數(shù)時，都是先從小到大列舉并確保沒有遺漏，再找出相同的數(shù)。雖然列舉的方法不同，但結果一樣。

生5：我覺得先列舉較大數(shù)的倍數(shù)，從中再找較小數(shù)的倍數(shù)，能更快一些。

師：同學們在找兩個數(shù)的公倍數(shù)時，需要根據(jù)具體情況選擇方法，但不管哪種方法，找出來的公倍數(shù)應該是相同的。還有其他方法嗎？

生6：我利用百數(shù)表，先圈出了6的倍數(shù)，再圈出了9的倍數(shù)，然后找出共同圈出的那幾個數(shù)，就是6和9的公倍數(shù)。

生7：我是在數(shù)軸上找的，我也找到了6和9的倍數(shù)。

生8：我在預習的時候查到了兩個數(shù)的公倍數(shù)可以用“韋恩圖”來表示。

師：老師也帶來了你提到的“韋恩圖”，請你給大家介紹一下。

生8：我們先畫兩個橢圓，兩個橢圓有一部分相交在一起。相交的部分填的是6和9的公倍數(shù)。這一部分里的數(shù)是6的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)；這一部分里的數(shù)是9的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)。

師：大家聽明白了嗎，還有什么要補充的？

生9：兩個數(shù)的公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)嗎？

生10：可以借助韋恩圖回答生9的問題。從圖中可以清楚地看出18是6和9的公倍數(shù)中最小的一個，其他的公倍數(shù)都是18的倍數(shù)。

生11：你的回答是對的。18是6和9的最小公倍數(shù)，其他公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

生12：兩個數(shù)的公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。我還可以再舉一個例子證明。如6和10的最小公倍數(shù)是30，60、90也是6和10的公倍數(shù)，60和90也是30的倍數(shù)。

生13：在今天的研究中，我發(fā)現(xiàn)可以找到兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，但找不到兩個數(shù)的最大公倍數(shù)。

生14：我贊同生13的觀點，因為每個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)都是無限的，所有兩個數(shù)的公倍數(shù)肯定有無數(shù)個，沒有最大公倍數(shù)這個說法。所以畫“韋恩圖”時，省略號不能丟掉。

生15：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)和它們的最大公因數(shù)存在密切的關系，兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。

……

在這個教學片斷中，學生進行了探究、討論、發(fā)現(xiàn)、交流、補充等活動。探求兩個數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)就是運用已有知識和經(jīng)驗解決問題，建立新概念的過程。學生已經(jīng)在之前的學習中建立了倍數(shù)和因數(shù)的概念，會求一個數(shù)的倍數(shù)，“小研究”學習材料恰好提供了激活學生已有知識和經(jīng)驗，引領學生進行數(shù)學活動的平臺，因此呈現(xiàn)出精彩紛呈的學習成果。在這個過程中，教師退居到幕后，鼓勵學生大膽嘗試、驗證，使學生主動參與并沉浸在探究新知的過程中，獲得對公倍數(shù)意義的深刻理解，體驗獲取新知所帶給他們的快樂。匯報并展示后的比較，再次啟發(fā)學生對探究活動中獲得的認識和經(jīng)驗進行梳理，弄清不同方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，突出了對公倍數(shù)意義和找公倍數(shù)方法的理解和掌握。韋恩圖的呈現(xiàn)，更簡要地揭示了兩個數(shù)的倍數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的關系，有利于強化學生對找兩個數(shù)公倍數(shù)方法的理解，提升了學生的思維品質。

二、辨析明理：比較中尋求規(guī)律

【教學片斷2】學生初步建立最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的概念后——

（教師出示學習要求；學生分小組活動）

師：找到其中的規(guī)律了嗎？誰來和全班同學分享一下你的研究成果。

生1：我是這樣分的：5和15、21和7、11和33、60和12、12和1為一類；3和5、8和9、4和15為一類；4和6、10和15為一類。你們覺得我分得有道理嗎？請大家提問題。

