基于最大熵原理的徑流預(yù)報誤差分布規(guī)律研究

何 洋，紀昌明，田開華，張驗科，李傳剛(.華北電力大學(xué)可再生能源學(xué)院，北京 006；.雅礱江流域水電開發(fā)有限公司，成都 60056)

0 引 言

隨著信息與預(yù)報技術(shù)的發(fā)展，徑流預(yù)報的預(yù)報方法逐漸豐富，預(yù)報精度也逐步提高。但由于流域徑流受水文、下墊面、人類活動及水文模型等因素的影響，徑流預(yù)報結(jié)果的不確定性十分明顯，預(yù)報誤差不可避免[1]。

對徑流預(yù)報誤差統(tǒng)計特性的研究包括對其分布規(guī)律和誤差出現(xiàn)不確定度的研究兩個方面。目前，大多數(shù)文獻主要利用參數(shù)估計[2]、非參數(shù)估計[3]和統(tǒng)計圖形[4]等方法分析洪水預(yù)報誤差的分布特性，通常認為其預(yù)報誤差服從或近似服從正態(tài)、對數(shù)正態(tài)和Laplace等分布形式。但這些方法均無法直接推導(dǎo)出洪水預(yù)報誤差的先驗分布，帶有明顯的主觀性。最大熵法能依據(jù)有限的歷史徑流序列，推求一種最小有偏概率分布，并與直接概率方法得到的結(jié)果相一致，其結(jié)果具有無偏性和客觀性，因而被廣泛應(yīng)用于水科學(xué)領(lǐng)域[5]。文獻[6]建立了洪水總量預(yù)報誤差分布的極大熵模型，分析不同預(yù)報誤差的分布規(guī)律，結(jié)果表明通過極大熵模型能求得一個與已知預(yù)報誤差序列擬合較好的分布；文獻[7]采用最大熵原理，計算了我國濕潤和半濕潤地區(qū)部分典型水庫的凈雨、洪峰流量和峰現(xiàn)時間預(yù)報相對誤差的概率密度函數(shù)，結(jié)果表明最大熵法研究洪水預(yù)報誤差分布是可行的；文獻[8]詳細闡明了推求洪水預(yù)報誤差分布的問題本質(zhì)及最大熵原理的適用性分析，結(jié)果表明最大熵原理在推求洪水預(yù)報誤差分布時是合理可行的，且洪水預(yù)報作為徑流預(yù)報的一部分，因而它也間接證明了徑流預(yù)報同樣適用最大熵原理。但上述文獻均僅推求徑流預(yù)報整個誤差系列的分布規(guī)律，且未能在此基礎(chǔ)上以概率形式定量描述徑流預(yù)報的不確定性，其實用性不高。為此，本文以官地水庫為研究對象，以其不同預(yù)見期的歷史徑流預(yù)報資料為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，應(yīng)用最大熵原理，建立徑流預(yù)報誤差的最大熵模型，開展徑流預(yù)報誤差分布規(guī)律的研究，同時考慮流域徑流年內(nèi)豐枯變化對其分布規(guī)律的影響，對整個徑流的誤差序列進行分時期研究，從而更好地掌握徑流預(yù)報誤差的分布規(guī)律。

1 徑流預(yù)報誤差分布的最大熵模型

為了解決不確定性問題，科學(xué)家E T Jaynes[9]在信息論中引入最大熵原理，它是根據(jù)樣本信息對某個未知分布做出推斷的一種方法。其準則是在以不完整信息作為依據(jù)進行推斷時，承認已知事物，且不對未知事物做任何假設(shè)，在所有的可行解中選擇熵最大的一個解，其解是唯一的，且同為指數(shù)函數(shù)的形式。

1.1 最大熵模型

設(shè)x為徑流預(yù)報相對誤差(以下簡稱“誤差”)系列：

(1)

其概率密度函數(shù)為f(x)，建立最大熵模型[10]：

(4)

x≥a或x≤b

(5)

其中x=G(x1,x2,…,xn)

(6)

式中：n為徑流預(yù)報的系列長度；qi、Qi分別為徑流系列的預(yù)測值和實測值；Ω為徑流預(yù)報誤差x所在的集合；m為矩的階數(shù)；mi表示第i階原點矩；a、b為保證x有意義的誤差上下限。

該模型表示在滿足已知信息約束下，以熵最大為準則求得徑流預(yù)報誤差的概率密度函數(shù)。

1.2 模型求解

(7)

(8)

或

(9)

式(9)是基于最大熵原理得到的概率密度函數(shù)的解析形式。將其代入式(3)中解得：

(10)