生2：你將5和15、21和7、11和33、60和12、12和1歸為一類，是不是因為這里的每組數(shù)之間都存在倍數(shù)關系，所以存在倍數(shù)關系的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是其中的較大的數(shù)？

生3：我確實是這樣考慮的。大家知道我為什么將3和5、8和9、4和15歸為一類嗎？

生4：我也發(fā)現(xiàn)3和5是互質的兩個數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積。我還發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)的積和這兩個數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的積是相等的。請大家課后想辦法證明我的發(fā)現(xiàn)。

生5：我來補充，4和6、10和15歸為一類，它們這兩組數(shù)沒有剛才兩類數(shù)的特點，所以單獨歸為一類。

生6：我還發(fā)現(xiàn)，兩個質數(shù)的最小公倍數(shù)一定是這兩個質數(shù)的乘積；相鄰的兩個自然數(shù)，比如，8和9、9和10，它們都是互質的，它們的最小公倍數(shù)也一定是它們的乘積。

……

怎樣讓學生經(jīng)歷自主探索和合作交流的過程，并在這一過程中獲得更多的自主發(fā)展機會與空間，使學生徜徉在有意義的數(shù)學學習中，是教師需要認真考慮的問題。上述教學片斷中，教師給予學生充分的探究空間，提供了觀察思考、討論研究的平臺。學生在“小研究”學習材料的引領下，通過獨立思考和合作交流，自主歸納出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的一些規(guī)律，加深了對最小公倍數(shù)的理解，也為以后學習約分、通分打下堅實的基礎。其間，學生還展開了富有個性的思考，提出了有價值的猜想，同時要求其他同學課后去想辦法研究……這些精彩瞬間，無不彰顯著“小研究”學習材料在學生學習過程中所發(fā)揮的作用，這種作用，不只表現(xiàn)在“問題串”對學生的啟發(fā)和引導上，更在于其為學生提供了相對獨立的思考和探索空間，使他們得以展開富有個性的思考，而這往往又是課堂上僅通過師生對話難以實現(xiàn)的。

三、靈活運用：分層中尋求超越

【教學片斷3】

（學生用多種方法找出答案，教師組織反饋和講評）

師：他們再次相遇應該是幾月幾日？你是怎樣思考的？

生1：4和6的公倍數(shù)依次是12、24……再次相遇的時間是1月13日。

師：求他至少要伐多少根木頭，就是求什么？你能很快找到答案嗎？

生2：求他至少要伐多少根木頭，就是求6和7的最小公倍數(shù)，6和7是互質的兩個數(shù)，所以，至少要伐42根。

師：你認為“光頭強”有永遠不掉下陷阱的策略嗎？

生3：沒有，無論每次跳多遠，都能找到這個數(shù)與10的最小公倍數(shù)。

生4：在12米掉進了陷阱，說明每兩個陷阱之間的距離是12的因數(shù)。12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12這6個，所以，陷阱之間間隔的米數(shù)可能是這6個數(shù)中的一個。

……

練習的設計力圖體現(xiàn)題材的趣味性和知識的層次性與結構性，用所學知識去解決實際問題，學生就能夠帶著興趣進行分析與交流、討論與計算，在交流的過程中暴露出不同的思維過程，在思維的碰撞中糾正、融合，從而達成共識。“跑步訓練”問題為學生提供了多層次的思考方式，或借助月歷列舉，或通過表格列舉，或直接求4和6的最小公倍數(shù)，這些都能滿足不同學生的學習需求，使學生進一步獲得對找兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的豐富體驗，感受兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應用價值?！芭拍玖稀眴栴}能夠讓學生自覺應用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，有利于學生更好地掌握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，培養(yǎng)了學生分析和解決問題的能力?！跋葳濉眴栴}更是在呈現(xiàn)問題的同時留下懸念，引導學生自覺從數(shù)學的角度展開思考討論，促使學生準確把握現(xiàn)實問題背后的數(shù)學本質，加深學生對最小公倍數(shù)的理解，讓學生發(fā)展思維能力，提升學習能力。

（責編 金 鈴）