或

(11)

將式(10)對λi微分，并考慮到式(4)和式(9)，可得：

(12)

為求解各個λi，可建立一個聯(lián)立方程組，將式(11)對λi微分，可得：

(13)

由式(12)和式(13)可得：

(14)

通過式(14)可求解λ1,λ2,…,λm，代入式(11)求出λ0。為了便于數(shù)值求解，將式(14)改為：

(15)

式中：Ri為殘差，可用數(shù)值計算方法使其趨于零，用非線性規(guī)劃求這些殘差平方核定最小值，就可得到問題的解：

(16)

為了用非線性規(guī)劃求解在算法中還要假定有一個初始點，文獻[10]提供了四種不同的確定初始點的方法，分別為假設(shè)分布是正態(tài)、假設(shè)分布是均勻、綜合協(xié)調(diào)法和逐步起點法，可由算法按給定的順序依次試用。當(dāng)R<ε(ε為規(guī)定的允許誤差)或所有的|Rj|<ε時認為上式收斂，從而求解出λ0,λ1,λ2,…,λm，最后求出最大熵概率密度函數(shù)的唯一解析表達式。其流程圖如圖1。

圖1 求解最大熵概率密度函數(shù)流程圖Fig.1 Flow chart of maximum entropy probability density function

2 實例應(yīng)用

2.1 水庫概況

官地水庫是雅礱江卡拉至江口河段水電規(guī)劃五級開發(fā)方式的第3個梯級電站。水庫正常蓄水位1 330 m，正常蓄水位對應(yīng)庫容7.292億m3，最大調(diào)節(jié)庫容1.232 億m3，為日調(diào)節(jié)水庫，總裝機容量240萬kW，設(shè)計多年平均發(fā)電量為110.160 億kWh。該水庫位于雅礱江流域下游，流域降水具有明顯的季節(jié)性變化，徑流的年際、年內(nèi)豐枯變化與降雨季節(jié)變化趨勢一致，按徑流量及補給來源可大致分為：汛期7-9月、汛枯過渡期10月、枯汛過渡期5月和6月、枯水期11月-翌年4月[11]，具體劃分結(jié)果見表1。目前，官地水庫在當(dāng)日早8∶00和晚8∶00分別進行一次徑流預(yù)報，預(yù)見期分別為6、12、18、24 h，利用不同預(yù)見期的預(yù)報成果，制定明日發(fā)電計劃。因此，研究不同預(yù)見期的預(yù)報誤差分布規(guī)律能促進發(fā)電計劃編制的合理性。本文選取該水庫2012年3月-2014年12月不同預(yù)見期的新安江模型徑流預(yù)報成果進行誤差分布研究。不同預(yù)見期的徑流預(yù)報相對誤差的統(tǒng)計描述量見表2，其中確定性系數(shù)表示徑流預(yù)報過程的離散程度，計算結(jié)果表明其預(yù)報精度均達到甲等(大于0.9)，符合規(guī)定。

表1 官地水庫徑流序列時期劃分表Tab.1 Guandi reservoir runoff period division table

表2 不同預(yù)見期的徑流預(yù)報相對誤差的統(tǒng)計描述量Tab.2 Statistical description of relative error of runoff forecasting for different forecast periods

2.2 徑流預(yù)報誤差分布的計算及分析

以官地水庫整個時期的徑流系列為例。最大熵模型計算徑流預(yù)報誤差分布規(guī)律時，樣本估計總體統(tǒng)計參數(shù)的3階以上的原點矩與理論值偏差較多，其抽樣誤差較大，因此僅采用序列的前3階原點矩建立約束條件，計算其整個時期不同預(yù)見期的徑流預(yù)報相對誤差的3階原點矩，見表3；建立官地水庫徑流預(yù)報誤差分布的最大熵模型，經(jīng)驗證可利用逐步起點法假定初始點，將1.2[μ-5σ，μ+5σ]作為誤差域[12]，并采用非線性規(guī)劃求解函數(shù)推求式中的Lagrange乘子，結(jié)果見表4。

表3 不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差原點矩Tab.3 The origin moment of runoff forecast errors in different forecast periods

表4 不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差Lagrange乘子Tab.4 Lagrange multiplier of Runoff forecasting error of different forecast period

由表4可確定官地水庫不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差的最大熵概率密度函數(shù)，函數(shù)式如下(設(shè)x1、x2、x3、x4分別表示預(yù)見期為6、12、18、24 h的徑流預(yù)報相對誤差序列)，并繪制不同預(yù)見期徑流預(yù)報誤差的最大熵分布曲線，同時給出其理論正態(tài)分布曲線和樣本直方圖作為對比，見圖2。

f(x1)=exp(-2.982 6-0.020 9x1-0.008 2x21+

1.035 3×10-4x31),x1∈[-55.9,56.2]

(17)

f(x2)=exp(-3.008 0-0.016 0x2-0.007 9x22+

1.154 0×10-4x32),x2∈[-59.3,60.9]

(18)

f(x3)=exp(-3.158 2-0.005 3x3-0.005 7x23+

5.553 7×10-6x33),x3∈[-63.8,66.5]

(19)

f(x4)=exp(-3.193 9-0.006 1x4-0.005 3x24+

1.597 9×10-6x34),x4∈[-73.2,73.1]

(20)

圖2 不同預(yù)見期的最大熵分布曲線、正態(tài)分布曲線和樣本直方圖的對比圖Fig.2 Comparison diagram of the maximum entropy distribution curves and normal distribution curves and sample histogram in different forecast period

由圖2可看出，對于不同的預(yù)見期，徑流預(yù)報誤差的樣本直方圖的形狀均呈中間高，兩邊低，左右基本對稱，初步表明徑流預(yù)報誤差系列呈正態(tài)分布；最大熵曲線與理論正態(tài)分布曲線基本吻合，兩曲線形狀、走勢相差不大，表明得到的最大熵曲線是比較合理的；相比于理論正態(tài)曲線，最大熵曲線的形狀更“高瘦”，預(yù)報誤差集中度更高，曲線最大概率值更大，且更接近樣本直方圖的最大概率值，這符合熵集中原理，即預(yù)報誤差的絕大部分可能狀態(tài)都集中在最大熵狀態(tài)附近；最大熵曲線與樣本直接圖一樣其誤差均有上下限，而理論正態(tài)曲線的積分區(qū)間為±∞。因此，相比于理論正態(tài)曲線，最大熵曲線擬合效果更好，更符合實際情況。

考慮流域徑流年內(nèi)豐枯變化對其預(yù)報誤差分布的影響，分別計算官地水庫枯水期、汛期和過渡期的6、12、18和24 h的徑流預(yù)報誤差的最大熵概率密度函數(shù)，并繪制不同時期及不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差最大熵曲線，分別見圖3和圖4。

圖3 不同時期的最大熵曲線對比圖Fig.3 The contrast diagram of Maximum entropy distribution curves of different period

圖4 不同預(yù)見期的最大熵曲線對比圖Fig.4 The contrast diagram of Maximum entropy distribution curves of different forecast periods

(1)由圖3可看出，對于不同時期，隨著預(yù)見期的增加，其最大熵曲線的形狀基本上均由“高瘦型”逐漸變?yōu)椤鞍中汀?，曲線的最大概率值逐漸降低，均值附近的誤差分布集中度逐漸降低，表明對于同一時期做出的徑流預(yù)報，隨著預(yù)見期增加，預(yù)報精度降低，其不確定性增加。表5列出了不同時期、不同預(yù)見期及不同置信區(qū)間預(yù)報誤差的置信度。由表5可知，當(dāng)預(yù)見期為12、18和24 h時，相比于整個時期、枯水期或過渡期，汛期的預(yù)報誤差在相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)的置信度差異較小，與預(yù)見期為6 h相應(yīng)的置信度差異較大，但從區(qū)間③開始，隨著置信區(qū)間的加大，各個預(yù)見期置信度的增加幅度均比較緩慢，表明汛期各個預(yù)見期的預(yù)報誤差分布均比較集中，預(yù)報精度較高。這主要是因為受降水年內(nèi)分配不均勻的影響，相比于枯水期和過渡期，汛期的徑流大且波動性強，隨著預(yù)見期的增加，徑流預(yù)報值的隨機性更強，變化幅度更大，使其最大熵曲線變化更大。但就整體上而言，不同時期、不同預(yù)見期預(yù)報誤差位于[-20%,20%]置信區(qū)間的置信度基本達到0.95左右(僅24 h預(yù)見期的枯水期置信度最低為0.914)，預(yù)報精度均達到甲等。

(2)由圖4和表5可看出，對于不同預(yù)見期，其最大熵曲線基本上是汛期最“高瘦”、過渡期次之、整個時期再次之、枯水期最“矮胖”，對應(yīng)地，其預(yù)報精度由高到低依次為汛期、過渡期、整個時期和枯水期。當(dāng)預(yù)見期為6 h時，相應(yīng)的預(yù)報誤差位于區(qū)間③的置信度分別為0.958、0.837、0.796和0.677，其差異較大，汛期預(yù)報誤差的置信度遠高于其他時期，且置信區(qū)間越大，其差異越小。這主要是由于受防洪需要，雖然汛期流量大且波動性強，但現(xiàn)有的新安江模型在多年的實際預(yù)報工作中已能較好地發(fā)掘該時期的徑流規(guī)律，使其預(yù)報精度高于其他時期；過渡期徑流主要受降雨和河槽蓄水補給等影響，其流量波動較強，造成該時期預(yù)報精度較低，預(yù)報不確定性較大；枯水期由于其流量極小，預(yù)報產(chǎn)生的較小差異也將造成其相對誤差值的較大變化，使該時期的預(yù)報精度最低，不確定性最大。

表5 不同時期、不同預(yù)見期及不同置信區(qū)間預(yù)報誤差的置信度Tab.5 The confidence of prediction error of different period, different forecast period and different confidence interval

注：置信區(qū)間的單位為“%”。

(3)對整個時期而言，盡管預(yù)見期不同，其最大熵曲線總是介于枯水期、汛期和過渡期之間。整個時期預(yù)報的不確定性是各個時期綜合作用的結(jié)果，盡管汛期預(yù)報的不確定性很小，但由于枯水期預(yù)報不確定性較大，從而增加了整體預(yù)報結(jié)果的不確定性。因此，在進行徑流預(yù)報工作時，應(yīng)充分考慮不同時期的預(yù)報誤差分布規(guī)律對其預(yù)報結(jié)果的影響，從而提高徑流預(yù)報的精度。

2.3 適用性判斷

為了評判最大熵分布在官地水庫徑流預(yù)報誤差分布研究中的適用性，本文以整個徑流序列為例，將最大熵曲線與理論正態(tài)曲線的擬合效果進行對比分析，分別采用判定系數(shù)(coefficient of determination，ηCOD)和均方根誤差(root mean square error，εRMSE)[13]以量化各曲線的擬合優(yōu)度，并分別計算不同預(yù)見期的最大熵曲線和理論正態(tài)曲線的熵值，計算結(jié)果見表6。計算公式分別入下：

(21)

(22)

(23)

(24)

由表6可知，對于整個時期的徑流序列，預(yù)見期分別為6、12、18、24 h時，最大熵的熵值均比正態(tài)分布的小，表明由最大熵法確定的誤差分布曲線的不確定性更??；最大熵法的判定系數(shù)均比正態(tài)分布的大，而均方根誤差均比正態(tài)分布的小，表明最大熵法在擬合徑流預(yù)報誤差時效果更好，各個時期的最大熵曲線適用性判斷結(jié)果類似?？梢姡畲箪胤ㄗ鳛橐环N對未知分布進行推斷的方法，其不確定性小，擬合效果比標準正態(tài)分布的更好，說明該方法在對徑流預(yù)報相對誤差分布的研究是合理可行的。

表6 最大熵分布和正態(tài)分布的適用性判斷表Tab.6 The applicability judgment table of maximum entropy distribution and normal distribution

3 結(jié) 語

通過最大熵模型對官地水庫2012年3月-2014年12月不同預(yù)見期的入庫徑流預(yù)報誤差系列進行研究，結(jié)果表明最大熵法在擬合徑流預(yù)報誤差分布時，其熵值最小，擬合效果更好，適用性也更強；同時，考慮流域徑流年內(nèi)的豐枯變化，分別計算了不同預(yù)見期的整個時期、枯水期、汛期和過渡期的最大熵概率密度函數(shù)及其分布曲線，并給出不同置信區(qū)間下的置信度，其中預(yù)報誤差位于[-20%,20%]置信區(qū)間的置信度基本達到0.95以上，預(yù)報精度達到甲等，預(yù)報精度由高到低依次為汛期、過渡期、整個時期和枯水期，且各個時期預(yù)報誤差的不確定性均隨著預(yù)見期的增加而增大。但由于官地水庫現(xiàn)有的徑流系列較短，本文僅考慮按時期對徑流系列進行劃分，待徑流系列的逐步延長，可考慮按流量級別對其劃分，求出不同流量級別下的徑流預(yù)報誤差最大熵概率密度函數(shù)，探索不同流量級別的徑流預(yù)報誤差分布規(guī)律，從而更好的掌握徑流預(yù)報誤差的分布規(guī)律，更加合理的編制其發(fā)電計劃。

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